二元一次不等式表示平面区域.pptx

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x+4y 4表达的平面区域,(,2,)（,直线定界,）:先画直线x+4y 4=0（画成虚线）,(,3,)（,特殊点定域,）:取原点（0，0），代入x+4y-4，,得,0+40 4=-4 0,(4)（取舍）因此原点在x+4y 4 0表达的平面区域内，不等式x+4y 4 0表达的区域如图所示。,x,y,x+4y4=,0,解：(1)（化成原则式）x+4y 4 4,x-y-40,x-y-40,例1、画出 x+4y4 表达的平面区域,x+4y=4,x+4y4,（2）x-y-40,o,x,y,x-y-4=0,y 3x+12,x0,(2)x+y0,y,x,o,2x+y=4,(3),(3)2x+y0 在平面直角坐标系中表达直线Ax+By+C=0某一侧全部点构成的平面区域。,由于对直线同一侧的全部点(x,y)，把它,代入Ax+By+C，所得实数的符号都相似，因此只需在此直线的某一侧取一种特殊点(x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负能够判断出Ax+By+C0表达哪一侧的区域。,普通在C0时，取原点作为特殊点。,9/9/2026,应当注意的几个问题：,1,、若不等式中,不含,0,，则边界应,画成虚线,，,2、二元一次不等式表达平面区域的判断办法：,“直线定界、特殊点定域”,否则应,画成实线。,拟定环节：,_、_,若C0，则 _、_.,直线定界,特殊点定域,直线定界,原点定域,9/9/2026,课堂练习2：,1、不等式x 2y+6 0表达的区域在直线x 2y+6=0的（）,（A）右上方（B）右下方（C）左上方（D）左下方,2、不等式3x+2y 6 0表达的平面区域是（）,B,D,9/9/2026,课堂练习2：,3、不等式组,B,表达的平面区域是（）,9/9/2026,x+y=0,x+y0,x,y,o,x+y0,9/9/2026,x,-,y+,1,0,x,y,o,1,-,1,x,-,y+,1,=0,x y+10,9/9/2026,x,y,o,3,6,2x+y-60,2x+y-6=0,9/9/2026,x,y,o,3,5,-,5,x-y+5=0,x+y=0,x=3,9/9/2026,x+y+2=0,x+2y+1=0,2x+y+1=0,x,y,o,1,2,2,1,x+y+2 0,x+2y+1 0,2x+y+1 0,9/9/2026,由图知：平面区,域是边长为 的,正方形。,x,y,o,1,1,1,1,x+y 1=0,x+y+1=0,x y 1=0,x y+1=0,S=2,9/9/2026,简朴的,线性规划问题,2026/9/9,练习题.,1.在同一坐标系上作出下列直线:,2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7,x,Y,o,9/9/2026,2.作出下列不等式组的所示的平面区域,9/9/2026,5,5,x=1,x-4y+3=0,3x+5y-25=0,1,A,B,C,C:,(1.00,4.40),A:,(5.00,2.00),B:,(1.00,1.00),O,x,y,9/9/2026,一、,提出问题,设z=2x+y,求满足,时,z的最大值和最小值,.,9/9/2026,5,5,x=1,x-4y+3=0,3x+5y-25=0,1,A,B,C,C:,(1.00,4.40),A:,(5.00,2.00),B:,(1.00,1.00),O,x,y,直线L越往右平移,t随之增大.,以通过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;通过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.,9/9/2026,线性规划,问题：,设,z,=2,x,+,y,，式中变量满足,下列条件：,求z的最大值与最小值。,目的函数,（线性目的函数）,线性约,束条件,任何一种满足不等式组的（x,y）,可行解,可行域,全部的,最优解,线性规划问题,讲授新课,1.上述问题中，不等式组是一组对变量,x、y的约束条件，这组约束条件都是,有关x、y的一次不等式，因此又叫线,性约束条件.,线性约束条件除了用一次不等式表达,外，有时也用一次方程表达.,9/9/2026,讲授新课,2.欲求最大值或最小值的函数z=2x+y,叫做目的函数.,由于 z=2x+y又是x、y的一次解析式，,因此又叫线性目的函数.,3.普通地，求线性目的函数在线性约束,条件下的最大值或最小值的问题，统称,为线性规划问题.,9/9/2026,讲授新课,4.满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.,5.由全部可行解构成的集合叫做可行域.,6.使目的函数获得最大值或最小值的可行,解，它们都叫做这个问题的最优解.,9/9/2026,线性规划,练习1:,解下列线性规划问题：,求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下,列条件：,2x+y=0,2x+y=-3,2x+y=3,答案,：,当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.,当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.,作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当l0平行线l1过A点时，可使z=2x+y达成最小值，当l0平行线l2过B点时，可使z=2x+y达成最大值.,讲授新课,解：先作出可行域，见图中ABC表达的区域,且求得,z,min,=2,(1),+(,1)=,3,，,z,max,=22+(,1)=3.,9/9/2026,线性规划,例2,解下列线性规划问题：,求z=300 x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：,x+3y=0,300 x+900y=0,300 x+900y=112500,答案,：,当x=0,y=0时，z=300 x+900y有最小值0.,当x=0,y=125时，z=300 x+900y有最大值112500.,讲授新课,解答线性规划问题的环节：,第一步：根据约束条件画出可行域；,第二步：令z0，画直线l0；,第三步：观察，分析，平移直线l0，,从而找到最优解；,第四步：求出目的函数的最大值或最,小值.,9/9/2026,例3.