第5讲高阶常系数线性微分方程、欧拉方程讲解材料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等院校非数学类本科数学课程,一元微积分学,大 学 数 学,（,一,）,第五讲,二阶常系数线性微分方程,脚本编写：彭亚新,教案制作：彭亚新,欧拉方程,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念,.,了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方,程、一阶线性方程、伯努利（,Bernoulli,）,方程。熟练掌,握分离变量法和一阶线性方程的解法,.,会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程,.,知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线,性微分方程的解法,.,熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法,.,掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余,弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方,程的解法,.,第五节 二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数齐次线性微分方程,三、,n,阶常系数齐线性微分方程,四、二阶常系数非齐线性微分方程,五、欧拉方程,一、二阶常系数线性微分方程解的关系,二、二阶常系数齐次线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数线性齐微分方程，,即,特征方程,二阶常系数线性齐微分方程,的特征方程为,是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为,二阶常系数线性齐微分方程,的特征方程为,由求根公式,由刘维尔公式求另一个解：,于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,3)特征方程有一对共轭复根：,是方程,(1),的两个线性无关的解，其通解为,利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i。,欧拉公式：,由线性方程解的性质：,均为方程,(1),的解，且它们是线性无关的：,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,二阶常系数线性齐微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,例,解,例,解,例,解,故所求特解为,例,解,此时弹簧仅受到弹性恢复力,f,的作用。求反映此弹,突然放手，,开始拉长，,簧运动的规律（设其弹性系数为,k,）。,例,解,此时弹簧仅受到弹性恢复力,f,的作用。求反映此弹,突然放手，,开始拉长，,簧运动的规律（设其弹性系数为,k,）。,取,x,轴如如图所示。,由力学的虎克定理，有,（恢复力与运动方向相反）,由牛顿第二定律，得,它能正确描述我们的问题吗？,记拉长后，突然放手的时刻为,我们要找的规律是下列初值问题的解：,从而，所求运动规律为,简谐振动,三、,n,阶常系数线性齐微分方程,形如,的方程，称为,n,阶常系数线性齐微分方程，,n,阶常系数线性齐微分方程的特征方程为,特 征 根,通 解 中 的 对 应 项,例,解,例,解,在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程,试求此方程的通解。,四、二阶常系数非齐线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数线性非齐微分方程，,它对应的齐方程为,我们只讨论函数,f,(,x,),的几种简单情形下，,(2),的特解。,常系数线性非齐微分方程算子解法,参考书：,常微分方程讲义,王柔怀 伍卓群 编,人民教育出版社,方程,(2),对应的齐方程,(1),的特征方程及特征根为,单根,二重根,一对共轭复根,你认为方程应该有什么样子的特解？,假设方程,有下列形式的特解：,则,代入方程,(2),，得,即,方程,(3),的系数与方程,(2),的特征根有关。,由方程,(3),及多项式求导的特点可知，应有,方程,(2),有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程,(2),有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程,(2),有下列形式的特解:,定理 1,当二阶常系数线性非齐方程,它有下列形式的特解：,其中：,例,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,例,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,请同学们自己算,上式即,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,例,解,对应的齐方程的通解为,综上所述，原方程的通解为,其中：,例,解,代入上述方程，得,从而，原方程有一特解为,例,解,代入上述方程，得,比较系数，得,从而，原方程有一特解为,故,例,解,由上面两个例题立即可得,例,解,对应的齐方程的通解为,综上所述，原方程的通解为,故原方程的通解为,我想，,你一定会做这种推广工作。,五、欧拉方程,形如,的方程，称为,n,阶欧拉方程，其中,关于变量,t,的常系数线性微分方程。,引入算子记号：,由数学归纳法可以证明：,例14,解,这是三阶欧拉方程，,作代数运算后，得,即,这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且,方程,(1),对应的齐方程的通解为,为方程,(1),特解形式，代入方程,(1),中，得,从而,故原欧拉方程的通解为,