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第一章 集合与常用逻辑用语第1-2课时集合的概念考情分析考点新知了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.集合含义中掌握集合的三要素. 不要求证明集合相等关系和包含关系.1. (必修1P10第5题改编)已知集合Am2，2m2m，若3A，则m_答案：解析：因为3A，所以m23或2m2m3.当m23，即m1时，2m2m3，此时集合A中有重复元素3，所以m1不合题意，舍去；当2m2m3时，解得m或m1(舍去)，此时当m时，m23满足题意所以m.2. (必修1P7第4题改编)已知集合a|0a4，aN，用列举法可以表示为_答案：解析：因为aN，且0a4，由此可知实数a的取值为0，1，2，3.3. (必修1P17第6题改编)已知集合A1，4)，B(，a)，AB，则a_答案：4，)解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知4. (原创)设集合Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则A、B的关系是_答案：AB解析：化简得Ax|x1，By|y1，所以AB.5. (必修1P17第8题改编)满足条件1M1，2，3的集合M的个数是_答案：4个解析：满足条件1M1，2，3的集合M有1，1，2，1，3，1，2，3，共4个1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合其中集合中的每一个对象称为该集合的元素(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系(2) 集合与集合之间的关系 包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” 真包含关系：如果AB，并且AB，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A” 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等(3) 含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n1个，非空子集共有2n1个，非空真子集有2n2个.题型1正确理解和运用集合概念例1已知集合Ax|ax23x20，aR(1) 若A是空集，求a的取值范围；(2) 若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来；(3) 若A中至多有一个元素，求a的取值范围解： (1) 若A是空集，则98a0，解得a.(2) 若A中只有一个元素，则98a0或a0，解得a或a0；当a时这个元素是；当a0时，这个元素是.(3) 由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a或a0.已知a1时，集合a，2a中有且只有3个整数，则a的取值范围是_答案：1a0解析：因为a1，所以2a1，所以1必在集合中若区间端点均为整数，则a0，集合中有0，1，2三个整数，所以a0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度222a4，解得1a0，此时，集合中有0，1，2三个整数，1a0适合题意综上，a的取值范围是10若AB，求实数a的取值范围解：由题意有A8，4，Bx|(xa)(xa3)0 当a时，B，所以AB恒成立； 当a时，Bx|xa3因为AB，所以a4或a34或a5(舍去)，所以4a时，Bx|xa因为AB，所以a34或a8(舍去)，解得a1.综上，当AB时，实数a的取值范围是(4，1)1. 设集合Ax|x2，Bx|xa，且满足A真包含于B，则实数a的取值范围是_答案：(2，)解析：利用数轴可得实数a的取值范围是(2，)2. 已知集合A1，2，3，4，5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中元素的个数为_答案：10解析：B中所含元素有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)3. 若xA，则A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是_答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：1，.4. 已知全集UR，集合Mx|2x12和Nx|x2k1，k1，2，的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有_个答案：2解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M和N的交集，所以由Mx|1x3，得MN1，3，有2个5. 设P、Q为两个非空实数集合，定义集合PQab|aP，bQ，若P0，2，5，Q1，2，6，则PQ中元素的个数为_答案：8解析：(1) PQab|aP，bQ，P0，2，5，Q1，2，6， 当a0时，ab的值为1，2，6；当a2时，ab的值为3，4，8；当a5时，ab的值为6，7，11， PQ1，2，3，4，6，7，8，11， PQ中有8个元素1. 已知Ax|x22x30，若实数aA，则a的取值范围是_答案：1，3解析：由条件，a22a30，从而a1，32. 现有含三个元素的集合，既可以表示为，也可表示为a2，ab，0，则a2 013b2 013_答案：1解析：由已知得0及a0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 013b2 013(1)2 0131.3. 已知集合Ax|(x2)x(3a1)0，B.(1) 当a2时，求AB；(2) 求使B真包含于A的实数a的取值范围解：(1) ABx|2x5(2) Bx|axa21若a时，A，不存在a使BA；若a时，2a3；若a时，1a.故a的取值范围是2，34. 已知Aa2，(a1)2，a23a3且1A，求实数a的值解：由题意知：a21或(a1)21或a23a31， a1或2或0，根据元素的互异性排除1，2， a0即为所求1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么注意区分x|yf(x)、y|yf(x)、(x，y)|yf(x)三者的不同对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑A和A两种可能的情况3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析备课札记第3-4课时集合的基本运算.考情分析考点新知理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算 在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面. 