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第一章 集合与常用逻辑用语
第1-2课时 集合的概念
考情分析
考点新知
了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．
学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.
学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.
集合含义中掌握集合的三要素.
④ 不要求证明集合相等关系和包含关系.
1. (必修1P10第5题改编)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________．
答案：－
解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，此时当m＝－时，m＋2＝≠3满足题意．所以m＝－.
2. (必修1P7第4题改编)已知集合{a|0≤a<4，a∈N}，用列举法可以表示为________．
答案：
解析：因为a∈N，且0≤a<4，由此可知实数a的取值为0，1，2，3.
3. (必修1P17第6题改编)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)，AB，则a∈________．
答案：[4，＋∞)
解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知．
4. (原创)设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则A、B的关系是________．
答案：A＝B
解析：化简得A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥1}，所以A＝B.
5. (必修1P17第8题改编)满足条件{1}M{1，2，3}的集合M的个数是________．
答案：4个
解析：满足条件{1}M{1，2，3}的集合M有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．
1. 集合的含义及其表示
(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．
(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．
(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．
(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．
2. 两类关系
(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．
(2) 集合与集合之间的关系
① 包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．
② 真包含关系：如果AB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．
③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等．
(3) 含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
题型1 正确理解和运用集合概念
例1 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1) 若A是空集，求a的取值范围；
(2) 若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来；
(3) 若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解： (1) 若A是空集，则Δ＝9－8a＜0，解得a＞.
(2) 若A中只有一个元素，则Δ＝9－8a＝0或a＝0，解得a＝或a＝0；当a＝时这个元素是；当a＝0时，这个元素是.
(3) 由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a≥或a＝0.
已知a≤1时，集合[a，2－a]中有且只有3个整数，则a的取值范围是________．
答案：－1<a≤0
解析：因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a的取值范围是－1<a≤0.
设集合M＝，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则M________N.
答案：真包含于
题型2 集合元素的互异性
例2 已知a、b∈R，集合A＝{a，a＋b，1}，B＝，且AB，BA，求a－b的值．
解：∵ AB，BA，∴ A＝B.
∵ a≠0，∴ a＋b＝0，即a＝－b，∴ ＝－1，
∴ b＝1，a＝－1，∴ a－b＝－2.
已知集合A＝{a，a＋b, a＋2b}，B＝{a，ac, ac2}．若A＝B，则c＝________．
答案：－
解析：分两种情况进行讨论．
① 若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得a＋ac2－2ac＝0.
当a＝0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.∴ c2－2c＋1＝0，即c＝1.但c＝1时，B中的三元素又相同，此时无解．
② 若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得2ac2－ac－a＝0.
∵ a≠0，∴ 2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.
又c≠1，故c＝－.
集合A＝，集合B＝{a2，a＋b，0}，若A＝B，求a2 013＋b2 014的值．
解：由于a≠0，由＝0，得b＝0，则A＝{a，0，1}，B＝{a2，a，0}．
由A＝B，可得a2＝1.又a2≠a，则a≠1，则a＝－1.
所以a2 013＋b2 014＝－1.
题型3 根据集合的含义求参数范围
例3 集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1) 若BA，求实数m的取值范围；
(2) 当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1) 当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA；
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使BA成立，则解得2≤m≤3.
综上所述，当m≤3时有BA.
(2) 因为x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则
① 若B＝，即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；
② 若B≠，则要满足条件解得m＞4.
或无解．
综上所述，实数m的取值范围为m＜2或m＞4.
已知集合A＝{y|y＝－2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2＋3x－a2－3a>0}．若AB，求实数a的取值范围．
解：由题意有A＝[－8，－4]，B＝{x|(x－a)(x＋a＋3)>0}．
① 当a＝－时，B＝，所以AB恒成立；
② 当a<－时，B＝{x|x<a或x>－a－3}．因为AB，所以a>－4或－a－3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－；
③ 当a>－时，B＝{x|x<－a－3或x>a}．因为AB，所以－a－3>－4或a<－8(舍去)，解得－<a<1.
