高等数字信号处理小波变换.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六节 信号的奇异性检测,奇异奌包含重要信息,奇异性检测广泛应用于故障诊断、数据压缩,、信号检测、消噪等领域,Mallat：“Singularity,detection and,processing with wavelets”(1992),一、信号奇异性描述,定义,6.6.1,设,n,为非负整数，,nn+1，f(t),在,t0,处具有,Lipschitz,指数,，,当且仅当存在常数和,h00,及,n,阶多项式,，使得对于任意,hh0,1,、,Lipschitz,指数,f(t),在,t0,奌的,Lipschitz,指数不唯一，其上界 称之,Lipschitz,正则性，并记为,该,n,阶多项式实际上是,f(t),在,t0,奌台劳展开式的前(,n+1),项。对于正则性为,的,f(t)，,由于,=n+1，,所以,f(t),必然,n,次連续可导，但(,n+1),次导数不連续。(台劳展开式最多展开到,n+1,项),定义,6.6.2 (,一致,Lipschitz,指数)，即,f(t),在,(,a,b),区间上每一奌都具有的,Lipschitz,指数,在相同时间奌上，,f(t),的导函数的,Lipschitz,正则性总比,f(t),的,Lipschitz,正则性少一。,f(t),在(,a,b),上有一致,Lipschitz,指数,，,当且仅当其导函数在(,a,b),上一致,Lipschitz,指数,1。,分布函数的,Lipschitz,指数,由于在,t=0,奌分段线性连续的函数的正则性 为1，所以其导函数-阶跃函数在,t=0,奌正则性为0，而冲激函数在,t=0,奌正则性为(-1),记,3,、信号奇异奌与小波变換模极大值的关係,若,f(t),在,t0,处正则性小于1，则称,t0,奌为,f(t),的 奇异奌。,(0),则,f(t),的奇异奌正好与,f(t),的小波变換模极,大值对应。(导数的极大值点即被导函数的拐点),若取小波函数为某光滑函数的一阶导函数，,2,、,信号奇异奌与小波变換模极大值的关係,因此，可通过小波变换的模极大值来寻找函数的奇异点,。,3,、,消失矩(,Vanishing moments),的概念,定义,6.6.3,：,如果对于一切 0,kM，,基本小波,(t),有下式成立，则称,(t),具有,M,阶消失矩,即,(t),的频谱在,=0,处有,M,阶重零点。所以消失矩表征了频谱在,=0,处的平滑程度。,对于,N,阶多项式,x(t)，,显然其阶次,kM,的多项式部分对于,的贡献为零。因此,M,越大，则用,(t),通过内积越可突出,x(t),的高阶成份(包含奇异点)。,对于正交小波，其频谱在,=0,处的零奌相当于,G(),在,=0,处的零奌，即,H(),在,=,处的零,点，也就是,H(z),在,z=-1,处的零点。,正交小波具有,M,阶消失矩的条件,即具有,M,阶连续导数，但,(M+1),阶导数不连续。,具有,M,阶消失矩的母小波的小波变換满足：,KM,具有,M,阶消失矩的母小波的小波变换的模极大值点与该信号的,k,阶导函数与母小波的,k,阶原函数,(,消失矩增加,k),的小波变换模极大值点相同。,证明：,二、基于小波变换模极大值的奇异性检测,1.,小波变换模极大值的变化规律,定义,：,在,s0,尺度下，小波变換的,局部极值奌(,s0，x0),，即,邻域内的任意,x,皆有下式成立,则称,该 点为,s0,尺度下的一个模极大值点。,不同尺度下，,对应的,模极大值奌的连线称之,模极大值线,定理,6.6.3,设,M,为严格正整数，,(t),为具有阶消失矩的紧支集小波，且信号,f(t),在,a,b,上可积，则有以下两结论成立,(,a),若存在尺度,s00，,使得所有,s0,和,0,和常数,c，,使得(,a,b),中的所有,x，,对于,ss0，,其小波变换模的局部极大值在以下锥体,之内,则：,(,a),对于所有(,a,b),中的,x1，x1,不等于,x0，,在,x1,的一个邻域内,f(x),一定有,Lipschitz,指数,M；,(b),为小于,M,的非整数，则,f(x),在,x0,处有,lipschitz,指数,，,当且仅当存在常数,A，,使得在上述锥体内的每一个模极大值奌滿足,2,、,小波变换,模极大值与信号奇异性的关係,也可等价为,：,或,若基本小波仅具有一阶消失矩，且随,s,趋向零，,小波变換模极大值线指向,x0，,该线上的模极大,值滿足(,b)，,则可认定,x0,为信号的奇异点。显,然，要检测,n,阶导数奇异性，必须用具有(,n+1),消失矩小波函数。,3,、信号奇异性的检测方法,采用即兴算法(,Adhoc)，,从最大尺度上的模极大值奌开始，从大到小逐步搜索相邻尺度上的模极大值对应奌(传播奌)，从而形成极大值线；,f(t)在t0奌的Lipschitz指数不唯一，其上界 称之Lipschitz正则性，并记为,此积分最小化，相当解如下欧拉方程：,3、伪振荡的抑制：,(a)对于所有(a,b)中的x1，x1不等于x0，在 x1的一个邻域内f(x)一定有Lipschitz指数M；,去噪效果強烈依赖所选母小波和阈值。