三重积分及其计算教学材料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义.,9.3,三重积分及其计算,一、三重积分的概念,三重积分的物理背景,以,(,x,y,z,)为体密度函数的空间物体,的质量.,首先,将闭区域,任意分成,n,个小闭区域,v,1,v,2,v,n,其中,v,i,表示第,i,个小闭区域,也表示它的体积,在每个,v,i,上任取一点(,i,i,i,),作乘积,(,i,i,i,),v,i,(,i,=1,2,n,),并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值,趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为空间物体,的质量,M,即,当然,在三维空间定义的函数,u,=,f,(,x,y,z,)的“几何”意义是四维空间的“曲面”,我们可以想象,但无论如何也无法画出其“图形”,因此我们不再讨论其几何意义.,下面我们给出三重积分的定义:,定义:,设,f,(,x,y,z,)是空间有界闭区域,上的有界函数,将闭区域,任意分成,n,个小闭区域,v,1,v,2,v,n,其中,v,i,表示第,i,个小闭区域,也表示它的体积,在每个,v,i,上任取一点(,i,i,i,),作乘积,f,(,i,i,i,),v,i,(,i,=1,2,n,),并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值,趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为函数,f,(,x,y,z,)在闭区域,上的,三重积分,并记为,即,其中,dv,称为体积元素,其它术语与二重积分相同.,同样有:闭区域上的连续函数一定可积.,(,x,y,),z,=,z,1,(,x,y,),z,=,z,2,(,x,y,),先单后重:,设闭区域,在,xoy,面的投影为闭区域,D,xy,.,在闭区域,D,xy,内任取一点(,x,y,),作垂直于,xoy,面的直线穿过闭区域,.,穿入,时的下边界曲面方程:,z,=,z,1,(,x,y,),穿出,时的上边界曲面方程:,z,=,z,2,(,x,y,),先将,x,y,看作定值,f,(,x,y,z,)看作,z,的函数,则积分,为闭区域,D,xy,上的函数,可以理解为压缩在平面薄片,D,xy,上的密度函数.,也称为先一后二，（先,z,次,y,后,x,）,注意,用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。,化三次积分的步骤,投影，得平面区域,穿越法定限，穿入点下限，穿出点上限,对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法,o,x,y,z,D,xy,例,1:将三重积分,化成三次积分,其中,为长方体,各边界面平行于坐标面.,解,:,将,投影到,xoy,面得,D,xy,它是一个矩形:,c,y,d,a,x,b,在,D,xy,内任取一点(,x,y,)作平行于,z,轴的直线,交边界曲面于两点,其竖坐标为,l,和,m,(,l,m,).,a,b,c,d,(,x,y,),m,l,例,2:计算,平面,x,+,y,+,z,=1所围成的区域.,D,xy,x,y,z,o,其中,是三个坐标面与,解,:,画出,在,xoy,面上的投影,区域,D,xy,:0,y,1,x,0,x,1,平行于,z,轴直线穿过的下曲面为,z,=0,上曲面为,z,=1,x,y,有 0,z,1,x,y,.,x,+,y,+,z,=1,x,+,y,=1,z,x,y,除了上面介绍的先单后重法(,切条法,)外,利用先重后单法或称,截面法,也可将三重积分化成三次积分.,先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分.,先重后单:,D,(,z,),x,y,z,o,c,1,c,2,设积分区域,介于两平行平面,z,=,c,1,z,=,c,2,(,c,1,c,2,)之间,用任一平行且介于此两平面的平面去截,得区域,D,(,z,),c,1,z,c,2,.,则,易见,若二重积分容易计算时,特别是被积函数,f,(,x,y,z,)与,x,y,无关时,则二重积分的结果就是,D,(,z,)的面积,因此,用截面法较为方便.,即得三重积分值.,(4)最后计算单积分,(3)计算二重积分,的函数,F,(,z,);,其结果为,z,截面法的一般步骤:,(1)把积分区域,向某轴(例如,z,轴)投影,得投影区间,c,1,c,2,;,(2)对,z,c,1,c,2,用过,z,轴且平行,xoy,面的平面去截,得截面,D,(,z,);,例,5:计算,解,:,易见,介于,z,=,c,和,z,=,c,之间,而,z,y,x,o,或,故,例,6:计算,解一,:,先重后单.,介于,z,=0,和,z,=1之间,D,(,z,):,x,2,+,y,2,z,.,解二,:,先单后重.