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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二讲 函数的概念和性质,一、基础知识整合,1函数的概念,一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有,f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个_，记作yf(x)，xA，其中，x叫做_，x的取值范围A叫做函数的,；与x的值相对应的y值叫做_，其集合f(x)|xA叫做函数的_,唯一确定的数,函数,自变量,定义域,函数值,值域,2,函数的表示方法,(1),解析法：就是用,_,_,表示两个变量之间的对应关系的方法,(2),图象法：就是用,_,_,表示两个变量之间的对应关系的方法,(3),列表法：就是,_,_,来表示两个变量之间的对应关系的方法,3,构成函数的三要素,(1),函数的三要素是：,_,，,_,，,_.,(2),两个函数相等：如果两个函数的,_,相同，并且,_,完全一致，则称这两个函数相等,数学表达式,图象,列出表格,定义域,对应关系,值域,定义域,对应关系,4,分段函数,若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数,5,映射的概念,一般地，设,A,，,B,是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系,f,，使对于集合,A,中的,_,元素,x,，在集合,B,中都有,_,元素,y,与之对应，那么就称对应,f,：,AB,为从集合,A,到集合,B,的一个映射,任意一个,唯一确定的,6,映射与函数的关系,(1),联系：映射的定义是在函数的现代定义,(,集合语言定义,),的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的,_,(2),区别：函数是从非空数集,A,到非空数集,B,的映射；对于映射而言，,A,和,B,不一定是数集,7.,复合函数,一般地，对于两个函数,y,f(u),和,u,g(x),，如果通过变量,u,，,y,可以表示成,x,的函数，那么称这个函数为函数,y,f(u),和,u,g(x),的复合函数，记作,y,f(g(x),，其中,y,f(u),叫做复合函数,y,f(g(x),的外层函数，,u,g(x),叫做,y,f(g(x),的内层函数,映射,8.,函数的单调性,(1),增函数与减函数,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,：,如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的,自变量的值,x,1,，,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说函数,f,(,x,),在区间,D,上是,如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的,自变量的值,x,1,，,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说函数,f,(,x,),在区间,D,上是,(2),单调性与单调区间,如果函数,y,f,(,x,),在区间,D,上是增函数或减函数，那么就说函数,y,f,(,x,),在这一区间具有,(,严格的,),，区间,D,叫做,y,f(x),的,任意两个,增函数,任意两个,减函数,单调性,单调区间,9.,奇、偶函数的概念,(1),偶函数,一般地，如果对于函数,f(x),的定义域内任意一个,x,，都有,，那么函数,f(x),就叫做偶函数,(2),奇函数,一般地，如果对于函数,f(x),的定义域内任意一个,x,，都有,，那么函数,f(x),就叫做奇函数,10.,奇、偶函数的图象特征,偶函数的图象关于,对称；,奇函数的图象关于,对称,f(,x),f(x,),f(,x),f(x),y,轴,原点,11.,具有奇偶性函数的定义域的特点,具有奇偶性函数的定义域关于，即,“,定义域关于,”,是,“,一个函数具有奇偶性,”,的条件,12.,周期函数的概念,(1),周期、周期函数,对于函数,f(x),，如果存在一个,T,，使得当,x,取定义域内的,值时，都有,，那么函数,f(x),就叫做周期函数,T,叫做这个函数的周期,(2),最小正周期,如果在周期函数,f(x),的所有周期中存在一个,的正数，那么这个最小正数就叫做,f(x),的最小正周期,非零常数,每一个,f(x,T),f(x),最小,13.,函数奇偶性与单调性之间的关系,(1),若函数,f(x),为奇函数，且在,a,，,b,上为增,(,减,),函数，则,f(x),在,b,，,a,上为,；,(2),若函数,f(x),为偶函数，且在,a,，,b,上为增,(,减,),函数，则,f(x),在,b,，,a,上为,14.,奇、偶函数的,“,运算,”,(,共同定义域上,),奇,奇,，偶,偶,，奇,奇,，偶,偶,，奇,偶,.,增,(,减,),函数,减,(,增,),函数,奇,偶,偶,偶,奇,15.,函数的对称性,如果函数,f(x),，,x,D,，满足,x,D,，恒有,f(a,x),f(b,x),，那么函数的图象有对称轴,如果函数,f(x),，,x,D,，满足,x,D,，恒有,f(a,x),f(b,x,),，那么函数的图象有对称中心,16.,函数的对称性与周期性的关系,(1),如果函数,f(x)(xD),在定义域内有两条对称轴,x,a,，,x,b(ab),，则函数,f(x),是周期函数，且周期,T,2(b,a)(,不一定是最小正周期，下同,),(2),如果函数,f(x)(xD),在定义域内有两个对称中心,A(a,，,0),，,B(b,，,0)(a0,，对应关系,f,：对,P,中三角形求面积与集合,Q,中元素对应,【答案】,【解析】由于,中集合,P,中元素,0,在集合,Q,中没有对应元素，而,中集合,P,不是数集，所以,和,都不是集合,P,上的函数由题意知，,正确故填,.,【名师点睛】,1.,函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：,定义域和对应关系是否给出；,根据给出的对应关系，自变量,x,在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值,y,与之对应；,集合,P,，,Q,是否为非空数集,2.,两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