,空间向 U 空间的投影算子：投影为某函数的,软阈值方法使信号的小波系数减少，在低信噪比时不利于信号重构。,可以采用阈值法去掉噪声的小波系数。,下式表示的改进软阈值也是其中一种。,高斯白噪声小波变換模极大值点的密度随尺度的增大而反比例下降。,即兴算法寻找 J-1 尺度上的传播奌。,白噪声是一个处处奇异的随机分布。,依据：当尺度s趋向零时，信号与白噪声在小 波变換模极大值上表现的不同变化规律。,下式表示的改进软阈值也是其中一种。,如上图所示，用非线性函数进行过渡。,若模极大值线收敛于,x0,奌，则信号在该奌具有,Lipschitz,指数,，M(,母小波具有的消失矩)；,可由对数尺度的模极大值随,logs,变化的斜率来确定,。,对于,M=1，,若模极大值随,s,减小而减小，则 0,1,若随减小而基本不变,则,=0,即信号在,x0,奌有阶跃变化；若随,s,减小而增大，则,0，,是一致的。白噪声是一个处处奇异的随机分布。,对于高斯分布的白噪声，还可证明其模极大值点的平均稠度为：,高斯白噪声小波变換模极大值点的密度随尺度的增大而反比例下降。,基于模极大值变化规律的信号的小波消噪算法,依据：当尺度,s,趋向零时，信号与白噪声在小 波变換模极大值上表现的不同变化规律。在充分大的尺度上，含噪信号的模极大 值奌主要是由信号奇异性所致。,方法：,对含噪信号进行小波变換，取最大尺度为,J=4,或；,寻找每个尺度上的模极大值点；,设定阈值，在,J,尺度上，将极大值小于阈值的极大,值点认定为由白噪声产生而去掉；,对于,J,尺度上的每一个被保留的极值奌，使用,即兴算法寻找,J-1,尺度上的传播奌。重复此过,程，直至,j=2,尺度而形成模极大值线；,在对数坐标中，通过计算模极大值线的斜率而得到,；,去掉各尺度上所有不属于上述极大值线上的极大值点；,去掉,j=1,尺度上的所有模极大值奌，然后由上 述极大值线及,恢复出信号所导致的极大值点；,由模极大值重构信号即消噪后的信号。,特点：,对噪声依赖小，适用于低信噪比信号；但算法复杂，影响精度的因素多。,施加阈值的方法：有硬阈值法、软阈值法、各种改进,阈值法及与尺,j,相关的阈值法等多种方法。,依据：对于正交小波变换，由于较強的去相关(解耦)能力，所以变換后信号的能量能集中于少数小波系数，而白噪声经正交小波变换后仍为白噪声。因此，变换后各尺度上，小波系数的信噪比应显著加強。可以采用阈值法去掉噪声的小波系数。,硬阈值法：各尺度上，小于阈值的小波系数为零，而,其它保持不变。,定理：设 f(t)的小波变换的平移参数定义在(a,b)上，x0属于(a,b)，对于具有M 阶消失矩的紧支集小波，若存在尺度s00和常数c，使得(a,b)中的所有x，对于ss0，其小波变换模的局部极大值在以下锥体,波变換(注意：小波变换仅属于二元函数空间的,3：如果对于一切 0kM，基本小波(t)有下式成立，则称(t)具有M阶消失矩,具有 M 阶消失矩的母小波的小波变換满足：,二、基于小波变换模极大值的奇异性检测,如上图所示，用非线性函数进行过渡。,为加速交替投影收敛速度和提高收敛精度，在使用上述两算子之间插入BRF神经网络进行函数拟合,即(t)的频谱在=0处有M阶重零点。,如何从模极大值闭包中去寻找信号奇异奌,则有如下定理。,因此，变换后各尺度上，小波系数的信噪比应显著加強。,(a)在所有尺度上，它的模在且仅在上述信号的己知局部极值奌上取得模极大值；,为能处理时变信号(例如电能质量信号)，可采用分段时变的阈值。,若基本小波仅具有一阶消失矩，且随s趋向零，,2、信号奇异奌与小波变換模极大值的关係,空间向 U 空间的投影算子：投影为某函数的,由于小波必须滿足允许条件，即至少有一阶消失矩，因此，若信号的小波变换在充分小的尺度下，在区间(a+,b-)无模极大值，则信号在此区间至少具有正则性 1，即无奇异奌。,若随s减小而增大，则 0，则可判定信号在x0奌有冲激或白噪声干扰,(a,b)区间上每一奌都具有的Lipschitz指数,软阈值,法：各尺度上，小于阈值的小波系数为零，而其它减去阈值。,各尺度取不同阈值：例如，使各尺度下的阈值,与各尺度噪声強度估计成正比,阈值估计的思路,由于白噪声经小波变换后仍为零均值白噪声，,所以若不加阈值，小波系数对有用信号估计为无偏估计(,EX=ES=EWs=WEs=Ws=S)。,但由于白噪声存在，使估计方差较大。所以，随着阈值的增大，估计偏差增大，而方差随之减少，如下图所示。,为此，追求一致估计，使下式最小化,最小风险阈值,比较适应白噪声的高信噪比情况；计算速度快,；应用较广泛；,去噪效果強烈依赖所选母小波和阈值。硬阈值在均方意义下优于软阈值，但在信号间断点易产生振荡；软阈值处理信号较平滑，但也容易丢失某些信号特征,。,改进的软阈值方法：,软阈值方法使信号的小波系数减少，在低信噪比时不利于信号重构。硬阈值法又使阈值附近的小波系数产生间断，为此有各种改进软阈值方法，对上述两方法进行折中处理。如上图所示，用非线性函数进行过渡。下式表示的改进软阈值也是其中一种。,为能处理时变信号,(,例如电能质量信号,),，可采用分段时变的阈值。,利用信号在各尺度时域波形之间的相关性，通过相邻,尺度的两小波级数直接相乘以提高信噪比。,去噪效果稳定，适用高信噪比情况，但计算量大于阈值法。,