第七节多元函数微分学的几何应用研究报告.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,第七节 多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在,M,处的,切线方程,:,切向量,：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面,：过,M,点且与切线垂直的平面.,曲线在,M,处的,法平面方程,:,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,2.空间曲线方程为,切向量,切线方程为,法平面方程为,解,所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,曲线在,M,处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,解,切平面方程为,法线方程为,法向量,解,令,切平面方程,法线方程,法向量,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),例6,.,确定正数,使曲面,在点,解:,二曲面在,M,点的法向量分别为,二曲面在点,M,相切,故,又点,M,在球面上,于是有,相切.,与球面,因此有,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,小结,提示:,设切点,切点满足曲面和平面方程,思考与练习,2.,设,f,(,u,),可微,证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示:,在曲面上任意取一点,则通过此,证明原点坐标满足上述方程.,点的切平面方程,1.,证明曲面,与定直线平行,证:,曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立.,的所有切平面恒,备用题,2.,求曲线,在点,(1,1,1),的切线,解:,点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面,.,3.,设,z,=,z,(,x,y,)由方程,确定，,其中,f,(,u,v,)可微,证明,z,=,z,(,x,y,)表示锥面,为曲面上一点,则连接,PP,0,的直线的方程为,证,得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以(,a,b,c,)为顶点的锥面。,代入曲面方程，得,练 习 题,练习题答案,