直线与方程知识点归纳.pdf

第三章第三章 直线与方程直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x x 轴正向轴正向与直线直线 l l 向向上方向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定=0.2、倾斜角 的取值范围：0180.当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k表示,也就是 k=tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.由此可知,一条直线一条直线 l l 的倾斜角的倾斜角 一定存在一定存在,但是斜率但是斜率 k k 不一定存在不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2的斜率：斜率公式斜率公式:k=yk=y2 2-y-y1 1/x/x2 2-x-x1 1 3.1.2 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即（充要条件）注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2,那么一定有 l1l22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即（充要条件）12121k kll 3.2.1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程1、直线的点斜式点斜式方程：直线 经过点，且斜率为 l),(000yxPk)(00 xxkyy2、直线的斜截式斜截式方程：已知直线 的斜率为，且与轴的交点为 lky),0(bbkxy3.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点其中 y-),(),(222211yxPxxP),(2121yyxxy1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线 与轴的交点为 A，与轴的交点为 B，lx)0,(ay),0(b其中0,0ba3.2.3 直线的一般式方程直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B 不同时为yx,0CByAx0）2、各种直线方程之间的互化。3.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式22122121()()PPyyxx3.3.1 两直线的交点坐标两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0 L2：2x+y+2=0 解：解方程组 34202220 xyxy得 x=-2，y=2所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2）3.3.2两点间距离两点间距离两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点到直线的距离为：),(00yxP0:CByAxl2200BACByAxd2 2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线和的一般式方程为：，1l2l1l01CByAx，则与的距离为2l02CByAx1l2l2221BACCd基础练习基础练习一 选择题1经过点(3,2)，倾斜角为 60的直线方程是()Ay2(x3)3By2(x3)33Cy2(x3)3Dy2(x3)33答案：C2如下图所示，方程 yax 表示的直线可能是()1a答案：B3已知直线 l1：ykxb，l2：ybxk，则它们的图象可能为()答案：C4经过原点，且倾斜角是直线 yx1 倾斜角 2 倍的直线是()22Ax0 By0Cyx Dy2x22答案：D5欲使直线(m2)xy30 与直线(3m2)xy10 平行，则实数 m 的值是()A1 B2C3 D不存在解析：把直线化为斜截式，得出斜率，通过直线平行的条件计算答案：B6直线 yk(x2)3 必过定点，该定点为()A(3,2)B(2,3)C(2，3)D(2,3)解析：直线方程改写为 y3k(x2)，则过定点(2,3)答案：B7若直线(m2)x(m22m3)y2m 在 x 轴上的截距是 3，则 m 的值是()A.B6 25C D625解析：令 y0，得(m2)x2m，将 x3 代入得 m6，故选 D.答案：D8过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是()A.1 B.1x3y2x2y3C.1 D.1x3y2x2y3答案：B9直线1 在 y 轴上的截距为()xa2yb2A|b|Bb Cb2 Db2答案：D10下列四个命题中是真命题的是()A经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示B经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示C不经过原点的直线都可以用方程 1 表示xaybD经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb 表示答案：B11直线 axby1(a，b0)与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.ab B.