弹塑性力学——物理方程.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,物 理 方 程,第1页,应力只取决于应变状态，与到达该状态过程无关,x,=,x,(,x,，,y,，,z,，,xy,，,yz,，,zx,),y,=,y,(,x,，,y,，,z,，,xy,，,yz,，,zx,),.,zx,=,zx,(,x,，,y,，,z,，,xy,，,yz,，,zx,),普通表示,第2页,对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系,x,=,c,11,x,+,c,12,y,+,c,13,z,+,c,14,xy,+,c,15,yz,+,c,16,zx,y,=,c,21,x,+,c,22,y,+,c,23,z,+,c,24,xy,+,c,25,yz,+,c,26,zx,z,=,c,31,x,+,c,32,y,+,c,33,z,+,c,34,xy,+,c,35,yz,+,c,36,zx,xy,=,c,41,x,+,c,42,y,+,c,43,z,+,c,44,xy,+,c,45,yz,+,c,46,zx,yz,=,c,51,x,+,c,52,y,+,c,53,z,+,c,54,xy,+,c,55,yz,+,c,56,zx,zx,=,c,61,x,+,c,62,y,+,c,63,z,+,c,64,xy,+,c,65,yz,+,c,66,zx,系数,c,mn,共36个,取决于材料弹性性质，与坐标系选取相关,第3页,张量形式表示,ij,=,C,ijkl,kl,其中,C,ijkl,称为四阶弹性张量，共81个分量。一样也取决于坐标系，,服从四阶张量坐标变换定律,弹性张量对称性,（1）依据应力张量和应变张量对称性,C,ijkl,=,C,jikl,（2）依据应力张量和应变张量对称性,C,ijkl,=,C,ijlk,独立分量也是36个。,第4页,（3）应变能存在，则弹性张量关于,ij,和,kl,也应对称,C,ijkl,=,C,klij,独立弹性常数共有21个,两种表示方式之间关系,弹性系数,c,下标 1、2、3、4、5、6,对应于张量,C,指标11、22、33、12、23、31,比如：,c,11,C,1111,c,12,C,1122,c,13,C,1133,c,14,C,1112,弹性系数,c,mn,也应含有对称性,c,mn,c,nm,第5页,材料对称性,弹性对称面,该面对称两个方向含有相同弹性关系,第6页,第7页,以最终一个方程为例,zx,反号，而,x,，,y,，,z,和,xy,不变，,c,61,c,62,c,63,c,64,0,x,=,c,11,x,+,c,12,y,+,c,13,z,+,c,14,xy,y,=,c,12,x,+,c,22,y,+,c,23,z,+,c,24,xy,z,=,c,13,x,+,c,23,y,+,c,33,z,+,c,34,xy,xy,=,c,14,x,+,c,24,y,+,c,34,z,+,c,44,xy,yz,=,c,55,yz,+,c,56,zx,zx,=,c,56,yz,+,c,66,zx,第8页,正交各向异性材料,含有三个相互正交弹性对称面。独立弹性常数降低到9个,x,=,c,11,x,+,c,12,y,+,c,13,z,y,=,c,12,x,+,c,22,y,+,c,23,z,z,=,c,13,x,+,c,23,y,+,c,33,z,xy,=,c,44,xy,yz,=,c,55,yz,zx,=,c,66,zx,各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料,第9页,第10页,横观各向同性材料,存在一个弹性对称轴，在垂直该轴平面内材料各向同性,将,x,，,y,轴交换时，材料弹性关系不变,c,11,=,c,22,，,c,13,=,c,23,，,c,55,=,c,66,将坐标系绕,z,轴旋转45,0,，剪切应力应变关系不变，,c,44,=(,c,11,c,12,),x,=,c,11,x,+,c,12,y,+,c,13,z,y,=,c,12,x,+,c,11,y,+,c,13,z,z,=,c,13,x,+,c,13,y,+,c,33,z,xy,=(,c,11,c,12,),xy,yz,=,c,55,yz,zx,=,c,55,zx,独立弹性常数降低到5个。