综上，当AB时，实数a的取值范围是(－4，1)．
1. 设集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜a}，且满足A真包含于B，则实数a的取值范围是____________．
答案：(2，＋∞)
解析：利用数轴可得实数a的取值范围是(2，＋∞)．
2. 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中元素的个数为________．
答案：10
解析：B中所含元素有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)．
3. 若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．
答案：3
解析：具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
4. 已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．
答案：2
解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M和N的交集，所以由M＝{x|－1≤x≤3}，得M∩N＝{1，3}，有2个．
5. 设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数为________．
答案：8
解析：(1) ∵ P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，∴ 当a＝0时，a＋b的值为1，2，6；当a＝2时，a＋b的值为3，4，8；当a＝5时，a＋b的值为6，7，11，∴ P＋Q＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，∴ P＋Q中有8个元素．
1. 已知A＝{x|x2－2x－3≤0}，若实数a∈A，则a的取值范围是________．
答案：[－1，3]
解析：由条件，a2－2a－3≤0，从而a∈[－1，3]．
2. 现有含三个元素的集合，既可以表示为，也可表示为{a2，a＋b，0}，则a2 013＋b2 013＝________．
答案：－1
解析：由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 013＋b2 013＝(－1)2 013＝－1.
3. 已知集合A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]＜0}，
B＝.
(1) 当a＝2时，求A∩B；
(2) 求使B真包含于A的实数a的取值范围．
解：(1) A∩B＝{x|2＜x＜5}．
(2) B＝{x|a＜x＜a2＋1}．
①若a＝时，A＝，不存在a使BA；
②若a＞时，2≤a≤3；③若a＜时，－1≤a≤－.
故a的取值范围是∪[2，3]．
4. 已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且1∈A，求实数a的值．
解：由题意知：a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，
∴ a＝－1或－2或0，根据元素的互异性排除－1，－2，
∴ a＝0即为所求．
1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：AB，则需考虑A＝和A≠两种可能的情况．
3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
[备课札记]
第3-4课时 集合的基本运算
.
考情分析
考点新知
理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．
① 在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.
② 会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.
③ 会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示.
1. (原创)集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝________．
答案：{－1，0，1}
解析：M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，所以M∩N＝{－1，0，1}．
2. (必修1P17第13题改编)A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且xA∩B}．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x}，则A×B＝________．
答案：(－∞，3)
解析：A＝(－∞，0)∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)．所以A×B＝(－∞，3)．
3. (必修1P10第4题改编)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝，则∁UA＝________．
答案：{0}
解析：因为A＝，当n＝0时，x＝－2；当n＝1时不合题意；当n＝2时，x＝2；当n＝3时，x＝1；当n≥4时，xZ；当n＝－1时，x＝－1；当n≤－2时，xZ.故A＝{－2，2，1，－1}．又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁UA＝{0}．
4. (必修1P14第8题改编)设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝________ .
答案：{1，4，5}
解析：A∩B＝{2，3}，所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．
5. (必修1P17第6题改编)已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a＝________．
答案：1或2
解析：验证a＝1时B＝满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．
1. 集合的运算
(1) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(2) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3) 全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．
(4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A的补集(或余集)，记作∁SA，即∁SA＝{x|x∈S，但xA}．
2. 常用运算性质及一些重要结论
(1) A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A；
(2) A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A；
(3) A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U；
(4) A∩B＝AAB，A∪B＝ABA；
(5) ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
[备课札记]
题型1 集合的运算
例1 若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4}，则(∁UM)∩(∁UN)＝________．
答案：{5，6}
解析：∵ M∪N＝{1，2，3，4}，
∴ (∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5，6}．
若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M∩N＝N，N＝{1，4}，试求满足条件的集合M的个数．
解：由M∩N＝N得MN.
含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，含有6个元素的集合M有1个．
因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．
题型2 求参数的范围
例2 设关于x的不等式x(x－a－1)＜0(a∈R)的解集为M，不等式x2－2x－3≤0的解集为N.