|ab|C.D.121212ab12|ab|解析：直线 axby1 可化为 1，故其围成的三角形的面积为 S .x1ay1b121|a|1|b|12|ab|答案：D12过点(1,3)且垂直于直线 x2y30 的直线方程为()A2xy10 B2xy50Cx2y50 Dx2y70答案：A13直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 a 的值等于()A1 或 3 B1 或 3 C3 D1解析：由题意，两直线斜率存在，由 l1l2知，a11a2a362a答案：D14直线 3x2y40 的截距式方程是()A.1 3x4y4B.4x13y12C.1 3x4y2D.1x43y2答案：D15已知点 A(1,2)，B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程是()A4x2y5 B4x2y5Cx2y5 Dx2y5解析：kAB，由 kkAB1 得 k2.123112由中点坐标公式得 x2，y，13221232中点坐标为.(2，32)由点斜式方程得 y 2(x2)，即 4x2y5.32答案：B16直线(a2)x(1a)y30 与(a1)x(2a3)y20 互相垂直，则 a()A1 B1 C1 D32解析：由(a2)(a1)(1a)(2a3)0 化简得 1a20，a1.答案：C17直线 l 的方程为 AxByC0，若直线 l 过原点和二、四象限，则()AC0，B0 BA0，B0，C0CAB0，C0答案：D18 直线的截距式方程 1 化为斜截式方程为 y2xb，化为一般式方程为xaybbxay80.求 a，b 的值（）解析：由 1，化得xayby xb2xb，ba又可化得：bxayabbxay80，则 2，且 ab8.ba解得 a2，b4 或 a2，b4.19直线 x2y20 与直线 2xy30 的交点坐标为()A(4,1)B(1,4)C.D.(43，13)(13，43)答案：C20已知两直线 a1xb1y10 和 a2xb2y10 的交点是 P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是()A3x2y0 B2x3y50C2x3y10 D3x2y10答案：C21两直线 3axy20 和(2a1)x5ay10 分别过定点 A，B，则|AB|等于()A.B.C.D.895175135115解析：易知 A(0，2)，B，|AB|.(1，25)135答案：C22设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，AB 的中点是 P(2，1)，则|AB|等于()A5 B4 C2 D22510解析：设 A(x,0)，B(0，y)，由中点公式得 x4，y2，则由两点间的距离公式得|AB|2.042202205答案：C23已知 M(1,0)，N(1,0)，点 P 在直线 2xy10 上移动，则|PM|2|PN|2的最小值为_答案：2.424已知点(3，m)到直线 xy40 的距离等于 1，则 m 等于()3A.B C D.或3333333解析：1，解得 m或.|3 3m4|2333答案：D25两平行线 ykxb1与 ykxb2之间的距离是()Ab1b2 B.|b1b2|1k2C|b1b2|Db2b1解析：两直线方程可化为 kxyb10，kxyb20.d.|b1b2|1k2答案：B26过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50解析：所求为过 A(1,2)，且垂直 OA 的直线，k，12y2(x1)，即 x2y50.12答案：A27点 P(mn，m)到直线 1 的距离等于()xmynA.B.m2n2m2n2C.D.n2m2m2 n2解析：直线方程可化为 nxmymn0，故 d|mnnm2mn|m2n2.|mnn2m2mn|m2n2m2n2答案：A28已知直线 3x2y30 和 6xmy10 互相平行，则它们之间的距离是()A4 B.C.D.2 1313526 13726 13解析：由题意 m4，则 d.|61|361675272 137 1326答案：D29垂直于直线 xy10 且到原点的距离等于 5 的直线方程是_3解析：由题意，可设所求直线方程为xyc0，3则5.|c|2|c|10，即 c10.答案：xy100 或xy1003330点 P(x，y)在直线 xy40 上，则 x2y2的最小值是()A8 B2 C.D1622答案：A31到直线 3x4y10 的距离为 2 的直线方程为()A3x4y110B3x4x90C3x4y110 或 3x4y90D3x4y110 或 3x4y90答案：C强化练习强化练习一 选择题1直线 y2x3 的斜率和在 y 轴上的截距分别是()A2,3 B3，2C2，2 D3,3答案A2过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()Ax1 Bx3Cy1 Dy3答案A3方程 yy0k(xx0)()A可以表示任何直线B不能表示过原点的直线C不能表示与 y 轴垂直的直线D不能表示与 x 轴垂直的直线答案D解析直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与 x 轴垂直的直线4已知两条直线 yax2 和 y(2a)x1 互相平行，则 a 等于()A2 B1C0 D1答案B解析根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是 k1a，k22a.