高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和资料.pptx

第二章数 列,2.5,等比数列前,n,项和,(,二,),1/43,1.,熟练应用等比数列前,n,项和公式相关性质解题,.,2.,应用方程思想处理与等比数列前,n,项和相关问题,.,学习目标,2/43,栏目索引,知识梳理,自主学习,题型探究,重点突破,当堂检测,自查自纠,3/43,知识梳理,自主学习,知识点一等比数列前,n,项和变式,答案,na,1,4/43,答案,Aq,n,A,5/43,思索,在数列,a,n,中，,a,n,1,ca,n,(,c,为非零常数,),且前,n,项和,S,n,3,n,1,k,，则实数,k,等于,_.,答案,6/43,答案,等比,q,7/43,思索,在等比数列,a,n,中，若,a,1,a,2,20,，,a,3,a,4,40,，则,S,6,等于,(,),A.140 B.120,C.210 D.520,返回,解析答案,解析,S,2,20,，,S,4,S,2,40,，,S,6,S,4,80,，,S,6,S,4,80,S,2,40,80,140.,A,8/43,题型探究,重点突破,题型一等比数列前,n,项和性质,例,1,(1),等比数列,a,n,中，,S,2,7,，,S,6,91,，则,S,4,_.,解析答案,解析,数列,a,n,是等比数列，,S,2,，,S,4,S,2,，,S,6,S,4,也是等比数列，,即,7,，,S,4,7,91,S,4,也是等比数列，,(,S,4,7),2,7(91,S,4,),，解得,S,4,28,或,S,4,21.,又,S,4,a,1,a,2,a,3,a,4,a,1,a,2,a,1,q,2,a,2,q,2,(,a,1,a,2,)(1,q,2,),S,2,(1,q,2,),0,，,S,4,28.,28,9/43,(2),等比数列,a,n,共有,2,n,项，其和为,240,，且,(,a,1,a,3,a,2,n,1,),(,a,2,a,4,a,2,n,),80,，则公比,q,_.,解析答案,反思与感悟,2,10/43,处理相关等比数列前,n,项和问题时，若能恰当地使用等比数列前,n,项和相关性质，经常能够避繁就简,.,不但能够降低解题步骤，而且能够使运算简便，同时还能够防止对公比,q,讨论,.,解题中把握好等比数列前,n,项和性质使用条件，并结合题设条件寻找使用性质切入点，方可使,“,英雄,”,有用武之地,.,反思与感悟,11/43,解析答案,12/43,即,1,q,3,3,，所以,q,3,2.,13/43,(2),一个项数为偶数等比数列，各项之和为偶数项之和,4,倍，前,3,项之积为,64,，求通项公式,.,解析答案,解,设数列,a,n,首项为,a,1,，公比为,q,，全部奇数项、偶数项之和分别记为,S,奇,、,S,偶,，由题意知,S,奇,S,偶,4,S,偶,，即,S,奇,3,S,偶,.,14/43,题型二等比数列前,n,项和实际应用,例,2,小华准备购置一台售价为,5 000,元电脑，采取分期付款方式，并在一年内将款全部付清,.,商场提出付款方式为：购置,2,个月后第,1,次付款，再过,2,个月后第,2,次付款，,，购置,12,个月后第,6,次付款，每次付款金额相同，约定月利率为,0.8%,，每个月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少,.,解析答案,反思与感悟,15/43,解,方法一设小华每期付款,x,元，第,k,个月末付款后欠款本利为,A,k,元，则：,A,2,5 000,(1,0.008),2,x,5 000,1.008,2,x,，,A,4,A,2,(1,0.008),2,x,5 000,1.008,4,1.008,2,x,x,，,A,12,5 000,1.008,12,(1.008,10,1.008,8,1.008,2,1),x,0,，,解析答案,反思与感悟,故小华每期付款金额约为,880.8,元,.,16/43,方法二设小华每期付款,x,元，到第,k,个月时已付款及利息为,A,k,元，则：,A,2,x,；,A,4,A,2,(1,0.008),2,x,x,(1,1.008,2,),；,A,6,A,4,(1,0.008),2,x,x,(1,1.008,2,1.008,4,),；,A,12,x,(1,1.008,2,1.008,4,1.008,6,1.008,8,1.008,10,).,年底付清欠款，,A,12,5 000,1.008,12,，,即,5 000,1.008,12,x,(1,1.008,2,1.008,4,1.008,10,),，,故小华每期付款金额约为,880.8,元,.,反思与感悟,17/43,分期付款问题是经典求等比数列前,n,项和应用题，这类题目标特点是：每期付款数相同，且每期间距相同,.,处理这类问题有两种处理方法，如本题中方法一是按欠款数计算，由最终欠款为,0,列出方程求解；而方法二是按付款数计算，由最终付清全部欠款列方程求解,.,反思与感悟,18/43,解析答案,返回,19/43,解析答案,20/43,21/43,题型三新情境问题,例,3,定义：若数列,A,n,满足,A,n,1,A,n,，则称数列,A,n,为,“,平方数列,”.,已知数列,a,n,中，,a,1,2,，点,(,a,n,，,a,n,1,),在函数,f,(,x,),2,x,2,2,x,图象上，其中,n,为正整数,.,(1),证实：数列,2,a,n,1,是,“,平方数列,”,，且数列,lg(2,a,n,1),为等比数列；,解析答案,2,22/43,数列,2,a,n,1,是,“,平方数列,”.,lg(2,a,n,1,1),lg(2,a,n,1),2,2lg(2,a,n,1),，,且,lg(2,a,1,1),lg 