同济版高等数学上册复习资料.pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学(上)总复习,第一部分,复习重点及题型分析,第二部分,高等数学(上)方法综述,第1页,第一部分,复习重点及题型分析,复习重点,三个基本计算 极限,导数,积分,两个基本应用 导数应用,积分应用,一个基本理论 相关中值定理及应用,第2页,一.三个基本计算,(约 70%),1.极限计算,(约 24%),主要题型,(1)利用基本方法求极限,函数连续性;,四则运算法则;,极限存在准则;,两个主要极限;,等价无穷小替换;,洛必塔法则.,(2)利用特殊方法求极限,导数定义;,定积分定义;,微分中值定理;,变限积分求导;,讨论左右极限.,(3)无穷小量比较,第3页,例题分析,例1.,计算,解:,解:,利用等价关系,例2.,设,f,(,x,)处处连续,且,f,(2)=3,计算,第4页,解:,化为指数形式,利用,例,3.,计算,解:,例4.,计算,第5页,例5.,计算,解:,令,例6.,计算,解:,令,第6页,例7.,计算,解:,利用等价无穷小,例8.,计算,解:,第7页,例9.,求,解:,令,则,原式=,洛,例10.,计算,解:,直接用洛必塔法则不方便,利用等价无穷小,第8页,例11.,计算,解:,利用微分中值定理,例12.,计算,解:,洛,这是积分变量,第9页,例13.,求,原式=,洛,利用等价无穷小,解:,第10页,例14.,已知,解:,对所给等式左边用洛必塔法则,得,再利用,可知,求,a,b,.,第11页,2.导数和微分计算,(约 18%),主要题型,(1)计算,复合函数,导数和微分;,(2)计算,隐函数,导数和微分;,(3),参数方程,求一阶、二阶导数;,(4)用导数定义求,特殊点,导数值;,(5)计算,n,阶导数.,(包含,对数微分法,),例题分析,第12页,例1.,已知,解法1.,等式两边对,x,求导,得,故,解法2.,等式两边取对数,得,两边对,x,求导,得,故,第13页,例2.,已知,解：,两边取对数，得,两边对,x,求导,第14页,例3.,证实下述函数在,x,=0 连续且可导,证:,因为,又,在,x,=0 连续且可导.,思索:,若函数改为,是否有一样,结论?,第15页,例4.,已知,解:,求,第16页,例5.,设,解:,第17页,例6.,设,解:,第18页,例7.,设,求,解:,第19页,例8.,求,解:,方法1.,利用归纳法可证,方法2.,利用莱布尼兹求导公式,n,阶导数.,第20页,例9.,设,求,解:,第21页,3.不定积分与定积分计算,(约 28%),主要题型,(1)利用基本积分方法计算不定积分;,(2)利用基本积分方法及公式计算定积分;,(3)利用简化技巧计算积分;,(4)广义积分计算及收敛性判别.,例题分析,第22页,例1.,求,解:,令,令,例2.,求,解:,第23页,例3.,求,解:,原式=,第24页,例4.,求,解:,例5.,讨论积分,解:,敛散性.,发散,可见原积分发散.,第25页,例6.,求,解:,奇函数,偶函数,例7.,已知,解:,对所给等式两边求导,得,求,利用“,偶倍奇零,”,得,第26页,例8,.,设,求,(P2,70,题1,3,),解:,令,则,第27页,例9.,已知,解:,由已知条件得,求,第28页,例10.,求,解:,利用,P24,8,例6(2),即,第29页,例11.,利用递推公式计算以下广义积分,解:,(P2,60,题3),第30页,二.两个基本应用,(约 24%),1.