两直线平行，则有 k1k2.所以 a2a，解得 a1.5方程 yax 表示的直线可能是()1a答案B解析直线 yax 的斜率是 a，在 y 轴上的截距是.当 a0 时，斜率 a0，在 y 轴1a1a上的截距是 0，则直线 yax 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当 a0 时，1a1a斜率 a0，在 y 轴上的截距是 0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0，b0，b0，判知 l2的图像符合，在 C 选项中，由 l1知 a0，b0，排除 C；在 D 选项中，由 l1知 a0，b0，排除D.所以应选 B.24直线 l 的方程为 AxByC0，若 l 过原点和二、四象限，则()A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案D解析l 过原点，C0，又 l 过二、四象限，l 的斜率 0.AB25直线xy0 与 xy0 的位置关系是()3A相交 B平行C重合 D垂直答案A解析A1B2A2B111(1)10，33又 A1A2B1B21(1)110，则这两条直线相交，但不垂直3326直线 2x3y80 和直线 xy10 的交点坐标是()A(2，1)B(1，2)C(1,2)D(2,1)答案B解析解方程组Error!得Error!即交点坐标是(1，2)27直线 ax3y50 经过点(2,1)，则 a 的值等于()A2 B1C0 D1答案B解析由题意得 2a350，解得 a1.28若三条直线 2x3y80，xy1，和 xky0 相交于一点，则 k 的值等于()A2 B12C2 D.12答案B解析由Error!得交点(1，2)，代入 xky0 得 k，故选 B.1229直线 kxy13k，当 k 变动时，所有直线都通过定点()A(0,0)B(0,1)C(3,1)D(2,1)答案C解析方程可化为 y1k(x3)，即直线都通过定点(3,1)30已知点 M(0，1)，点 N 在直线 xy10 上，若直线 MN 垂直于直线x2y30，则 N 点的坐标是()A(2，3)B(2,1)C(2,3)D(2，1)答案C解析将 A、B、C、D 四个选项代入 xy10 否定 A、B，又 MN 与x2y30 垂直，否定 D，故选 C.31过两直线 3xy10 与 x2y70 的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是()Ax3y70 Bx3y130C2xy70 D3xy50答案B解析由Error!得交点(1,4)所求直线与 3xy10 垂直，所求直线斜率 k，y4(x1)，1313即 x3y130.32已知直线 mx4y20 与 2x5yn0 互相垂直，垂足为(1，p)，则 mnp为()A24 B20C0 D4答案B解析两直线互相垂直，k1k21，1，m10.又垂足为(1，p)，m425代入直线 10 x4y20 得 p2，将(1，2)代入直线 2x5yn0 得 n12，mnp20.33已知点 A(a,0)，B(b,0)，则 A，B 两点间的距离为()Aab BbaC.D|ab|a2b2答案D解析代入两点间距离公式34一条平行于 x 轴的线段长是 5 个单位，它的一个端点是 A(2,1)，则它的另一个端点 B 的坐标是()A(3,1)或(7,1)B(2，3)或(2,7)C(3,1)或(5,1)D(2，3)或(2,5)答案A解析ABx 轴，设 B(a,1)，又|AB|5，a3 或 7.35已知 A(5,2a1)，B(a1，a4)，当|AB|取最小值时，实数 a 的值是()A B7212C.D.1272答案C解析|AB|，当 a 时，a42a322a22a252af(1,2)249212|AB|取最小值36设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，AB 的中点是 P(2，1)，则|AB|等于()A5 B42C2 D2510答案C解析设 A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得 x4，y2，则由两点间的距离公式得|AB|2.04220220537ABC 三个顶点的坐标分别为 A(4，4)、B(2,2)、C(4，2)，则三角形 AB 边上的中线长为()A.B.2665C.D.2913答案A解析AB 的中点 D 的坐标为 D(1，1)|CD|；14212226故选 A.38已知三点 A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则ABC 的形状是()A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析|AB|3，3022522|BC|，04256217|AC|，34226217|AC|BC|AB|，且|AB|2|AC|2|BC|2.ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形39两直线 3axy20 和(2a1)x5ay10 分别过定点 A、B，则|AB|等于()A.B.895175C.D.135115答案C解析易得 A(0，2)，B(1，)2540在直线 2x3y50 上求点 P，使 P 点到 A(2,3)距离为，则 P 点坐标是()13A(5,5)B(1,1)C(5,5)或(1,1)D(5,5)或(1，1)答案C解析设点 P(x，y)，则 y，2x53由|PA|得(x2)2(3)213，132x53即(x2)29，解得 x1 或 x5，当 x1 时，y1，当 x5 时，y5，P(1,1)或(5,5)41点(0,5)到直线 y2x 的距离是()A.B.525C.D.3252答案B解析由 y2x 得：2xy0，由点到直线的距离公式得：d，故选 B.55542已知直线 3x2y30 和 6xmy10 互相平行，则它们之间的距离是()A4 B.2 1313C.D.5 13267 1326答案D解析两直线平行，m4，63m2两平行直线 6x4y60 和 6x4y10 的距离d.