数学建模微分方程模型.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,2 传染病模型,3 战争模型,4 最优打鱼问题,1 微分方程模型,微 分 方 程 模 型,第1页,1 微分方程模型,一、,微分方程模型建模步骤,在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、,社会等学科中许多系统，有时极难找到该系统相关,变量之间直接关系函数表示式，但却轻易找到,这些变量和它们微小增量或改变率之间关系式，,这时往往采取微分关系式来描述该系统即建立微,分方程模型,。,我们以一个例子来说明建立微分方程模,型基本步骤。,第2页,例1 某人食量是10467（焦/天），其中5038,（焦/天）用于基本新陈代谢（即自动消耗）。,在健身训练中，他所消耗热量大约是69,（焦/千克天）乘以他体重（千克）。假设,以脂肪形式贮藏热量100%地有效，而1千克脂,肪含热量41868（焦）。,试研究此人体重随时间改变规律。,第3页,模型分析,在问题中并未出现“改变率”、“导数”这么关键,词，但要寻找是体重（记为,W,）关于时间,t,函数。假如我们把体重,W,看作是时间,t,连续可,微函数，我们就能找到一个含有 微分方程。,第4页,模型假设,1.以W(t)表示t时刻某人体重，并设一天开始时,人体重为W,0,。,2体重改变是一个渐变过程。所以可认为,W(t)是关于连续t而且充分光滑。,3体重改变等于输入与输出之差，其中输入,是指扣除了基本新陈代谢之后净食量吸收；,输出就是进行健身训练时消耗。,第5页,模型建立,问题中所包括时间仅仅是“天天”，由此，,对于“天天”体重改变=输入-输出。因为考,虑是体重随时间改变情况，所以，可得,体重改变/天=输入/天输出/天。代入具,体数值，得,输入/天=10467（焦/天）5038（焦/天）,=5429（焦/天），,输出/天=69（焦/千克天）（千克）,=69（焦/天）。,第6页,体重改变/天=W/t（千克/天），,当,t,0,时，它等于dW/dt。,考虑单位匹配，,利用“千克/天=（焦/天天）/41868（焦/千克）”,可建立以下微分方程模型,第7页,模型求解,用变量分离法求解，模型方程等价于,积分得,第8页,从而求得模型解,就描述了此人体重随时间改变规律。,第9页,现在我们再来考虑一下：此人体重会到达平衡吗?,显然由W表示式，当t,时，体重有稳定值W,81。,我们也能够直接由模型方程往返答这个问题。,在平衡状态下，W是不发生改变。所以,这就非常直接地给出了W,平衡,=81。,所以，假如我们需要知道仅仅是这个平,衡值，就无须去求解微分方程了！,第10页,至此，问题已基本上得以处理。,普通地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：,(1)依据规律列方程。利用数学、力学、物理、,化学等学科中定理或许多经过实践或试验检,验规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射,性规律、曲线切线性质等建立问题微分,方程模型。,第11页,(3)模拟近似法。在生物、经济等学科实际问题中，,许多现象规律性不很清楚，即使有所了解也是极其,复杂，常惯用模拟近似方法来建立微分方程模型、,建模时在不一样假设下去模拟实际现象，这个过程,是近似，用模拟近似法所建立微分方程从数学上,去求解或分析解性质，再去同实际情况对比，看这,个微分方程模型能否刻划、模拟、近似一些实际现象。,本章将结合例子讨论几个不一样领域中微分方程模型,建模方法。,第12页,2 传染病模型,问题,描述传染病传输过程,分析受感染人数改变规律,预报传染病高潮到来时刻,预防传染病蔓延伎俩,按照传输过程普通规律，用机理分析方法建立模型,第13页,已感染人数(病人),i,(,t,),每个病人天天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),建模,?,第14页,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数,N,不变，病人和健康 人 百分比分别为,2）每个病人天天有效接触人数为,且,使接触健康人致病,建模,日,接触率,SI,模型,第15页,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,传染病高潮到来时刻,(日接触率),t,m,Logistic 模型,病人能够治愈！,?,t=t,m,di,/,dt,最大,第16页,模型,3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3）病人天天治愈百分比为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人有效接触人数，称为,接触数,。