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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,第六节 二项式定理,第1页,三年10考,高考指数:,1.能用计数原理证实二项式定理；,2.会用二项式定理处理与二项展开式相关简单问题.,第2页,1.二项展开式通项公式应用，利用通项公式求特定项或,特定项系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；,2.赋值法、化归思想是处理二项展开式问题基本思想和方,法，也是高考考查热点；,3.题型以选择题和填空题为主，与其它知识点交汇则以解答题,为主.,第3页,二项式定理,二项展开式通项,二项式系数,(a+b),n,=_,_(nN,*,),T,k+1,=_,二项展开式中各项系数为,_,它表示第_项,(k=0,1,2,n),第4页,【即时应用】,（1）(a+b),n,展开式中，二项式系数 (k=0,1,2,n)与展开式,中项系数_(填：“一定”，“不一定”)相同.,（2）=_.,（3）展开式中，x,3,系数等于_.,第5页,【解析】,(1)二项式系数与项系数是完全不一样两个概念,二,项式系数是指 它只与各项项数相关，而与a,b,无关；而项系数是指该项中除变量外部分，它不但与各项,二项式系数相关，而且也与a,b所代表项有亲密关系.,第6页,(2)原式=(1-2),11,=-1.,(3)通项为T,r1,令,得r2，故x,3,系数为,答案：,(1)不一定 (2)-1 (3)15,第7页,2.二项式系数性质,（1）对称性：与首末两端“等距离”两个二项式系数相,等，即_.,（2）增减性：,二项式系数 ，当k 时，二项式系数是递增；,当k 时，二项式系数是递减.,_,_,第8页,(3)最大值:,当n是偶数时，中间一项 取得最大值；,当n是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大,值.,_,_,_,第9页,【即时应用】,(1)二项式(1-x),4n+1,展开式中，系数最大项,为第_项.,(2)若 展开式中第6项系数最大，则不含x项等于,_.,第10页,【解析】,（1）因为4n+1为奇数，所以展开式有4n+2项，则,系数分别为,所以系数最大项为第2n+1项.,（2）由已知，得第6项应为中间项，则n=10.,令30-5r=0，得r=6.,答案：,（1）2n+1 （2）210,第11页,3.各个二项式系数和,(1)(a+b),n,展开式各个二项式系数和等于_，,即_；,(2)二项展开式中，偶数项二项式系数和等于奇数项二,项式系数和，即 =_=_.,2,n,第12页,【即时应用】,（1）若 展开式中第3项二项式系数是15，则展开,式中全部项系数之和为_.,（2）已知(3-x),4,=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+a,3,x,3,+a,4,x,4,，则a,0,-a,1,+a,2,-a,3,+a,4,等,于_.,（3）已知(1x),5,a,0,a,1,xa,2,x,2,a,3,x,3,a,4,x,4,a,5,x,5,，则(a,0,a,2,a,4,)(a,1,a,3,a,5,)值等于_,第13页,【解析】,（1）依题意，得 即 n(n1)30,(其中n2)，由此解得n6，所以展开式中全部项系数之和,为,（2）由题意，可知令x1，代入式子，可得a,0,-a,1,+a,2,-a,3,+a,4,3(1),4,256.,第14页,（3）分别令x1、x1,得a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,0,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,32，,由此解得a,0,a,2,a,4,16，a,1,a,3,a,5,16，,所以(a,0,a,2,a,4,)(a,1,a,3,a,5,)256.,答案:,（1）（2）256 （3）-256,第15页,求二项展开式中特定项或特定项系数,【方法点睛】,1.了解二项式定理应注意问题,（1）T,r+1,通项公式表示是第“r+1”项，而不是第“r”项；,（2）通项公式中a和b位置不能颠倒；,（3）展开式中第r+1项二项式系数 与第r+1项系数在一,般情况下是不相同，在详细求各项系数时，普通先处理符,号，对根式和指数运算要细心,以防犯错.,第16页,2.求特定项步骤,(1)依据所给出条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数,(求解时要注意二项式系数中n和r隐含条件，即n为正整数，r,为非负整数，且rn)；,(2)依据所求项指数特征求所要求解项.,第17页,【例1】(1)(宁波模拟）在 展开式中，系数为,有理数项共有_项.,(2)(烟台模拟）展开式中常数项为_.,(3)在 展开式中，系数绝对值最大项是第几项？,第18页,【解题指南】,(1)先明确系数为有理数项特征，然后由二项,展开式通项找出符合条件项个数.,(2)可将括号内三项分成两组看成两项，再利用二项式定理求,解.也可直接展开所给式子，对应求解.,(3)设第r+1项系数绝对值最大，据此可结构含有r不等式,组，求出r范围后，再求项数.,第19页,【规范解答】,(1)要求系数为,有理数项，则r必须能被4整除.