(1) 当a＝1时，求集合M；
(2) 若M∪N＝N，求实数a的取值范围．
解：(1) 当a＝1时，由已知得x(x－2)＜0，
解得0＜x＜2.所以M＝{x|0＜x＜2}．
(2) 由已知得N＝{x|－1≤x≤3}．
① 当a＜－1时，因为a＋1＜0，所以M＝{x|a＋1＜x＜0}．
由M∪N＝N，得MN，所以－1≤a＋1＜0，解得－2≤a＜－1.
② 当a＝－1时，M＝，显然有MN，所以a＝－1成立．
③ 当a＞－1时，因为a＋1＞0，所以M＝{x|0＜x＜a＋1}．
因为MN，所以0＜a＋1≤3，解得－1＜a≤2.
综上所述，实数a的取值范围是[－2，2]．
已知A＝{x|ax－1>0}，B＝{x|x2－3x＋2>0}．
(1) 若A∩B＝A，求实数a的取值范围；
(2) 若A∩∁RB≠，求实数a的取值范围．
解：(1) 由于A∩B＝A 得AB，由题意知B＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>≥2，得0＜a≤；若a＝0，则A＝，成立；若a＜0，则x＜＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a≤.
(2) ∁RB＝{x|1≤x≤2}，若a＝0，则A＝，不成立；若a＜0，则x＜＜1，不成立；若a＞0，则x＞，由＜2得a＞.综上所述，a＞.
题型3 集合综合题
例3 已知f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．
(1) 当b＝2时，求f(x)的值域；
(2) 若b为正实数，f(x)的最大值为M，最小值为m，且满足M－m≥4，求b的取值范围．
解：(1) 当b＝2时，f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．
因为f(x)在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f()＝2－3.
又f(1)＝f(2)＝0，
所以f(x)的值域为[2－3，0]．
(2) ① 当0＜b＜2时，f(x)在[1，2]上单调递增，
则m＝b－2，M＝－1，此时M－m＝－＋1≥4，得b≤－6，与0＜b＜2矛盾，舍去；
② 当2≤b＜4时，f(x)在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以M＝max{f(1)，f(2)}＝b－2，m＝f()＝2－3，则M－m＝b－2＋1≥4，得(－1)2≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾，舍去；
③ 当b≥4时，f(x)在[1，2]上单调递减，则M＝b－2，m＝－1，此时M－m＝－1≥4，得b≥10.综上所述，b的取值范围是[10，＋∞)．
设集合A＝{x|x2－2x＋2m＋4＝0}，B＝{x|x<0}．若A∩B≠，求实数m的取值范围．
解：(解法1)据题意知方程x2－2x＋2m＋4＝0至少有一个负实数根．
设M＝{m|关于x的方程x2－2x＋2m＋4＝0两根均为非负实数}，
则
∴ M＝.
设全集U＝{m|Δ≥0}＝，
∴ m的取值范围是∁UM＝{m|m<－2}．
(解法2)方程的小根x＝1－<0
>1－2m－3>1m<－2.
(解法3)设f(x)＝x2－2x＋4，这是开口向上的抛物线．因为其对称轴x＝1>0，则据二次函数性质知命题又等价于f(0)<0m<－2.
1. 设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．
答案：{1，2，5}
解析：由题意知log2(a＋3)＝2，得a＝1，b＝2，则A∪B＝{1，2，5}．
2. 已知全集U＝(－∞，3]，A＝[－1，2)，则∁UA＝____．
答案：(－∞，－1)∪[2，3]
解析：利用数轴可得∁UA＝(－∞，－1)∪[2，3]．
3. 如图，已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．
答案：{2，8}
解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2，8}．
4. 已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝0}，Q＝{(x，y)|x－y＝2}，则Q∩P＝________．
答案：{(1，－1)}
解析：由解得由于两集合交集中元素只有一个点，故Q∩P＝{(1，－1)}．
5. 设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且xQ}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝________．
答案：{x|0<x≤1}
解析：由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；
由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．
由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．
1. 设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝________．
答案：{1，3，5}
解析：画出韦恩图，可知N＝{1，3，5}．
2. 设全集为R，集合A＝{x|x≤3或x≥6}，B＝{x|－2<x<9}．
(1) 求A∪B，(∁RA)∩B；
(2) 已知C＝{x|a<x<a＋1}，若CB，求实数a的取值范围．
解：(1) A∪B＝R，∁RA＝{x|3<x<6}，
∴ (∁RA)∩B＝{x|3<x<6}．
(2) ∵ C＝{x|a<x<a＋1}，且CB,
∴
∴ 所求实数a的取值范围是－2≤a≤8.