5,0,，,lg(2,a,n,1),是首项为,lg 5,，公比为,2,等比数列,.,23/43,(2),设,(1),中,“,平方数列,”,前,n,项之积为,T,n,，则,T,n,(2,a,1,1)(2,a,2,1),(2,a,n,1),，求数列,a,n,通项及,T,n,关于,n,表示式；,解析答案,解,lg(2,a,1,1),lg 5,，,lg(2,a,n,1),2,n,1,lg 5.,lg,T,n,lg(2,a,1,1),lg(2,a,2,1),lg(2,a,n,1),(2,n,1)lg 5,，,T,n,1.,24/43,(3),对于,(2),中,T,n,，记,b,n,log,T,n,，求数列,b,n,前,n,项和,S,n,，并求使,S,n,4 024,n,最小值,.,解析答案,2,a,n,1,反思与感悟,25/43,解析答案,2,a,n,1,26/43,n,最小值为,2 013.,反思与感悟,27/43,数列创新题特点及解题关键,特点：叙述复杂，关系条件较多，难度较大,.,解题关键：读清条件要求，理清关系，逐一分析,.,反思与感悟,28/43,跟踪训练,3,记,U,1,，,2,，,，,100,对数列,a,n,(,n,N,*,),和,U,子集,T,，若,T,，定义,S,T,0,；若,T,t,1,，,t,2,，,，,t,k,，定义,S,T,at,1,at,2,at,k,.,比如：,T,1,，,3,，,66,时，,S,T,a,1,a,3,a,66,.,现设,a,n,(,n,N,*,),是公比为,3,等比数列，且当,T,2,，,4,时，,S,T,30.,(1),求数列,a,n,通项公式；,解析答案,29/43,(2),对任意正整数,k,(1,k,100),，若,T,1,，,2,，,，,k,，求证：,S,T,a,k,1,；,解析答案,30/43,(3),设,C,U,，,D,U,，,S,C,S,D,，求证：,S,C,S,C,D,2,S,D,.,证实,设,A,C,(,C,D,),，,B,D,(,C,D,),，,则,A,B,，,S,C,S,A,S,C,D,，,S,D,S,B,S,C,D,，,S,C,S,C,D,2,S,D,S,A,2,S,B,，,S,C,S,C,D,2,S,D,等价于,S,A,2,S,B,.,由条件,S,C,S,D,可得,S,A,S,B,.,若,B,，则,S,B,0,，所以,S,A,2,S,B,成立，,解析答案,31/43,若,B,，由,S,A,S,B,可知,A,，,设,A,中最大元素为,I,，,B,中最大元素为,m,，,若,m,I,1,，则由,(2),得,S,A,S,I,1,a,m,S,B,，矛盾,又,A,B,，,I,m,，,I,m,1,，,S,B,a,1,a,2,a,m,1,3,3,2,3,m,1,即,S,A,2,S,B,成立总而言之，,S,A,2,S,B,.,故,S,C,S,C,D,2,S,D,成立,返回,32/43,当堂检测,1,2,3,4,1.,等比数列,a,n,中，,a,1,a,2,a,3,1,，,a,4,4,，则,a,2,a,4,a,6,a,2,n,等于,(,),解析答案,33/43,1,2,3,4,a,2,1,，,又,a,4,4,，,数列,a,2,，,a,4,，,a,6,，,，,a,2,n,是首项为,1,，,公比为,4,等比数列,.,答案,B,34/43,2.,某住宅小区计划植树不少于,100,棵，若第一天植,2,棵，以后天天植树棵数是前一天,2,倍，则需要最少天数,n,(,n,N,*,),等于,(,),A.3 B.4C.5 D.6,解析,设天天植树棵数为,a,n,，则,a,n,是等比数列，,a,n,2,n,(,n,N,*,，,n,为天数,).,由题意得,2,2,2,2,3,2,n,100,，,2,n,1,50,，,2,n,51,，,n,6.,需要最少天数,n,6.,1,2,3,4,D,解析答案,35/43,1,2,3,4,3.,等比数列,a,n,前,m,项和为,4,，前,2,m,项和为,12,，则它前,3,m,项和是,(,),A.28 B.48,C.36 D.52,A,解析,易知,S,m,4,，,S,2,m,S,m,8,，,S,3,m,S,2,m,16,，,S,3,m,12,16,28.,解析答案,36/43,1,2,3,4,解析答案,4.,已知数列,a,n,是等比数列，,S,n,是其前,n,项和，,a,1,，,a,7,，,a,4,成等差数列,.,求证：,2,S,3,，,S,6,，,S,12,S,6,成等比数列,.,37/43,证实,设等比数列,a,n,公比为,q,，由题意得,2,a,7,a,1,a,4,，,即,2,a,1,q,6,a,1,a,1,q,3,，,2,q,6,q,3,1,0.,令,q,3,t,，则,2,t,2,t,1,0,，,当,q,3,1,时，,2,S,3,6,a,1,，,S,6,6,a,1,，,S,12,S,6,6,a,1,，,解析答案,1,2,3,4,38/43,2,S,3,，,S,6,，,S,12,S,6,成等比数列,.,解析答案,1,2,3,4,39/43,2,S,3,，,S,6,，,S,12,S,6,成等比数列,.,综上可知，,2,S,3,，,S,6,，,S,12,S,6,成等比数列,.,1,2,3,4,40/43,课堂小结,等比数列中用到数学思想,1.,分类讨论思想：,(1),利用等比数列前,n,项和公式时要分公比,q,1,和,q,1,两种情况讨论；,(2),研究等比数列单调性时应进行讨论：当,a,1,0,，,q,1,或,a,1,0,0,q,1,时为递增数列；当,a,1,1,或,a,1,0,0,q,1,时为递减数列；当,q,0,时为摆动数列；当,q,1,时为常数列,.,41/43,返回,42/43,本课结束,43/43,