由0r20且rN知，当且仅,当r=0,4,8,12,16,20时所对应项系数为有理数.,答案:,6,第20页,(2)方法一：,它展开式通项为：,当r=5时，,当0r5时，通项公式为,第21页,0r5且rZ,r只能取1或3,对应k值分别为2或1，,即 或 ,所以，其常数项为,第22页,方法二：因为本题只是5次展开式，也能够直接展开,即,由 对称性知，只有在 偶次幂中，其展开式才会,出现常数项，且是各自中间项.,所以，其常数项为：,答案:,-51,第23页,(3),设第r+1项系数绝对值最大，,则 ,即：5r6，,故系数绝对值最大项是第6项和第7项.,第24页,【互动探究】,在本例(3)中，条件不变，求系数最大项和最小,项？,【解析】,由本例（3）知，展开式第6项和第7项系数绝对值,最大，而第6项系数为负，第7项系数为正.,故系数最大项为：,系数最小项为：,第25页,【反思感悟】,求二项式n次幂展开式中特定项，普通利用结合律，借助于二项式定理通项求解；当幂指数比较小时，能够直接写出展开式全部或局部.,第26页,【变式备选】,已知 展开式中，前三项系数绝对值依次成等差数列.,(1)求证：展开式中没有常数项；,(2)求展开式中全部有理项.,第27页,【解析】,由题意得,即n,2,9n80，所以n8或n1(舍去).,所以,第28页,(1)若T,r1,是常数项，,则 即163r0，,因为rZ，这不可能，所以展开式中没有常数项.,(2)若T,r1,是有理项，当且仅当 为整数，,又0r8，rZ，所以 r0,4,8，即展开式中有三项有理,项，分别是T,1,x,4,，,第29页,二项式系数和或各项系数和,【方法点睛】,赋值法应用,（1）对形如(ax+b),n,、(ax,2,+bx+c),m,(a,b,cR)式子求其展开,式各项系数之和，惯用赋值法，只需令x=1即可；对形如,(ax+by),n,(a,bR)式子求其展开式各项系数之和，只需令,x=y=1即可.,第30页,（2）若f(x)=a,0,a,1,xa,2,x,2,a,n,x,n,，则f(x)展开式中各项系,数之和为f(1)，,奇数项系数之和为a,0,+a,2,+a,4,+=,偶数项系数之和为a,1,+a,3,+a,5,+=,【提醒】,“赋值法”是求二项展开式系数问题惯用方法，注,意取值要有利于问题处理，能够取一个值或几个值，也能够,取几组值，解题易出现漏项等情况，应引发注意.,第31页,【例2】设(3x-1),4,=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+a,3,x,3,+a,4,x,4,.,(1)求a,0,;,(2)求a,0,+a,1,+a,2,+a,3,+a,4,;,(3)求a,0,+a,2,+a,4,;,(4)求a,1,+a,3,;,(5)求a,1,+a,2,+a,3,+a,4,;,(6)求各项二项式系数和.,第32页,【解题指南】,本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和,或部分项系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来处理.,【规范解答】,（1）令x=0,得a,0,=(-1),4,=1.,（2）令x=1,得,a,0,+a,1,+a,2,+a,3,+a,4,=(3-1),4,=16.,第33页,（3）令x=-1得,a,0,-a,1,+a,2,-a,3,+a,4,=(-3-1),4,=256,而由（2）知 a,0,+a,1,+a,2,+a,3,+a,4,=（3-1）,4,=16.,两式相加，得 a,0,+a,2,+a,4,=136.,第34页,（4）由(2)、（3）得,(a,0,+a,1,+a,2,+a,3,+a,4,)-(a,0,+a,2,+a,4,)=a,1,+a,3,=-120.,（5）令x=0得a,0,=1，,亦得 a,1,+a,2,+a,3,+a,4,=a,0,+a,1,+a,2,+a,3,+a,4,-a,0,=16-1=15.,（6）各项二项式系数和为,第35页,【反思感悟】,1.在求解本例第(5)题时轻易忽略a,0,值造成错,解.,2.利用赋值法求值时应充分抓住代数式结构特征，经过一些,特殊值代入结构对应结构.,第36页,【变式训练】,1.已知(1x)(1x),2,(1x),n,a,0,a,1,xa,2,x,2,a,n,x,n,，且a,1,a,2,a,n1,29n，,则n_.,【解析】,易知a,n,1，令x0得a,0,n，,所以a,0,a,1,a,n,30.,又令x1，有22,2,2,n,a,0,a,1,a,n,30，,即2,n1,230，所以n4.,答案:,4,第37页,2.已知(1x),n,a,0,a,1,xa,2,x,2,a,n,x,n,，若5a,1,2a,2,0，则,a,0,a,1,a,2,a,3,(1),n,a,n,_.,【解析】,由二项式定理，得,代入已知得5nn(n1)0，所以n6，,令x1得(11),6,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,，,即a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,64.,答案:,64,第38页,【变式备选】,设(x,2,-x-1),50,=a,100,x,100,+a,99,x,99,+a,98,x,98,+a,0,.,(1)求a,100,+a,99,+a,98,+a,1,值；,(2)求a,100,+a,98,+a,96,+a,2,+a,