|16|62427 132643已知点 A(3,4)，B(6，m)到直线 3x4y70 的距离相等，则实数 m 等于()A.B74294C1 D.或74294答案D解析由题意得，|9167|5|184m7|5解得 m 或 m.7429444点 P 为 x 轴上一点，点 P 到直线 3x4y60 的距离为 6，则点 P 的坐标为()A(8,0)B(12,0)C(8,0)或(12,0)D(0,0)答案C解析设 P(a,0)，则6，|3a6|3242解得 a8 或 a12，点 P 的坐标为(8,0)或(12,0)45过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50答案A解析由已知得，所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线，所求直线的斜率 k，12y2(x1)，即 x2y50.1246已知直线 l 过点(3,4)且与点 A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为()A2x3y180B2xy20C3x2y180 或 x2y20D2x3y180 或 2xy20答案D解析设所求直线方程为 y4k(x3)，即 kxy43k0.由已知有，所以 k2 或 k，|2k243k|k21|4k243k|k2123所以直线方程为 2xy20 或 2x3y180.47P，Q 分别为 3x4y120 与 6x8y60 上任一点，则|PQ|的最小值为()A.B.95185C3 D6答案C解析|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离在直线 3x4y120 上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为 3.48点 P(x，y)在直线 xy40 上，则 x2y2的最小值是()A8 B22C.D162答案A解析x2y2表示直线上的点 P(x，y)到原点距离的平方，原点到直线 xy40 的距离为2，|4|22x2y2最小值为 8.故选 A.二 填空题1过点(1,3)，且斜率为2 的直线的斜截式方程为_答案y2x1解析点斜式为 y32(x1)，化为斜截式为 y2x1.2已知直线 l1过点 P(2,1)且与直线 l2：yx1 垂直，则 l1的点斜式方程为_答案y1(x2)解析设 l1的斜率为 k1，l2的斜率为 k2，l1l2，k1k21.又 k21，k11.l1的点斜式方程为 y1(x2)3已知点(1，4)和(1,0)是直线 ykxb 上的两点，则k_，b_.答案22解析由题意，得Error!解得 k2，b2.4ABC 的顶点 A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC 为直角三角形，则直线 BC的方程为_答案8xy90 或 2xy10 或 yx 或 3xy40解析若A 为直角，则 ACAB，kACkAB1，即1，得 m7；m1251115此时 BC：8xy90.若B 为直角，则 ABBC，kABkBC1，即 1，得 m3；12m121此时直线 BC 方程为 2xy10.若C 为直角，则 ACBC，kACkBC1，即1，得 m2.m13m121此时直线 BC 方程为 yx 或 3xy40.5直线 1 在两坐标轴上的截距之和为_x4y5答案1解析直线 1 在 x 轴上截距为 4，在 y 轴上截距为5，因此在两坐标轴上截x4y5距之和为1.6过点(0,1)和(2,4)的直线的两点式方程是_答案(或)y141x020y414x2027过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于 5 的直线方程是_答案3x2y60解析设直线方程为 1，则Error!xayb解得 a2，b3，则直线方程为 1，x2y3即 3x2y60.8直线 l 过点 P(1,2)，分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，若 P 为线段 AB 的中点，则直线 l 的方程为_答案2xy40解析设 A(x,0)，B(0，y)由 P(1,2)为 AB 的中点，Error!Error!由截距式得 l 的方程为 1，即 2xy40.x2y49经过点 A(4,7)，且倾斜角为 45的直线的一般式方程为_答案xy110解析直线的斜率 ktan451，则直线的方程可写为 y7x4，即 xy110.10如下图所示，直线 l 的一般式方程为_答案2xy20解析由图知，直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距分别为1，2，则直线 l 的截距式方程为1，即 2xy20.x1y211若直线(a2)x(a22a3)y2a0 在 x 轴上的截距为 3，则实数 a 的值为_答案6解析把 x3，y0 代入方程(a2)x(a22a3)y2a0 中得 3(a2)2a0，a6.12已知直线的斜率为，且和坐标轴围成面积为 3 的三角形，该直线的方程为16_答案x6y60 或 x6y60解析设直线的方程为 1，xayb直线的斜率 k，16ba16又|ab|3，12Error!