将,投影到,xoy,面得投影区域:,D,xy,:,x,2,+,y,2,1.,平行于,z,轴的直线穿过,的下曲面为,z,=,x,2,+,y,2,上曲面为,z,=1,因此有,x,2,+,y,2,z,1.,(用极坐标,用对称性),所以,所以,此例介绍的是一种计算三重积分的方法,这种方法也具有一定的普遍性,这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法.,三、在柱坐标系下的计算法,设,M,(,x,y,z,)为空间内一点,并设点,M,在,xoy,面上的投影,P,的极坐标为,r,则这样的三个数,r,z,就叫点,M,的柱面坐标.,规定:0,r,+,0,2,z,+.,直角坐标与,柱面坐标的变换公式:,三重积分,在柱坐标系和球坐标系下的计算,z,x,0,y,z,M,r,S,z,r,=常数,圆 柱 面,z,=常数,垂直,z,轴的平面,动点,M,(,r,z,),柱面坐标系的坐标面,z,x,0,y,z,M,r,S,P,r,=常数,圆 柱 面,z,=常数,垂直,z,轴的平面,动点,M,(,r,z,),柱面坐标系的坐标面,=常数,过,z,轴的半平面,x,z,y,0,dr,r,rd,d,z,平面,z,柱面坐标下的体积元素,元素区域由六个坐标面围成:,半平面,及,+d,;,半径为,r,及,r+dr,的圆柱面;,平面,z,及,z+dz,;,x,z,y,0,dr,r,rd,d,z,底面积:,r,dr,d,dz,平面,z,+,dz,.,柱面坐标下的体积元素,元素区域由六个坐标面围成:,半平面,及,+d,;,半径为,r,及,r+dr,的圆柱面;,平面,z,及,z+dz,;,x,z,y,0,dr,r,r,d,d,z,底面积,:,r,dr,d,dz,.,dv,柱面坐标下的体积元素,元素区域由六个坐标面围成:,半平面,及,+d,;,半径为,r,及,r+dr,的圆柱面;,平面,z,及,z+dz,;,所以:,dv,=,rdrd,dz,.,所以,然后再把它化为三次积分来计算.,积分次序一般是先,z,次,r,后,.,积分限是根据,z,r,在积分区域中的变化范围来确定.,解,:,积分区域,为一圆锥面与平面,z,=1围成.,将积分区域,投影到,xoy,面得,D,xy,:,x,2,+,y,2,1.,例,1:计算三重积分:,圆锥面,柱面坐标方程为,z,=,r,.,则积分限为:0,2,0,r,1,r,z,1.,注:,若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体,圆锥体或旋转体时,通常总是考虑使用柱坐标来计算.,所以,例,2:计算三重积分,面,z,=1,z,=2 和圆锥面,围成的区域.,其中,是由平,解,:,确定变量,z,r,的,变化范围.,r,的范围容易定出:,0,2,0,r,2.,z,呢?,当,0,r,1时,1,z,2;,当,1,r,2时,r,z,2.,作图!,由图可以看出:,所以,四、在球坐标系下的计算法,设,M,(,x,y,z,)为空间内一点,则点,M,可用三个有次序的数,r,来确定,其中,r,为原点,O,与点,M,间的距离,为有向线段,OM,与,z,轴正向的夹角,为从,z,轴正向来看自,x,轴按逆时针方向转到有向线段,OP,的夹角,这里,P,为点,M,在,xoy,面上的投影,这样的三个数,r,就叫做点,M,的球面坐标.,x,=,OA,y,=,OB,z,=,OC,OM,=,r,.,=,OM,sin,cos,=,OM,sin,sin,=,OM,cos,=,OP,cos,=,OP,sin,所以,规定:0,r,0)所围的立体.,解一,:,用球坐标.,平面,z,=,a,x,2,+,y,2,=,z,2,解二,:,用柱坐标.,x,2,+,y,2,=,z,2,z,=,r,所以,:,r,z,a,0,r,a,0,2,.,例4:,求曲面,x,2,+,y,2,+,z,2,2,a,2,与,立体体积.,所围成的,解,:,由锥面和球面围成.,采用球面坐标.,由,x,2,+,y,2,+,z,2,=2,a,2,r,=,由三重积分的性质知:所求立体的体积,V,为:,注:,若积分区域为球体,球壳或其一部分被积函数呈,x,2,+,y,2,+,z,2,的形式,而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单,通常采用球坐标,补充:利用对称性简化三重积分计算,使用对称性时应注意:,1.积分区域关于坐标面的对称性;,2.被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇偶性.,一般地,当积分区域,关于,xoy,平面对称,且被积函数,f,(,x,y,z,)是关于,z,的奇函数,即,f,(,x,y,z,)=,f,(,x,y,z,),则三重积分为零;若被积函数,f,(,x,y,z,)是关于,z,的偶函数,即,f,(,x,y,z,)=,f,(,x,y,z,),则三重积分为,在,xoy,平面上方的半个闭区域上的三重积分的两倍.,“,你,对称,我,奇偶,”.,六、小结:,三重积分换元法:,柱面坐标,球面坐标.,(1)柱面坐标的体积元素:,dv,=,rdrd,dz,;,(2)球面坐标的体积元素:,dv,=,r,2,sin,drd,d,;,(3)对称性简化运算.,思考题,:,若,为,R,3,中关于,xoz,面对称的有界闭区域,f,(,x,y,z,)为,上的连续函数,则,当,f,(,x,y,z,)关于,为奇函数时,当,f,(,x,y,z,)关于,为偶函数时,其中,1,为,在,xoz,面右侧的部分.,y,y,思考与练习,1.,设,计算,提示:,利用对称性,2.,设,由锥面,和球面,所围成,计算,提示:,利用对称性,用球坐标,其中,为由,计算三重积分,所围,解:,在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,3.,4,.,计算三重积分,解:,在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中,由抛物面,原式=,y,2,=,x,x,y,z,o,.,5.,y,2,=,x,x,y,z,o,.,5.,z=0,y=,0,x,y,z,o,。,。,0,y,x,y,2,=,x,.,D,5.,