3. 设全集I＝R，已知集合M＝，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1) 求(∁IM)∩N；
(2) 记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1) ∵ M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，
∴ ∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴ (∁IM)∩N＝{2}．
(2) A＝(∁IM)∩N＝{2}，
∵ A∪B＝A，∴ BA，∴ B＝或B＝{2}，
当B＝时，a－1>5－a，∴ a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3.
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
4. 设全集U＝R，函数f(x)＝lg(|x＋1|＋a－1)(a＜1)的定义域为A，集合B＝{x|cosπx＝1}．若(∁UA)∩B恰好有2个元素，求a的取值集合．
解：|x＋1|＋a－1＞0|x＋1|＞1－a，
当a＜1时，1－a＞0，∴ x＞－a或x＜a－2，
∴ A＝(－∞，a－2)∪(－a，＋∞)．
∵ cosπx＝1，∴ πx＝2kπ，∴ x＝2k(k∈Z)，
∴ B＝{x|x＝2k，k∈Z}．
当a＜1时，∁UA＝[a－2，－a]在此区间上恰有2个偶数．
∴ .
1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意：
(1) 勿忘对空集情形的讨论；
(2) 勿忘集合中元素的互异性；
(3) 对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；
(4) 对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．
2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”
(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？
(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．
(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．
第5-6课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考情分析
考点新知
了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．
会分析四种命题的相互关系.
会判断必要条件、充分条件与充要条件.
能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).
能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.
⑤ 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1. (选修11P20第4(1)题改编)命题“若a、b、c成等比数列，则ac＝b2”的逆否命题是________________________________________________________________________．
答案：若ac≠b2，则a、b、c不成等比数列
2. (选修11P20第6题改编)若命题p的否命题为q，命题q的逆否命题为r，则p与r的关系是__________．
答案：互为逆命题
3. (选修11P20第7题改编)已知p、q是r的充分条件，r是s的充分条件，q是s的必要条件，则s是p的__________条件．
答案：必要不充分
4. (原创)写出命题“若x＋y＝5，则x＝3且y＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
答案：逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5.是真命题．
否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题．
逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5.是假命题．
5. 下列命题中的真命题有________．(填序号)
① x∈R，x＋＝2；
② x∈R，sinx＝－1；
③ x∈R，x2>0；
④ x∈R，2x>0.
答案：①②④
解析：对于①，x＝1时，x＋＝2，正确；对于②，当x＝时，sinx＝－1，正确；对于③，x＝0时，x2＝0，错误；对于④，根据指数函数的值域，正确．
6. 命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：____________________________．
答案：所有的三角形都不是等边三角形
1. 四种命题及其关系
(1) 四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若非p，则非q
逆否命题
若非q，则非p
(2) 四种命题间的逆否关系
(3) 四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2. 充分条件与必要条件
(1) 如果pq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2) 如果pq，且qp，那么称p是q的充要条件，记作pq.
(3) 如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件．
(4) 如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．
(5) 如果p/ q，且q/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
3. 简单的逻辑联结词
(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．
(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．
(3) 对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
(4) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．
4. 全称量词与存在量词
(1) 全称量词与全称命题
短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
(2) 存在量词与存在性命题
短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．
含有存在量词的命题，叫做存在性命题．
存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．
5. 含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
x∈M，p(x)
x∈M， p(x)；
x∈M，p(x)
x∈M，p(x).