或Error!所求直线方程为：x6y60 或 x6y60.13过原点和直线 l1：x3y40 与 l2：2xy50 的交点的直线的方程为_答案3x19y0解析由Error!得交点坐标(，)，19737所求方程为 yx，即 3x19y0.31914在ABC 中，高线 AD 与 BE 的方程分别是 x5y30 和 xy10，AB 边所在直线的方程是 x3y10，则ABC 的顶点坐标分别是A_；B_；C_.答案(2,1)(1,0)(2,5)解析高线 AD 与边 AB 的交点即为顶点 A，高线 BE 与边 AB 的交点即为顶点 B，顶点 C 通过垂直关系进行求解15两条直线 xmy120,2x3ym0 的交点在 y 轴上，则 m 的值是_答案6解析设交点坐标为(0，b)，则有Error!解得 m6.16已知直线 l1：a1xb1y1 和直线 l2：a2xb2y1 相交于点 P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和 P2(a2，b2)的直线方程是_答案2x3y1解析由题意得 P(2,3)在直线 l1和 l2上，所以有Error!则点 P1(a1，b1)和 P2(a2，b2)的坐标是方程 2x3y1 的解，所以经过点 P1(a1，b1)和 P2(a2，b2)的直线方程是 2x3y1.17已知点 M(m，1)，N(5，m)，且|MN|2，则实数 m_.5答案1 或 3解析由题意得2，解得 m1 或 m3.m521m2518已知 A(1，1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|BC|，则 a_.答案12解析，a123124a2532解得 a.1219已知点 A(4,12)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 13，则点 P 的坐标为_答案(9,0)或(1,0)解析设 P(a,0)，则13，a42122解得 a9 或 a1，点 P 的坐标为(9,0)或(1,0)20已知ABC 的顶点坐标为 A(7,8)、B(10,4)、C(2，4)，则 BC 边上的中线 AM 的长为_答案6521已知点 A(0,4)，B(2,5)，C(2,1)，则 BC 边上的高等于_答案22解析直线 BC：xy30，则点 A 到直线 BC 的距离 d，|043|222即 BC 边上的高等于.2222过点 A(3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_答案3xy100解析当原点与点 A 的连线与过点 A 的直线垂直时，距离最大kOA，所13求直线的方程为 y13(x3)，即 3xy100.23直线 l1：2x4y10 与直线 l2：2x4y30 平行，点 P 是平面直角坐标系内任一点，P 到直线 l1和 l2的距离分别为 d1，d2，则 d1d2的最小值是_答案55解析l1与 l2的距离 d，|31|41655则 d1d2d，55即 d1d2的最小值是.5524两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5)，且两条直线的距离为 5，它们的方程是_答案y5 和 y0 或者 5x12y600 和 5x12y50.解析设 l1：ykx5，l2：xmy1，在 l1上取点 A(0,5)由题意 A 到 l2距离为 5，5，解得 m，|05m1|1m2125l2：5x12y50.在 l2上取点 B(1,0)则 B 到 l1的距离为 5，5，|k05|1k2k0 或 k，512l1：y5 或 5x12y600，结合 l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：l1：y5，l2：y0；或 l1：5x12y600，l2：5x12y50.三 解答题1已知直线 l1的方程为 y2x3，l2的方程为 y4x2，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相同，求直线 l 的方程解析由斜截式方程知直线 l1的斜率 k12.又ll1，l 的斜率 kk12.由题意知 l2在 y 轴上的截距为2，l 在 y 轴上的截距 b2，由斜截式可得直线 l 的方程为 y2x2.2已知ABC 的三个顶点分别是 A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，试求 BC 边上的高所在直线的点斜式方程分析BC 边上的高与边 BC 垂直，由此求得 BC 边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程解析设 BC 边上的高为 AD，则 BCAD，kBCkAD1.kAD1，解得 kAD.230335BC 边上的高所在直线的点斜式方程是 y0(x5)35即 y x3.353已知直线 yx5 的倾斜角是直线 l 的倾斜角的大小的 5 倍，分别求满足下列33条件的直线 l 的方程(1)过点 P(3，4)；(2)在 x 轴上截距为2；(3)在 y 轴上截距为 3.