比如：层状结构岩体。,第11页,第12页,第13页,各向同性弹性体,广义Hooke定律,将,x,轴与,z,轴交换，或将,y,轴与z轴交换时，材料弹性关系不变，,c,11,=,c,33,，,c,12,=,c,13,，,c,55,=,c,66,=(,c,11,c,12,),于是，独立弹性常数降低到2个,x,=,c,11,x,+,c,12,y,+,c,12,z,y,=,c,12,x,+,c,11,y,+,c,12,z,z,=,c,12,x,+,c,12,y,+,c,11,z,xy,=(,c,11,c,12,),xy,yz,=(,c,11,c,12,),yz,zx,=(,c,11,c,12,),zx,第14页,令,c,12,=,，,c,11,c,12,=2,G,、,G,称为Lame弹性常数,x,=2,G,x,+,xy,=,G,xy,y,=2,G,y,+,yz,=,G,yz,z,=2,G,z,+,zx,=,G,zx,=,x,+,y,+,z,是体积应变,第15页,广义Hooke定律张量形式,ij,=,kk,ij,+2,G,ij,ij,=,C,ijkl,kl,C,ijkl,=,ij,kl,+,G,(,ik,jl,+,il,jk,),式中,ij,是二阶单位张量,某个面上剪切应力为零时，剪应变也为零,应力主方向与应变主方向重合,第16页,体积应力与体积应变关系,将等式对应相加，可得平均应力与体积应变关系：,3,0,=(2,G,+3,),式中,0,=(,x,+,y,+,z,)/3,是平均应力。,0,=,K,式中,K,=(3,+2,G,)/3,是体积变形模量。,第17页,偏应力与偏应变关系,x,=2,G,x,+,s,x,+,0,=2,G,(,e,x,+,)+,将体应力与体应变关系代入：,s,x,=2,Ge,x,同理可得：,s,y,=2,Ge,y,s,z,=2,Ge,z,张量形式表示为,s,ij,=2,Ge,ij,在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变，,体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。,第18页,弹性常数之间关系,单轴拉伸,使用物理关系，有：,x,=2,G,x,+,(,x,+,y,+,z,),0=2,G,y,+,(,x,+,y,+,z,),y,=,z,第19页,纯剪试验,使用物理方程，,xy,=2,G,xy,，,G,是剪切模量。,G,、,、,K,、,E,和,共5个弹性常数，但只有2个独立,第20页,由应力表示应变,正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。,每个应变等于各个应力单独作用时产生应变之和。,第21页,弹性应变能,一维情况,一细长杆，长度,L,，横截面积,S,，两端受拉力,P,作用，伸长量为,L,，,外力功为,因为应力,x,=,P,/,S,，,x,=,L,/,L,，上式可写成,第22页,单位体积应变能,W,为,求应变能相对应变偏导,第23页,三维情况,考查微小六面体，作用应力分量,ij,，由此产生应变分量,ij,各应力分量,ij,都只在指标与它相同应变分量,ij,上做功，,第24页,依据能量平衡，单位体积应变能应是,所以,dW,=,ij,d,ij,对于弹性体，应变能只取决于状态，而与到达该状态路径无关,是应变状态单值函数,W,=,W,(,ij,)，应变能增量,dW,必须是全微分,=,ij,d,ij,上式对于任意应变增量,d,ij,都应成立，,第25页,可导出以下对称性,C,ijkl,=,C,klij,将物理方程,ij,=,C,ijkl,kl,代入,dW,=,ij,d,ij,，考虑对称性，则,W,=,C,ijkl,ij,kl,=,ij,ij,第26页,应变能分解,应变能可分解为体积改变能和形状改变能。,W,=,ij,ij,=(,s,ij,+,0,ij,)(,e,ij,+,kk,ij,)=,0,kk,+,s,ij,e,ij,第一项是体积应力在体积应变上做功，称为体积改变能；,第二项是偏应力在偏应变上做功，称为形状改变能。,在各向同性情况下，应变能由应变表示为,W,=,K,(,kk,),2,+(2,G,),e,ij,e,ij,或者用应力表示为,W,=(,0,),2,+,J,2,应变能函数,W,应是正定，即,W,0，,第27页,