变,(,即是否是等价变形,),；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断,1.,若函数,y,f,(,x,),的定义域为,M,x,|,2,x,2,，值域为,N,y,|0,y,2,，则函数,y,f,(,x,),的图象可能是,(,),解析,A,中函数定义域不是,2,，,2,，,C,中图象不表示函数,，,D,中函数值域不是,0,，,2.,答案,B,二、自主小测,答案,D,答案,C,答案,B,答案,C,答案,2,三、热点题型展示,类型一求函数的定义域,【名师点睛】,求函数定义域的类型及求法,(1),已知函数的解析式,，,则构造使解析式有意义的不等式,(,组,),求解,.,(2),对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式,(,组,),求解,.,(3),若已知,f,(,x,),的定义域为,a,，,b,，,则,f,(,g,(,x,),的定义域可由,a,g,(,x,),b,求出；若已知,f,(,g,(,x,),的定义域为,a,，,b,，则,f,(,x,),的定义域为,g,(,x,),在,x,a,，,b,时的值域,.,类型二求函数的解析式,【名师点睛】,求函数解析式的常用方法,(1),待定系数法：若已知函数的类型,，,可用待定系数法,.,(2),换元法：已知复合函数,f,(,g,(,x,),的解析式,，,可用换元法,，,此时要注意新元的取值范围,.,解析,根据分段函数的意义,，,f,(,2),1,log,2,(2,2),1,2,3.,又,log,2,121,f,(log,2,12),2,(log,2,12,1),2,log,2,6,6,，,因此,f,(,2),f,(log,2,12),3,6,9.,答案,C,类型三分段函数,【名师点睛】,(1),根据分段函数解析式求函数值,.,首先确定自变量的值属于哪个区间,，,其次选定相应的解析式代入求解,.,(2),已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,，,应根据每一段的解析式分别求解,，,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围,.,提醒,当分段函数的自变量范围不确定时,，应分类讨论,.,类型四 函数的单调性、奇偶性与周期性,答案,D,解析,(1),因为,f,(,x,),是偶函数,，,g,(,x,),是奇函数,，,所以,f,(1),g,(1),f,(,1),g,(,1),(,1),3,(,1),2,1,1.,答案,2,【名师点睛】,1.,求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致,(1),定义法：先求定义域，再利用单调性定义（取值、作差、变形、定号、下结论）求解；,(2),图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；,(3),复合函数法：同增异减，即内外层函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数,2.,特别注意：单调区间必为定义域的子集,单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号,“,”,联结，也不能用,“,或,”,联结,4.,对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断,5.,对于含有,x,的对数式或指数式的函数通常用,“,f(,x),f(x),0,”,来判断,6.,判断周期函数的一般方法,(1),定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化,(2),公式法：若函数,f(x),是周期函数，且周期为,T,，则函数,f(ax,b)(a0),也为周期函数，且周期,.,1.,设,f,(,x,),ln,x,x,2,，则函数,f,(,x,),的零点所在的区间为,(,),A.(0,，,1)B.(1,，,2)C.(2,，,3)D.(3,，,4),解析：,法一,函数,f,(,x,),的零点所在的区间可转化为函数,g,(,x,),ln,x,，,h,(,x,),x,2,图象交点的横坐标所在的取值范围,.,作图如下：,可知,f,(,x,),的零点所在的区间为,(1,，,2).,法二,易知,f,(,x,),ln,x,x,2,在,(0,，,),上为增函数,，,且,f,(1),1,2,10.,所以根据函数零点存在性定理,可知在区间,(1,，,2),内函数存在零点,.,类型五 函数与方程,2.,函数,f,(,x,),ax,1,2,a,在区间,(,1,，,1),上存在一个零点，则实数,a,的取值范围是,_.,【名师点睛】,1,函数,y,f(x),的零点即方程,f(x),0,的实根，易误为函数点,2,由函数,y,f(x),在闭区间,a,，,b,上有零点不一定能推出,f(a),f(b),0,，如图所示,所以,f(a),f(b),0,是,y,f(x),在闭区间,a,，,b,上有零点的充分不必要条件,3.,有关函数零点的结论,(1),若连续不断的函数,f(x),在定义域上是单调函数，则,f(x),至多有一个零点,(2),连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号,(3),连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号,三、易错易混辨析,【正解】据题意使原函数在定义域,R,上为减函数，,只需满足：，故选,C,；,【名师点睛】,函数最值的重要结论,(1),设,f(x),在某个集合,D,上有最小值，,m,为常数，则,f(x)m,在,D,上恒成立的充要条件是,f(x),minm,；,(2),设,f(x),在某个集合,D,上有最大值，,m,为常数，则,f(x)m,在,D,上恒成立的充要条件是,f(x),maxm,.,四、强化训练提高,答案,A,答案,C,11.,已知函数,f(2x,1),的定义域为,1,，,4,，则函数,f(2,x,),的定义域为,_,【答案】,0,，,log,2,7,【解析】,函数,f(2x,1),的定义域为,1,，,4,，,1x4,，,12x,17,，,故函数,f(x),的定义域是,1,，,7,令,1,2,x,7,，得,0,x,log,2,7,，故所求函数的定义域为,0,，,log,2,7,故填,0,，,log,2,7,
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