三重积分的变量代换.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,三重积分变量代换,柱面坐标代换 球面坐标代换,三重积分对称性,第1页,一、三重积分换元法,第2页,例1.求由下面方程表示曲面所围立体体积:,其中,解:令,则,第3页,1.利用柱坐标计算三重积分,就称为点,M,柱坐标.,直角坐标与柱面坐标关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,第4页,所以,适用范围:,1),积分域,是圆,柱或它在某坐标面上投影为圆(或一部分),;,2),被积函数,中含有,x,2,+y,2,(,对应地,y,2,+z,2,x,2,+z,2,),形式,.,第5页,其中,为由,例2.,计算三重积分,所围,解:,在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,第6页,例3.,计算三重积分,解:,在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中,由抛物面,原式=,第7页,2.利用球坐标计算三重积分,就称为点,M,球坐标.,直角坐标与球面坐标关系,坐标面分别为,球面,半平面,锥面,第8页,所以有,适用范围:,1),积分域,表面是球面或顶点在原点圆锥面;,2),被积函数,含,x,2,+y,2,+z,2,一类式子.,第9页,例4.,计算三重积分,解:,在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,第10页,3.广义球坐标变换,直角坐标与广义球坐标关系,例5.椭球 体积,第11页,内容小结,积分区域,多由坐标面,围成;,被积函数,形式简练,或,变量可分离.,坐标系 体积元素 适用情况,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,三重积分也有类似二重积分,换元积分公式:,对应雅可比行列式为,第12页,二、利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,.积分区域关于坐标面对称性；,.被积函数关于三个自变量,奇偶性,第13页,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是,奇函数,第14页,解,第15页,第16页,第17页,例8.,计算,其中,解:,利用对称性,第18页,例9.,求曲面,所围立体体积.,解:,由曲面方程可知,立体位于,xoy,面上部,利用对称性,所求立体体积为,yoz,面对称,并与,xoy,面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于,xoz,第19页,轮换对称性,：,若积分区域,表示式中将,x,y,z,依次轮换,表示式不变,则称,关于,x,y,z,轮换对称.此时有,例10.,设,是由平面,x+y+z=1,和三个坐标面所围成 区域,求,解:由轮换对称性,第20页,例11.求,，其中,由球面,所围成.,解:,则,.,由对称性有:,.,被积函数变为:,第21页,例11.求,，其中,由球面,所围成.,解:,于是,.,由对称性有:,第22页,思索题,第23页,练 习 题,第24页,第25页,第26页,第27页,练习题答案,第28页,第29页,第30页,