学习函数极限培训讲学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数极限,关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：,一、当自变量,x,的绝对值无限增大时，,f,(,x,)的变化趋势，,二、当自变量,x,无限地接近于,x,0,时，,f,(,x,)的变化趋势,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,播放,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”.,2.另两种情形:,3.几何解释:,例1 证明,证,故不妨设|,x,|1，,而当|,x,|1时,二、自变量趋向有限值时函数的极限,先看一个例子,这个函数虽在,x,=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，,f,(,x,)的值无限地接近于4，我们称常数4为,f,(,x,)当,x,1,时,f,(,x,)的极限。,1,x,y,o,4,注,定义习惯上称为极限的,定义其三个要素：,1,0,。正数,，,2,0,。正数,，3,0,。不等式,定义中,所以,x,x,0,时,，,f,(,x,)有无极限与,f,(,x,)在,x,0,处的状态,并无关系，这是因为我们所关心的是,f,(,x,)在,x,0,附近,的变化趋势，即,x,x,0,时,f,(,x,)变化有无终极目标，,而不是,f,(,x,)在,x,0,这一孤立点的情况 。约定,x,x,0,但,xx,0,0反映了,x,充分靠近,x,0,的程度，它依赖于,，,对一固定的,而言，合乎定义要求的,并不是唯,一的。,由不等式|,f,(,x,)A|,来选定，,一般地，,越小，,越小,2.几何解释:,例2 证明,证,于是,恒有,例3 设,x,0,0,证明,证,恒有,例4 证明,证,（不妨设,1）,例5 证明,证,不妨设,注,在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对,|,f,(,x,)A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在,x=x,0,的附近考察问题的，对于“,附近,”应如何理解，请揣摩一下。,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,例6,证,左右极限存在但不相等,三、函数极限的性质,1.局部有界性,2.唯一性,3.不等式性质（局部）,定理(保序性),推论,定理(保号性),推论,4.子列收敛性,(,函数极限与数列极限的关系,),定义,定理,证,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,Heine,定理，又称,归并原则,即,证明,设,即,恒有,再由,则对上述,有,又,故,设对,都有,要证,用反证法,若,即,但,现取,有,满足,即,但,此与,矛盾,例7,证,二者不相等,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),过 程,时 刻,从此时刻以后,过 程,时 刻,从此时刻以后,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,练 习 题,一、填空题:,练习题答案,返回,