导数应用,(约 16%),主要题型,(1)导数几何应用,(2)利用导数研究函数形态,(3)求解最值问题,(4)利用导数证实恒等式,(5)利用单调性证实不等式,第31页,例1.,设函数,在定义域内可导,图形如右图所表示,则导函数,图形为,.,(考研),提醒:,在某区间,I,内可导,则在,I,内,是,极值点,例题分析,第32页,例2.,证实,在,上单调增加.,证:,令,在,x,x,+1 上利用拉氏中值定理,故当,x,0 时,从而,在,上单调增.,得,第33页,例3.,证实当,x,0 时,证法1:,设,则,故,证法2:,当,x,0 时,在,x,x,+1 上利用拉氏中值定理,得,第34页,例4.,证实:,证:,即,第35页,例5.,证实当,证:,归结为证,即,在(0,1)上不好判别正负号,提醒:,证实,f,(0)是,f,(,x,)在(,1),上最大值.,说明:若改为证实当,x,1,时,怎样证实?,第36页,例5.,设,证:,设,且,比较,可知,故不等式成立.,第37页,有两个根;,例6.,讨论方程,有几个实根.,解:,设,令,得,(最大值),注意,所以,当,时,当,时,只有一个根；,当,时,无实根.,(P15,3,题,6,),第38页,例7.,求双曲线,曲率半径,R,并分析何处,R,最小?,解:,则,利用,第39页,例8.,求内接于半径为,R,球内正圆锥体最大致积.,解:,设锥体底半径为,r,高为,h,如图,因,ADB,BDE,所以,圆锥体体积,为极大值点,在(0,2,R,)内只有唯一驻点,且为极大值点,故为最大,值点,最大值为,第40页,2.定积分应用,(约 8%),(1)利用定积分计算面积,直角坐标方程,参数方程,极坐标方程,(2)利用定积分计算弧长及旋转体体积,(3)定积分物理应用,(4)相关定积分证实题,主要题型,例题分析,第41页,例1.,求曲线,解:,设切点为,则切线方程为,令,得,与其经过原点切线及,y,轴所围图形,面积.,故所求面积为,第42页,例2.,求曲线,解:,列表:,绕,x,轴旋转所得,旋转体体积.,第43页,例3.,求抛物线,解:,与直线,所围图形绕,y,轴,旋转一周所得旋转体体积.,（此题也可用柱壳法）,（普通法）,第44页,例4.,求由圆,解:,圆方程为,围成平面图形绕,x,轴旋转,一周形成旋转体体积.,利用“偶倍奇零”,（这是柱壳法）,第45页,例5.,证实,提醒:,令,得,x,=1,0,判别,x,=1,为,f,(,x,)在,上唯一极大点,故,则,时,第46页,例6,.,求抛物线,在(0,1)内一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形面积最小.,解:,设抛物线上切点为,则该点处切线方程为,它与,x,y,轴交点分别为,所求面积,第47页,且为最小点.,故所求切线为,得 0,1 上唯一驻点,第48页,三.一个基本理论 相关中值问题,(约 5%),主要题型,(1)讨论函数零点问题或方程根问题,存在性,唯一性,惯用,介值定理,;,罗尔定理,利用,单调性,;,反证法,(2)利用微分和积分,中值定理,证实等式或不等式,例1.,叙述拉格朗日中值定理并证实之.,提醒:,利用逆向思维设出满足,罗尔定理,辅助函数.,例题分析,第49页,例2.,设常数,最少有一正根,且不超出,证:,设,则,均为正值,证实方程,若,则,为一正根,且符合题意.,若,则,由根存在定理知,又,最少存在一个,使,即所给方程最少有一个不超出,正根.,第50页,证实方程,例3.,已知,证:,先证,存在性,.,使,再证,唯一性,.,在 0,1 上有唯一根.,则,所以,即,假设方程还有一根,则,无妨设,x,0,0 时,F,(,x,)可导,故连续,问,a,取何值时,F,(,x,)连续?,显然连续,第59页,2.注意综合试题,(1)极限与其它知识点结合,(2)求导与积分方法结合,(3)导数应用与积分应用结合,3.详细要求,全方面复习,抓住三基,动手动脑,认真细致.,预防低级错误:,正负号搞错;,不定积分丢,C,;,微分积分漏写,导数与积分公式记反,抄错题或漏题;,(4)微分中值定理与积分中值定理结合,第60页,填空:,写出以下函数导数和原函数,函数,导函数,原函数,第61页,