[备课札记]
题型1 否命题与命题否定
例1 (1) 命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为____________________________；
(2) 命题：“若x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”是____(填“真”或“假”)命题；
(3) 命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是____________________．
答案：(1) 若a≤b，则2a≤2b－1 (2) 真 (3) 所有三角形都不是等腰三角形
解析：(2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m＝0时显然方程有根，其实不然，由x2＋x－m＝0没实根可推得m<－，而{m|m<－}是{m|m≤0}的真子集，由m<－可推得m≤0，故原命题为真，而它的逆否命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题．
(3) p为“对任意x∈A，有p(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反．
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．
(1) 正三角形的三个内角相等；
(2) 已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等．
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形．
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形．
(2) 原命题：已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b且c＝d.
否命题：已知a、b、c、d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．
题型2 充分必要条件
例2 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：p：x2－8x－20＞0，得x＜－2或x＞10，
设A＝{x|x＜－2或x＞10}，
q：x2－2x＋1－m2＞0，得x＜1－m，或x＞1＋m，
设B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}．
∵ p是q的必要非充分条件，
∴ B真包含于A，即m≥9.
∴ 实数m的取值范围为m≥9.
下列四个结论正确的是________．(填序号)
① “x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件；
② 已知a、b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；
③ “a>0，且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R”的充要条件；
④ “x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
答案：①③
解析：① 因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1，x＋|x|＝0，而x＋|x|>0x≠0，故①正确；因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x＝－1时，有x2＝1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件．
题型3 全称命题与存在性命题的否定
例3 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是_______________________________．
答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数
若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为_____________________________．
答案：所有能被2整除的整数都不是奇数
题型4 求参数范围
例4 已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
解：由a2x2＋ax－2＝0，得
(ax＋2)(ax－1)＝0，
显然a≠0，∴ x＝－或x＝.
∵ x∈[－1，1]，故≤1或≤1，
∴ |a|≥1.
由题知命题q“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴ Δ＝4a2－8a＝0，∴ a＝0或a＝2，
∴ 当命题“p或q”为真命题时|a|≥1或a＝0.
∵ 命题“p或q”为假命题，
∴ a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．
已知命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．
解：∵ 命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增，∴ 0<a<1.
又命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立，
∴ a＝2或 即－2<a≤2.
∵ p∨q是真命题，
∴ a的取值范围是－2<a≤2.
命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是___________________________
________________________．
答案：存在一个能被2整除的数不是偶数
2. 设α、β为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的________条件．
答案：充分不必要
解析：根据定理知由l⊥β可以推出α⊥β.反之不成立，仅当l垂直于α、β的交线时才成立．
3. “若a＋b为偶数，则a、b必定同为奇数或偶数”的逆否命题为__________________________．
答案：若a、b不同为奇数且不同为偶数，则a＋b不是偶数
4．已知命题p1：函数y＝ln(x＋)，是奇函数，p2：函数y＝x为偶函数，则下列四个命题：
① p1∨p2；② p1∧p2；③ (p1)∨p2；④ p1∧(p2)．
其中，真命题是________．(填序号)
答案：①④
解析：由函数的奇偶性可得命题p1为真命题，命题p2为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．
1. 若a、b为实数，则 “0<ab<1”是“b<”的________条件．
答案：既不充分也不必要
解析：0<ab<1，a、b都是负数时，不能推出b<；同理b<也不能推出0<ab<1.
2. 在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________．
答案：2
解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.
3. 设命题p：关于x的不等式2|x－2|<a的解集为；命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的值域是R.如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．
解：由不等式2|x－2|<a的解集为得a≤1.
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的值域是R知ax2－x＋a要取到所有正数，
故0<a≤ 或a＝0即0≤a≤.
由命题p和q有且仅有一个正确得a的取值范围是(－∞，0)∪.
4. 设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1，2，3，…)，求证：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)．
证明：必要性：
设{an}是公差为d1的等差数列，则
bn＋1－b
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