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三,种规格,每张钢板能够同时截得三种规格的小,钢板的块数以下表所示：,A,规格,B,规格,C,规格,第一种钢板,2,1,1,第二种钢板,1,2,3,今需要,A,、,B,、,C,三种成品分别是,15,、,18,、,27,块，,问各截这两种钢板多少块可得所需三种规格成,品，且使所用钢板张数最少,.,规格类型,钢板类型,2.,用量最省问题,讲授新课,9/9/2026,讲授新课,解：,设需截第一种钢板,x,张，第二种钢板,y,张，则,作出可行域：,目的函数为zxy,9/9/2026,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,9/9/2026,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,9/9/2026,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,9/9/2026,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,9/9/2026,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,9/9/2026,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,9/9/2026,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,9/9/2026,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,9/9/2026,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,9/9/2026,在可行域内找出最优整数解问题的普通办法是：,3.在可行域内找整数解，普通采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解。,调节优值法,打网格线法,1.若区域“顶点”处正好为整点，那么它就是最优解；（在涉及边界的状况下）,2.若区域“顶点”不是整点或不涉及边界时，应先求出该点坐标，并计算目的函数值Z，然后在可行域内适宜放缩目的函数值，使它为整数，且与Z最靠近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止,9/9/2026,【例1】画出不等式组 表达的平面区,域,并回答下列问题:,(1)指出x,y的取值范畴;,(2)平面区域内有多少个整点?,思维启迪 (1)不等式组表达的平面区域是各个不等式所示的,平面点集的交集,因而是各个不等式所示的平面区域的公共部分,但要注意与否包含边界.(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点.,解 (1)不等式x-y+50表达直线,x-y+5=0上及右下方的点的集合.x+y0,表达直线x+y=0上及右上方的点的集合,x3表达直线x=3上及左方的点的集合.,9/9/2026,因此,不等式组,表达的平面区域如图所示.,结合图中可行域得,(2)由图形及不等式组知,当x=3时,-3y8,有12个整点;,当x=2时,-2y7,有10个整点;,当x=1时,-1y6,有8个整点;,当x=0时，0y5，有6个整点；,当x=-1时,1y4,有4个整点;,当,x,=-2时,2,y,3,有2个,整点;平面区域内的,整点共有,2+4+6+8+10+12=42个.,9/9/2026,【例4】实数x,y满足,（1）若 求z的最大值和最小值，并求z的取值,范畴；,（2）若z=x2+y2，求z的最大值与最小值,并求z的取值,范畴.,(1)表达的是区域内的点与原点,连线的斜率.故 的最值问题即为直线的斜率的,最大值与最小值.,（2）z=x2+y2的最值表达的是区域内的点与原点的两点,距离的平方的最大值、最小值.,解题思路,9/9/2026,解 作出可行域如,图阴影部分所示.,表达可行域内任一点与,坐标原点连线的斜率，4分,因此 的范畴为直线OB的斜率到直线OA的斜率,(OA斜率不存在）.,zmax不存在，zmin=2,z的取值范畴是2，+）.7分,9/9/2026,(2)z=x2+y2表达可行域内的任意一点与坐标原点的两,点间距离的平方.9分,因此x2+y2的范畴最小为|OA|2（取不到），最大为,|OB|2.,由 得A(0，1)，,|OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5.,zmax=5，z无最小值.,故z的取值范畴是（1，5.12分,9/9/2026,5.,已知实数,x,，,y,满足 则,z,2,x,y,的最小值,是,1,.,解：由约束条件画出x，y满足的可行域，得三个点A(2,0)，B(5,3)，C(1,3)，当目的函数过点C(1,3)时z获得最小值.,2026/9/9,已知实数,x,，,y,满足,(1),若,z,2x,y,，求,z,的最大值和最小值,.,(2),若,z,x,2,y,2,，求,z,的最大值和最小值；,(3),若,z,，求,z,的最大值和最小值,.,2026/9/9,解：不等式组 表达的平面区域如图所示.,图中阴影部分即为可行域.,由,得 