上机练习专题5：数学物理方程的计算机求解和可视化.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,数学物理建模与计算机辅助设计,上机练习专题,5,：数学物理方程计算机求解和可视化,第1页,Page,2,对代数表示式进行可视化,二维本征值问题,矩形区域本征模与本征振动,边长为,b,和,c,四面固定矩形膜振动本征值问题为,采取分离变量法能够得到本征模和本征值为,第2页,Page,3,对代数表示式进行可视化,二维本征值问题,绘制前,4,个本征函数图形,%P70_1.m,a=2;b=1;,m,n=meshgrid(1:3);,L=(m*pi./b).2+(n*pi./b).2);,x=0:0.01:a;y=0:0.01:b;,X,Y=meshgrid(x,y);,w11=sin(pi*Y./b).*sin(pi*X./a);w12=sin(2*pi*Y./b).*sin(pi*X./a);,w21=sin(pi*Y./b).*sin(2*pi*X./a);w22=sin(pi*Y./b).*sin(3*pi*X./a);,figure,subplot(2,2,1);mesh(X,Y,w11);subplot(2,2,2);mesh(X,Y,w12);,subplot(2,2,3);mesh(X,Y,w21);subplot(2,2,4);mesh(X,Y,w22);,第3页,Page,4,对代数表示式进行可视化,二维本征值问题,动态可视化：设含有时间因子,%P71_1.m,b=2;c=1;x=0:0.02:b;y=0:0.02:c;X,Y=meshgrid(x,y);Z=zeros(51,51);,p=moviein(2*3*60);,for m=1:2,for n=1:3,for i=1:60,a=sqrt(m*pi/c).2+(n*pi/b).2);Z=,sin(a*i*.02*pi),*sin(m*pi*Y./c).*sin(n*pi*X./b);,mesh(X,Y,Z);t=,本征振动：,m=,int2str(m),n=,int2str(n);title(t);,axis(0 b 0 c-1 1);,p(:,(m-1)*3+(n-1)*60+i)=getframe;,end,end,end,MOVIE2AVI(p,D:A.avi),第4页,Page,5,PDE,工具箱求解数学物理方程,PDE,：,P,artial,D,ifferential,E,quation,PDE,工具箱功效,设定二维定解区域、边界条件以及方程形式和系数,用有限元法,(FEM),生成网格、方程离散化并求出数值解,对所求解可视化，图像和动画,PDE,工具箱能够求解,4,种偏微分方程,椭圆型方程,抛物型方程,双曲形方程,特征值方程,第5页,Page,6,PDE,工具箱求解数学物理方程,PDE,工具箱给定两种边界条件,Dilichlet,条件,Neumann,条件,用,PDE,工具箱求解二维本征值问题,第6页,Page,7,PDE,工具箱求解数学物理方程,求解二维本征值问题,第7页,PDE工具箱求解数学物理方程,1.,求解定解问题,Page,8,取,第8页,PDE工具箱求解数学物理方程,2.,求矩形薄膜横向振动。定解问题为,Page,9,取,第9页,Page,10,差分法求解数学物理方程,导数差分公式,在,x,附近将函数,f,(,x,),展开成泰勒公式,前差公式,后差公式,二阶导数差分公式,(,中心差分公式,),第10页,Page,11,差分法求解数学物理方程,用数值方法求解微分方程时候步骤：,(1),变量空间网格化,(2),微分方程变差分方程,(3),定解条件设置,(4),整理得到递推公式,第11页,Page,12,差分法求解数学物理方程,一维波动问题,两端固定弦振动问题,设定解条件为,解代数表示式为,第12页,Page,13,差分法求解数学物理方程,两端固定弦振动问题求解步骤,(1),变量空间网格化,(2),微分方程变差分方程,第13页,Page,14,差分法求解数学物理方程,两端固定弦振动问题求解步骤,(3),定解条件设置,思索：,1.,求时间分量递推公式需要几个初始值？,2.,对坐标分量呢,?,3.,两个初始值时，另一个初始值怎样处理？,第14页,Page,15,差分法求解数学物理方程,两端固定弦振动问题求解步骤,(4),整理得到递推公式,第15页,Page,16,差分法求解数学物理方程,%P164_1.m,N=4001;dx=0.0024;,dt=0.0005;c=dt*dt/dx/dx;,x=linspace(0,1,420);,u(1:420,1)=0;,u(181:240,1)=0.05*sin(pi*x(181:240)*7);,u(2:419,2)=u(2:419,1)+c/2*(u(3:420,1)-2*u(2:419,1)+u(1:418,1);,h=plot(x,u(:,1),linewidth,3);,axis(0,1,-0.05,0.05);,set(h,erasemode,xor,markersize,18);,for k=2:N,set(h,XData,x,YData,u(:,2);,drawnow;,u(2:419,3)=2*u(2:419,2)-u(2:419,1)+c*(u(3:420,2)-2*u(2:419,2)+u(1:418,2);,u(2:419,1)=u(2:419,2);,u(2:419,2)=u(2:419,3);,end,两端固定弦振动问题,程序编制,关键在于：,(1),正确递推公式,(2),正确设定定解条件,第16页,Page,17,本专题小结,直接对代数表示式求解并进行可视化,利用差分法求解并进行可视化,利用,Matlab,PDE,工具箱求解并进行可视化,第17页,课堂练习,1.,将,P85,例题,4.1.1,用偏微分方程工具箱来求解。,2.,将,P146,例题,5.1.4,关于细杆热传导问题用偏微分方程工具箱来求解。,Page,18,第18页,