会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”. 会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示.1. (原创)集合MmZ|3m0，Bx|x23x20(1) 若ABA，求实数a的取值范围；(2) 若ARB，求实数a的取值范围解：(1) 由于ABA 得AB，由题意知Bx|x2或x0，则x2，得0a；若a0，则A，成立；若a0，则x1，根据数轴可知均成立综上所述，a.(2) RBx|1x2，若a0，则A，不成立；若a0，则x1，不成立；若a0，则x，由2得a.综上所述，a.题型3集合综合题例3已知f(x)x3，x1，2(1) 当b2时，求f(x)的值域；(2) 若b为正实数，f(x)的最大值为M，最小值为m，且满足Mm4，求b的取值范围解：(1) 当b2时，f(x)x3，x1，2因为f(x)在1，上单调递减，在，2上单调递增，所以f(x)的最小值为f()23.又f(1)f(2)0，所以f(x)的值域为23，0(2) 当0b2时，f(x)在1，2上单调递增，则mb2，M1，此时Mm14，得b6，与0b2矛盾，舍去； 当2b4时，f(x)在1，上单调递减，在，2上单调递增，所以Mmaxf(1)，f(2)b2，mf()23，则Mmb214，得(1)24，解得b9，与2b4矛盾，舍去； 当b4时，f(x)在1，2上单调递减，则Mb2，m1，此时Mm14，得b10.综上所述，b的取值范围是10，)设集合Ax|x22x2m40，Bx|x0若AB，求实数m的取值范围解：(解法1)据题意知方程x22x2m40至少有一个负实数根设Mm|关于x的方程x22x2m40两根均为非负实数，则 M.设全集Um|0， m的取值范围是UMm|m2(解法2)方程的小根x112m31m0，则据二次函数性质知命题又等价于f(0)0m2.1. 设集合A5，log2(a3)，集合Ba，b若AB2，则AB_答案：1，2，5解析：由题意知log2(a3)2，得a1，b2，则AB1，2，52. 已知全集U(，3，A1，2)，则UA_答案：(，1)2，3解析：利用数轴可得UA(，1)2，33. 如图，已知U1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，集合A2，3，4，5，6，8，B1，3，4，5，7，C2，4，5，7，8，9，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为_答案：2，8解析：阴影部分表示的集合为AC(UB)2，84. 已知集合P(x，y)|xy0，Q(x，y)|xy2，则QP_答案：(1，1)解析：由解得由于两集合交集中元素只有一个点，故QP(1，1)5. 设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x1，Qx|x2|1，那么PQ_答案：x|0x1解析：由log2x1，得0x2，所以Px|0x2；由|x2|1，得1x3，所以Qx|1x3由题意，得PQx|0x11. 设全集UMN1，2，3，4，5，MUN2，4，则N_答案：1，3，5解析：画出韦恩图，可知N1，3，52. 设全集为R，集合Ax|x3或x6，Bx|2x9(1) 求AB，(RA)B；(2) 已知Cx|axa1，若CB，求实数a的取值范围解：(1) ABR，RAx|3x6， (RA)Bx|3x6(2) Cx|ax5a， a3；当B2时，解得a3.综上所述，所求a的取值范围为a|a34. 设全集UR，函数f(x)lg(|x1|a1)(a1)的定义域为A，集合Bx|cosx1若(UA)B恰好有2个元素，求a的取值集合解：|x1|a10|x1|1a，当a1时，1a0， xa或xa2， A(，a2)(a，) cosx1， x2k， x2k(kZ)， Bx|x2k，kZ当a1时，UAa2，a在此区间上恰有2个偶数 .1. 集合的运算结果仍然是集合进行集合运算时应当注意：(1) 勿忘对空集情形的讨论；(2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；(4) 对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题第5-6课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情分析考点新知了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义会分析四种命题的相互关系.会判断必要条件、充分条件与充要条件.能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1. (选修11P20第4(1)题改编)命题“若a、b、c成等比数列，则acb2”的逆否命题是_答案：若acb2，则a、b、c不成等比数列2. (选修11P20第6题改编)若命题p的否命题为q，命题q的逆否命题为r，则p与r的关系是_答案：互为逆命题3. (选修11P20第7题改编)已知p、q是r的充分条件，r是s的充分条件，q是s的必要条件，则s是p的_条件答案：必要不充分4. (原创)写出命题“若xy5，则x3且y2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假答案：逆命题：若x3且y2，则xy5.是真命题否命题：若xy5，则x3或y2.是真命题逆否命题：若x3或y2，则xy5.是假命题5. 下列命题中的真命题有_(填序号) xR，x2； xR，sinx1； xR，x20； xR，2x0.答案：解析：对于，x1时，x2，正确；对于，当x时，sinx1，正确；对于，x0时，x20，错误；对于，根据指数函数的值域，正确6. 命题p：有的三角形是等边三角形命题綈p：_答案：所有的三角形都不是等边三角形1. 四种命题及其关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2. 充分条件与必要条件(1) 如果pq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件(2) 如果pq，且qp，那么称p是q的充要条件，记作pq.(3) 如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件(4) 如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件(5) 如果p/ q，且q/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作pq，读作“p且q”(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作pq，读作“p或q”(3) 对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”(4) 命题pq，pq，綈p的真假判断pq中p、q有一假为假，pq有一真为真，p与非p必定是一真一假4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示含有存在量词的命题，叫做存在性命题存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)xM， p(x)；xM，p(x)xM，p(x).