A(1,2)；,由 得,B(2,1)；,2026/9/9,由 得 ,M(2,3).,(1)z2xy，y2xz，,当直线y2xz通过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，z也最大，此时,zmax2237.,当直线y2xz通过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，z也最小，此时,zmin2124.,因此z的最大值为7，最小值为4.,2026/9/9,(2),过原点,(0,0),作直线,l,垂直于直线,x,y,3,0,，垂足为,N,，则直线,l,的方程为,y,x,，,由 得 ,N(),，,点,N(),在线段,AB,上，也在可行域内,.,此时可行域内点,M,到原点的距离最大，点,N,到原点的距离最小,.,2026/9/9,又|OM|，|ON|，,即 ，x2y213，,因此，z的最大值为13，z的最小值为 .,(3)kOA2，kOB ，2，,因此z的最大值为2，z的最小值为 .,2026/9/9,解：不等式组表达的平面区域,如图所示.A(0，)，B(1,1)，C(0,4).,SABC|AC|h,答案：,C,1.(2009安徽高考)不等式组 所示的平面区域,的面积等于 (),A.B.,C.D.,2026/9/9,2.(2009,宁夏、海南高考,),设,x,、,y,满足 则,z,x,y,(,),A.,有最小值,2,，最大值,3,B.,有最小值,2,，无最大值,C.,有最大值,3,，无最小值,D.,既无最小值，也无最大值,2026/9/9,解析：,不等式组 的平面区域为如图的阴影区域,.,x,y,在点,A,(2,0),处取最小值为,2,，无最大值,.,答案：,B,2026/9/9,3.,若实数,x,，,y,满足 且,x,2,y,2,的最大值等于,34,，,则正实数,a,的值等于,(,),A.B.,C.D.,2026/9/9,解：在平面直角坐标系中画出已知不等式组所示的平面区域MPA(如图所示)，其中直线axya0的位置不拟定，但它通过定点A(1,0)，斜率为a.,2026/9/9,又由于x2y2()2，且x2y2的最大值等于34，,因此平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于 ，,又M(，3)，OM ，,因此点P(1,3)到原点的距离最大，,故有(1)2934，解得a .,答案：,B,2026/9/9,解析：,由两点式得直线,AB,、,BC,、,CA,的方程并化简为：,直线,AB,：,x,2y,2,0,，直线,BC,：,x,y,4,0,，,直线,CA,：,5x,2y,2,0.,原点,(0,0),不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组,为,4.如图，ABC中，A(0,1)，B(2,2)，,C(2,6)，则ABC区域所示的二元,一次不等式组为.,2026/9/9,答案：,A,9/9/2026,解析：作出可行域为如图,所示的三角形由t2yx知,过A(1,1)时t获得最大值为1.,答案：,B,9/9/2026,4写出能表达图中阴影部分的二元一次不等式组是,_,9/9/2026,解析：,点,(,x,，,y,),在如图所示的阴影三角,形中，将,z,视为直线,z,5,x,y,在,y,轴上的,截距，显然直线,z,5,x,y,过点,A,(1,0),时，,z,最大，,z,max,51,0,5.,答案：,5,9/9/2026,答案,B,自主解答画出可行域如图阴影部分表达直线2xy100过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0),9/9/2026,答案：,D,解析：如图，作出不等式组表达的可,行域，显然当直线z12x3y通过点,C(1,2)时获得最大值，最大值为a,21328，当直线z23x2y通过点B(0,1)时获得最小值，最小值为b0212，故ab826.,9/9/2026,例3(2011四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需送往A地最少72吨的货品，派用的每辆车需满载且只运输一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运输一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运输一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z (),A4 650元 B4 700元,C4 900元 D5 000元,9/9/2026,9/9/2026,答案,C,9/9/2026,9/9/2026,9/9/2026,9/9/2026,解：,作出可行域如右图中的阴影部分,ABC,，图中各点的坐标分别为,A,(4,0),，,B,(3,4),，,C,(0,3),，,D,(1,1),由图可知,x,2,y,2,的最小值是原点到直线,AC,：,3,x,4,y,12,0,的距离的平方，最大值是线段,OB,的长度的平方；,9/9/2026,9/9/2026,运用线性规划解决实际问题,【,例,3】,某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为,3,千元、,2,千元甲、乙产品需要在,A,、,B,两种设备上加工，在每台设备,A,、,B,上加工一件甲产品所需工时分别为,1,小时、,2,小时，加工一件乙产品所需工时分别为,2,小时、,1,小时，,A,、,B,两种设备每月有效使用时数分别为,400,和,500,，如何安排生产可使收入最大？,9/9/2026,9/9/2026,9/9/2026,讲授新课,解题的普通环节：,1.设立所求的未知数；2.列出约束条件；3.建立目的函数；4.作出可行域；5.运用图解法，求出最优解;,6.实际问题需要整数解时，适宜,调节，拟定最优解.,9/9/2026,