勾股数的规律.doc

所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时，我们就称这一组数为勾股数。
那么，组成一组勾股数的三个正整数之间，是否具有一定的规律可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数：
    规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现
 由（3，4，5）有：     32=9=4+5
 由（5，12，13）有：   52=25=12+13
 由（7，24，25）有：   72=49=24+25
 由（9，40，41）有：   92=81=40+41.
    即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：
∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）  
勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现
由（6，8，10）有：    62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有：   82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有：   102=100=2×（24+26）
    即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：
∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）
    勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）
    利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。