0,值.,第39页,【解析】,(1)令x=0,得a,0,=1;,令x=1,得a,100,+a,99,+a,98,+a,1,+a,0,=1,所以a,100,+a,99,+a,98,+a,1,=0.,(2)令x=-1,得a,100,-a,99,+a,98,+-a,1,+a,0,=1,而a,100,+a,99,+a,98,+a,1,+a,0,=1,+整理可得a,100,+a,98,+a,96,+a,2,+a,0,=1.,第40页,二项式定理综合应用,【方法点睛】,二项式定理综合应用,（1）利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小,时，(1+x),n,1+nx.,（2）利用二项式定理证实整除问题或求余数问题:在证实整除,问题或求余数问题时要进行合理变形，使被除式（数）展开,后每一项都有除式因式，要注意变形技巧.,第41页,（3）利用二项式定理证实不等式:因为(a+b),n,展开式共有n+1,项，故能够对一些项进行取舍来放缩，从而到达证实不等式,目标.,第42页,【例3】(1)求证：46,n,5,n1,9能被20整除.,(2)依据所要求准确度，求1.02,5,近似值.(准确到0.01).,【解题指南】,(1)将6拆成“5+1”，将5拆成“4+1”,进而利用,二项式定理求解.,(2)把1.02,5,转化为二项式，适当展开，依据准确度要求取必要,几项即可.,第43页,【规范解答】,(1)46,n,5,n1,94(6,n,1)5(5,n,1),4(51),n,15(41),n,1,是20倍数，所以46,n,5,n1,9能被20整除.,第44页,(2)1.02,5,=（1+0.02）,5,=,当准确到0.01时，只要展开式前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.,第45页,【互动探究】,将本例（2）中准确到0.01改为准确到0.001怎样求解?,【解析】,由本例（2）知，当准确到0.001时，只要取展开式前四项和,1+0.10+0.004+0.000 08=1.104 08.,近似值为1.104.,第46页,【反思感悟】,利用二项式定理证实整除问题时，首先需注意(ab),n,中，a，b中有一个是除数倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.,第47页,【变式备选】,1.,除以9，得余数,是多少？,【解析】,=(7+1),n,1=8,n,1=(9-1),n,1,=,第48页,(i)当n为奇数时,原式=,除以9所得余数为7.,(ii)当n为偶数时,原式=,除以9所得余数为0，即被9整除.,第49页,2.求0.998,6,近似值，使误差小于0.001.,【解析】,0.998,6,(10.002),6,16(0.002),1,15(0.002),2,(0.002),6,.,因为 15(0.002),2,0.000 060.001，且第,3项以后绝对值都小于0.001，所以从第3项起,以后项都可,以忽略不计.,所以0.998,6,=(1-0.002),6,1+6(-0.002)=1-0.012=0.988.,第50页,【易错误区】,对展开式中项考虑不全方面致误,【典例】,(新课标全国卷）展开式中各,项系数和为2，则该展开式中常数项为(),(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40,【解题指南】,用赋值法求各项系数和，确定a值，然后再求,常数项.,第51页,【规范解答】,选D.令x=1，可得 展开式中各项系,数和为1+a，,1+a=2，即a=1.,通项公式,展开式中常数项为,第52页,【阅卷人点拨】,经过高考中阅卷数据分析与总结，我们能够,得到以下误区警示和备考提议：,误,区,警,示,在解答本题时有两点轻易犯错：,（1）各项系数和与二项式系数和混同，不能准确求出a值；,（2）对展开式中常数项组成考虑不全方面，造成计算错误.,第53页,备,考,建,议,处理二项展开式问题时，还有以下几点轻易失误，在备考时要高度关注：,（1）二项展开式通项Tr+1中项数与r关系搞不清；,（2）不能正确写出二项式通项公式造成错误；,（3）对于二项式定理应用不会逆用公式而造成错误；,(4)在展开(a-b)n时忽略中间“-”号.,在处理这些问题时，一定要准确了解题意，正确利用二项展开式通项进行运算，才能防止这类错误.,第54页,1.(陕西高考）（4,x,-2,-x,）,6,(xR)展开式中常数项是,(),（A）-20 （B）-15,（C）15 （D）20,【解析】,选C.,=,=,令12x-3xr=0，则r=4，所以 故选C.,第55页,2.(山东高考）若 展开式常数项为60，则常数a,值为_.,【解析】,由二项式定理 展开式,令6-3k=0，则k=2,a=4.,答案:,4,第56页,3.(浙江高考）设二项式 展开式中x,3,系数为A，常数项为B，若B=4A，则a值是_.,【解析】,令r=2,得,令r=4,得,由B=4A可得a,2,=4，又a0，所以a=2.,答案:,2,第57页,4.(湖州模拟）若 展开式中各项系数之和为,64，则展开式常数项为_.,【解析】,展开式各项系数之和为64,令x=1,得2,n,=64,故n=6.,则,=,令3-r=0得r=3.故常数项为,答案:,-540,第58页,第59页,第60页,
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