备课札记题型1否命题与命题否定例1(1) 命题“若ab，则2a2b1”的否命题为_；(2) 命题：“若x2xm0没有实根，则m0”是_(填“真”或“假”)命题；(3) 命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是_答案：(1) 若ab，则2a2b1(2) 真(3) 所有三角形都不是等腰三角形解析：(2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m0时显然方程有根，其实不然，由x2xm0没实根可推得m，而m|m是m|m0的真子集，由m0，则x2xm0有实根”显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题(3) p为“对任意xA，有p(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题(1) 正三角形的三个内角相等；(2) 已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd.解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(2) 原命题：已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd.逆命题：已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab且cd.否命题：已知a、b、c、d是实数，若a与b，c与d不都相等，则acbd.逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若acbd，则a与b，c与d不都相等题型2充分必要条件例2已知p：x28x200，q：x22x1m20(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：p：x28x200，得x2或x10，设Ax|x2或x10，q：x22x1m20，得x1m，或x1m，设Bx|x1m或x1m p是q的必要非充分条件， B真包含于A，即m9. 实数m的取值范围为m9.下列四个结论正确的是_(填序号) “x0”是“x|x|0”的必要不充分条件； 已知a、bR，则“|ab|a|b|”的充要条件是ab0； “a0，且b24ac0”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集是R”的充要条件； “x1”是“x21”的充分不必要条件答案：解析： 因为由x0推不出x|x|0，如x1，x|x|0，而x|x|0x0，故正确；因为a0时，也有|ab|a|b|，故错误，正确的应该是“|ab|a|b|”的充分不必要条件是ab0；由二次函数的图象可知正确；x1时，有x21，故错误，正确的应该是“x1”是“x21”的必要不充分条件题型3全称命题与存在性命题的否定例3命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是_答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为_答案：所有能被2整除的整数都不是奇数题型4求参数范围例4已知命题p：方程a2x2ax20在1，1上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x22ax2a0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围解：由a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0，显然a0， x或x. x1，1，故1或1， |a|1.由题知命题q“只有一个实数x满足x22ax2a0”，即抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点， 4a28a0， a0或a2， 当命题“p或q”为真命题时|a|1或a0. 命题“p或q”为假命题， a的取值范围为a|1a0或0a1已知命题p：函数yloga(12x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a2)x22(a2)x40对任意实数x恒成立若pq是真命题，求实数a的取值范围解： 命题p：函数yloga(12x)在定义域上单调递增， 0a1.又命题q：不等式(a2)x22(a2)x40对任意实数x恒成立， a2或 即2a2. pq是真命题， a的取值范围是2a2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是_答案：存在一个能被2整除的数不是偶数2. 设、为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的_条件答案：充分不必要解析：根据定理知由l可以推出.反之不成立，仅当l垂直于、的交线时才成立3. “若ab为偶数，则a、b必定同为奇数或偶数”的逆否命题为_答案：若a、b不同为奇数且不同为偶数，则ab不是偶数4已知命题p1：函数yln(x)，是奇函数，p2：函数yx为偶函数，则下列四个命题： p1p2； p1p2； (p1)p2； p1(p2)其中，真命题是_(填序号)答案：解析：由函数的奇偶性可得命题p1为真命题，命题p2为假命题，再由命题的真假值表可得为假，为真1. 若a、b为实数，则 “0ab1”是“b”的_条件答案：既不充分也不必要解析：0ab1，a、b都是负数时，不能推出b；同理b也不能推出0ab1.2. 在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行，则a1b2a2b10”那么f(p)_答案：2解析：若两条直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20平行，则必有a1b2a2b10，但当a1b2a2b10时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)2.3. 设命题p：关于x的不等式2|x2|a的解集为；命题q：函数ylg(ax2xa)的值域是R.如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围解：由不等式2|x2|a的解集为得a1.由函数ylg(ax2xa)的值域是R知ax2xa要取到所有正数，故0a 或a0即0a.由命题p和q有且仅有一个正确得a的取值范围是(，0).4. 设数列an、bn、cn满足：bnanan2，cnan2an13an2(n1，2，3，)，求证：an为等差数列的充分必要条件是cn为等差数列且bnbn1(n1，2，3，)证明：必要性：设an是公差为d1的等差数列，则bn1b