解析直线 yx5 的斜率 ktan，150，3333故所求直线 l 的倾斜角为 30，斜率 k.33(1)过点 P(3，4)，由点斜式方程得：y4(x3)，33yx4.333(2)在 x 轴截距为2，即直线 l 过点(2,0)，由点斜式方程得：y0(x2)，yx.33332 33(3)在 y 轴上截距为 3，由斜截式方程得 yx3.334求与两坐标轴围成面积是 12，且斜率为 的直线方程32解析设直线方程为 y xb，32令 y0 得 x b，23由题意知|b|b|12，b236，1223b6，所求直线方程为 y x6.325求过点 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程解析设直线方程的截距式为 1.xa1ya则1，解得 a2 或 a1，6a12a则直线方程是 1 或 1，x21y2x11y1即 2x3y60 或 x2y20.6已知三角形的顶点是 A(8,5)、B(4，2)、C(6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程解析设 AB、BC、CA 的中点分别为 D、E、F，根据中点坐标公式得 D(6，)、32E(1，)、F(1,4)由两点式得 DE 的直线方程为.整理得 2x14y90，这12y321232x616就是直线 DE 的方程由两点式得，y12412x111整理得 7x4y90，这就是直线 EF 的方程由两点式得y32432x616整理得 x2y90这就是直线 DF 的方程7ABC 的三个顶点分别为 A(0,4)，B(2,6)，C(8,0)(1)分别求边 AC 和 AB 所在直线的方程；(2)求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程；(3)求 AC 边的中垂线所在直线的方程；(4)求 AC 边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边 AB 和 AC 的中点的直线方程解析(1)由 A(0,4)，C(8,0)可得直线 AC 的截距式方程为 1，即x8y4x2y80.由 A(0,4)，B(2,6)可得直线 AB 的两点式方程为，即 xy40.y464x020(2)设 AC 边的中点为 D(x，y)，由中点坐标公式可得 x4，y2，所以直线 BD 的两点式方程为，即 2xy100.y626x242(3)由直线 AC 的斜率为 kAC，故 AC 边的中垂线的斜率为 k2.又 AC 的中400812点 D(4,2)，所以 AC 边的中垂线方程为 y22(x4)，即 2xy60.(4)AC 边上的高线的斜率为2，且过点 B(2,6)，所以其点斜式方程为y62(x2)，即 2xy20.(5)AB 的中点 M(1,5)，AC 的中点 D(4,2)，直线 DM 方程为，y252x414即 xy60.8求分别满足下列条件的直线 l 的方程：(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是 6；34(2)经过两点 A(1,0)，B(m,1)；(3)经过点(4，3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等分析欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式解析(1)设直线 l 的方程为 y xb.34令 y0，得 x b，43|b(b)|6，b3.1243直线 l 的方程为 y x343(2)当 m1 时，直线 l 的方程是，即 y(x1)y010 x1m11m1当 m1 时，直线 l 的方程是 x1.(3)设 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b.当 a0，b0 时，l 的方程为 1；xayb直线过 P(4，3)，1.4a3b又|a|b|，Error!解得Error!或Error!当 ab0 时，直线过原点且过(4，3)，l 的方程为 y x.34综上所述，直线 l 的方程为 xy1 或 1 或 y x.x7y734点评明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中 m 的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况9把直线 l 的一般式方程 2x3y60 化成斜截式，求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图形分析求 l 在 x 轴上的截距，即求直线 l 与 x 轴交点的横坐标在 l 的方程中令y0，解出 x 值，即为 x 轴上的截距，令 x0，解出 y 值，即为 y 轴上的截距解析由 2x3y60 得 3y2x6，y x2，23即直线 l 的一般式方程化成斜截式为 y x2，斜率为.2323在 l 的方程 2x3y60 中，令 y0，得 x3；令 x0，得 y2.即直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距分别是 3，2.则直线 l 与 x 轴，y 轴交点分别为 A(3,0)，B(0，2)，过点 A，B 作直线，就得直线 l的图形，如右图所示点评已知一般式方程讨论直线的性质：令 x0，解得 y 值，即为直线在 y 轴上的截距，令 y0，解得 x 值，即为直线在 x 轴上的截距，从而确定直线与两坐标轴的交点坐标，从而画出图形当然也可将一般式方程化为截距式来解决；化为斜截式可讨论斜率与倾斜角，以及在 y 轴上的截距10(1)已知三直线 l12x4y70，l2x2y50，l34x2y10，求证：l1l2，l1l3；(2)求过点 A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程：与直线 l：3x4y200 平行；与直线 l：3x4y200 垂直解析(1)把 l1、l2、l3的方程写成斜截式得l1y x；l2y x；12741252l3y2x，12k1k2，b1 b2，l1l2.127452k32，k1k31，l1l3.