平面向量的数量积与运算律教学幻灯片.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量的数量积,及运算律,物理中功的概念,s,F,一个物体在力,F,的作用下产生位移,s,，那么力,F,所做的功应当怎样计算？,其中力,F,和位移,s,是向量，功是数量.,是,F,的方向,与,s,的方向,的夹角。,新课引入,向量的夹角,两向量的夹角范围是,两个非零向量,a,和,b,，在平面上任取一点,O,，,作 ，,则,叫做向量,a,和,b,的夹角,OB=,b,OA,=a,记作,当 ，,a,与,b,垂直，,当 ，,a,与,b,同向，,当 ，,a,与,b,反向,A,O,B,O,A,B,B,a,b,A,O,O,A,B,平面向量的数量积的定义,已知两个非零向量,a,和,b,，它们的夹角为,，我们把数量,叫做,a,与,b,的数量积（或内积），记作,a,b,，即,规定：零向量与任意向量的数量积为,0，,即,0,提问,：,向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算,呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？,“”不能写成“”或者“”的形式,练习二：,60,。,C,A,B,60,。,5,8,24,-20,D,（,1,）已知,|p|=8,|q|=6,p,和,q,的夹角是 ，求,p,q,60,。,（,2,）已知 中，,=5,b,=8,C=,求,BC,CA,O,A,B,a,b,平面向量的数量积的几何意义,，过点,B,作,垂直于直线,OA,，垂足为 ，则,|,b|,cos,平面向量的数量积的几何意义是,:,a,的长度,|,a,|,与,b,在,a,的方向 上的数量,|b|cos,的乘积,，|,b,|,cos,叫向量,b,在,a,方向上的正射影、数量,练习三：,1,、已知 ，为单位向量，当它们的夹角为 时，,求 在 方向上的数量及 ；,2,、已知 ，与 的交角为 ，则,；,4,、已知 ，且 ，则 与 的夹角为,；,3,、若 ，共线，则,.,（1）,e a=a e=|a|,cos,（2）,a,b,a b=,0,(,判断两向量垂直的依据),（3）,当,a,与,b,同向时，,a b,=|,a,|,|,b,|,，当,a,与,b,反向,时，,a b,=-|,a,|,|,b,|,特别地,4,0,3,或,3,(,a,/,b,a,b=|,a,|,|b|),平面向量数量积的性质：,（1）,e a=a e=|a|,cos,（2）,a,b,a b=,0,(,判断两向量垂直的依据),（3）,当,a,与,b,同向时，,a b,=|,a,|,|,b,|,，当,a,与,b,反向,时，,a b,=-|,a,|,|,b,|,特别地,(,a,/,b,a,b=|,a,|,|b|),例,2,已知 中，,CB=,a,CA=b,a,b0,A,B,C,D,解：,设 与 的夹角为,则可作图如右：,例题讲解：,练习四：,（,1,）在四边形,ABCD,中，,AB,BC=0,，且,AB=DC,则四边形,ABCD,是（）,A,梯形,B,菱形,C,矩形,D,正方形,（,3,）在 中，已知,|AB|=|AC|=1,，且,AB,AC=,，则这个三角形的形状是,C,1,等边三角形,（,2,）已知向量,a,b,共线，且,|,a,|=2|b|,则,a,与,b,间的夹角的余弦值是 。,总结提炼,1,、向量的数量积的物理模型是力的做功；,4,、两向量的夹角范围是,5,、掌握五条重要性质,：,平面向量的数量积的几何意义是,:,a,的长度,|,a,|,与,b,在,a,的方向 上的数量,|b|cos,的乘积,2,、,a,b,的结果是一个实数，它是标量不是向量。,3,、利用,a,b=|,a,|,|b|cos,可求两向量的夹角，,尤其 是判定垂直。,演练反馈,判断下列各题是否正确：,（,2,）、若 ，则,（,3,）、若 ，则,(1),、若 ，则任一向量 ，有,（,4,）、,A,B,C,1,A,B,1,O,在实数中，有,(,a,b,),c,=,a,(,b,c,),，向量中是否也有,?,为什么,?,想一想：,答：没有,.,因为右端是与 共线的向量，而左端是与 共线的向量，但一般 与,不共线,所以，向量的数量积不满足结合律,想一想：,所以，向量的数量积不满足消去律,在实数中，,若,a,b,=,a,c,且,a,0,，则,b,=,c,向量中是否也有“若 ，则,”成立呢,?,为什么,?,O,A,B,C,例,1,求证：,证明：,(3),与 所成角的余弦值,例,2,已知,|=6,，,|=4,，与 的夹角为,60,，求：,解：,(1),=,72.,(2),(2),=,76.,注：,与多项式求值一样，先化简，再代入求值,(3),例,3,已知,|=3,|=4,且 与,不共线,当且仅当,k,为何值时,向量,+,k,与,k,互相垂直,?,解：,1.,小结：,2.,向量运算不能照搬实数运算律，交换律、数乘结合律、分配率成立；,向量结合律、消去律不成立。,3.,向量的主要应用是解决长度和夹角问题。,1.,已知 ，为非零向量，,+3,与,7,5,互相垂直，,4,与,7,2,互相垂直，求 与 的夹角,巩固练习,：,2.,求证：直径所对的圆周角为直角,60,