(2)解法 1：已知直线 l：3x4y200 的斜率 k.34过 A(2,2)与 l 平行的直线方程为y2(x2)即 3x4y140.34过 A 与 l 垂直的直线的斜率 k1 1k43方程为 y2(x2)即 4x3y20 为所求43解法 2：设所求直线方程为 3x4yc0，由(2,2)点在直线上，3242c0，c14.所求直线为 3x4y140.设所求直线方程为 4x3y0，由(2,2)点在直线上，42320，2.所求直线为 4x3y20.11求与直线 3x4y70 平行，且在两坐标轴上截距之和为 1 的直线 l 的方程解析解法 1：由题意知：可设 l 的方程为 3x4ym0，则 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为，.m3m4由 1 知，m12.m3m4直线 l 的方程为：3x4y120.解法 2：设直线方程为 1，xayb由题意得Error!解得Error!.直线 l 的方程为：1.x4y3即 3x4y120.12设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条件分别确定实数 m 的值(1)l 在 x 轴上的截距为3；(2)斜率为 1.解析(1)令 y0，依题意得Error!由得 m3 且 m1；由得 3m24m150，解得 m3 或 m.53综上所述，m53(2)由题意得Error!，由得 m1 且 m，12解得 m1 或，m.434313判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：3x4y20，l2：6x8y30；(3)l1：xy10，l2：2x2y20.解析(1)解方程组Error!得Error!所以直线 l1与 l2相交，交点坐标为(1,1)(2)解方程组Error!2得 10，矛盾，方程组无解所以直线 l1与 l2无公共点，即 l1l2.(3)解方程组Error!2 得 2x2y20.因此，和可以化为同一个方程，即和表示同一条直线，所以直线 l1与 l2重合14已知直线 xy3m0 和 2xy2m10 的交点 M 在第四象限，求实数 m 的取值范围分析解方程组得交点坐标，再根据点 M 在第四象限列出不等式组，解得 m 的取值范围解析由Error!得Error!交点 M 的坐标为(，)m138m13交点 M 在第四象限，Error!解得1m.m 的取值范围是(1，)181815直线 l 过定点 P(0,1)，且与直线 l1：x3y100，l2：2xy80 分别交于A、B 两点若线段 AB 的中点为 P，求直线 l 的方程解析解法 1：设 A(x0，y0)，由中点公式，有 B(x0，2y0)，A 在 l1上，B 在 l2上，Error!Error!，kAP，120414故所求直线 l 的方程为：y x1，14即 x4y40.解法 2：设所求直线 l 方程为：ykx1，l 与 l1、l2分别交于 M、N.解方程组Error!N(，)73k110k13k1解方程组Error!M(，)7k28k2k2M、N 的中点为 P(0,1)则有：()0k.1273k17k214故所求直线 l 的方程为 x4y40.解法 3：设所求直线 l 与 l1、l2分别交于 M(x1，y1)、N(x2，y2)，P(0,1)为 MN 的中点，则有：Error!Error!代入 l2的方程，得：2(x1)2y180 即 2x1y160.解方程组Error!M(4,2)由两点式：所求直线 l 的方程为 x4y40.解法 4：同解法 1，设 A(x0，y0)，Error!，两式相减得 x04y040，(1)考察直线 x4y40，一方面由(1)知 A(x0，y0)在该直线上；另一方面，P(0,1)也在该直线上，从而直线 x4y40 过点 P、A.根据两点决定一条直线知，所求直线 l 的方程为：x4y40.16求证：不论 m 取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0 都经过一个定点，并求出这个定点的坐标分析题目所给的直线方程的系数中含有字母 m，给定 m 一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以 m 为参数的直线系方程，要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出 m 的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点另一思路是：由于方程对任意的 m 都成立，那么就以 m 为未知数，整理为关于 m 的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标解析证法一：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令 m0，得 x3y110；令 m1，得 x4y100.解方程组Error!得两直线的交点为(2，3)将点(2，3)代入已知直线方程左边，得(2m1)2(m3)(3)(m11)4m23m9m110.这表明不论 m 取什么实数，所给直线都经过定点(2，3)证法二：将已知方程以 m 为未知数，整理为(2xy1)m(x3y11)0.因为 m 可以取任意实数，所以