,第17页,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内,有效接触感染健康者人数不超出病人数,1-1/,i,0,模型2(SI模型)怎样看作模型3(SIS模型)特例,i,di/dt,0,1,1,0,t,i,1,1-1/,i,0,t,1,di,/,dt,0,第18页,模型,4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称,移出者,SIR,模型,假设,1）总人数,N,不变，病人、健康人和移出者百分比分别为,2）病人日接触率,日,治愈率,接触数,=/,建模,需建立 两个方程,第19页,模型,4,SIR,模型,无法求出,解析解,在相平面 上,研究解性质,第20页,模型,4,消去,dt,SIR,模型,相轨线 定义域,相轨线,1,1,s,i,0,D,在,D,内作相轨线 图形，进行分析,第21页,s,i,1,0,1,D,模型,4,SIR,模型,相轨线 及其分析,传染病蔓延,传染病不蔓延,s,(,t,)单调减,相轨线方向,P,1,s,0,i,m,P,1,:,s,0,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,第22页,模型,4,SIR,模型,预防传染病蔓延伎俩,(日接触率),卫生水平,(日,治愈率),医疗水平,传染病不蔓延条件,s,0,1/,预计,降低,s,0,提升,r,0,提升阈值 1/,降低,(=,/,),群体免疫,第23页,模型,4,SIR,模型,被传染人数预计,记被传染人数百分比,x,s,0,i,0,P,1,i,0,0,s,0,1,小,s,0,1,提升阈值1/,降低,被传染人数百分比,x,s,0,-,1/,=,第24页,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而降低，因支援而增加,战斗力与射击次数及命中率相关,建模思绪和方法为用数学模型讨论社会领域实际问题提供了可借鉴示例,第一次世界大战,Lanchester,提出预测战役结局模型,3 战争模型,第25页,普通模型,每方战斗减员率取决于双方兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方支援率为,u,(,t,),v,(,t,),f,g,取决于战争类型,x,(,t,)甲方兵力，,y,(,t,)乙方兵力,模型假设,模型,第26页,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有支援,f,(,x,y,)=,ay,a,乙方每个士兵杀伤率,a,=,r,y,p,y,r,y,射击率，,p,y,命中率,第27页,0,正规战争模型,为判断战争结局，不求,x,(,t,),y,(,t,)而在相平面上讨论,x,与,y,关系,平方律 模型,乙方胜,第28页,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还伴随甲方兵力增加而增加,忽略非战斗减员,假设没有支援,f,(,x,y,)=,cxy,c,乙方每个士兵杀伤率,c,=,r,y,p,y,r,y,射击率,p,y,命中率,p,y,=s,ry,/,s,x,s,x,甲方活动面积,s,ry,乙方射击有效面积,第29页,0,游击战争模型,线性律 模型,第30页,0,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须10倍于甲方兵力,设,x,0,=100,r,x,/,r,y,=1/2,p,x,=0.1,s,x,=1(km,2,),s,ry,=1(m,2,),第31页,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在连续稳产前提下实现最大产量或最正确效益。,问题及 分析,在,捕捞量稳定,条件下，怎样控制捕捞使产量最大或效益最正确。,假如使捕捞量等于自然增加量，,渔场鱼量将保持不变,，则捕捞量稳定。,背景,4 最优打鱼问题,第32页,产量模型,假设,无捕捞时鱼自然增加服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解,x,(,t,),只需知道,x,(,t,)稳定条件,r,固有增加率,N,最大鱼量,h,(,x,)=,Ex,E,捕捞强度,x,(,t,)渔场鱼量,第33页,一阶微分方程平衡点及其稳定性,一阶非线性（自治）方程,F,(,x,)=0根,x,0,微分方程,平衡点,设,x,(,t,)是方程解，若从,x,0,某邻域任一初值出发，都有,称,x,0,是方程(1),稳定平衡点,不求,x,(,t,),判断,x,0,稳定性方法直接法,(1)近似线性方程,第34页,产量模型,平衡点,稳定性判断,x,0,稳定,可得到稳定产量,x,1,稳定,渔场干枯,E,捕捞强度,r,固有增加率,第35页,产量模型,在捕捞量稳定条件下，控制捕捞强度使产量最大,图解法,P,横坐标,x,0,平衡点,P,纵坐标,h,产量,产量最大,f,与,h,交点,P,控制渔场鱼量为最大鱼量二分之一,y=rx,h,P,x,0,h,m,x,0,*,=,N,/2,P,*,y=E,*,x,y,0,y=h,(,x,),=Ex,x,N,y=f,(,x,),第36页,效益模型,假设,鱼销售价格,p,单位捕捞强度费用,c,单位时间利润,在捕捞量稳定条件下，控制捕捞强度使效益最大.,稳定平衡点,求,E,使,R,(,E,)最大,渔场鱼量,收入,T,=,ph,(,x,)=,pEx,支出,S,=,cE,第37页,E,s,S,(,E,),T,(,E,),0,r,E,捕捞过分,封闭式捕捞,追求利润,R,(,E,)最大,开放式捕捞,只求利润,R,(,E,)0,R,(,E,)=0时捕捞强度(临界强度),E,s,=2,E,R,临界强度下渔场鱼量,捕捞过分,E,R,E,*,令=0,第38页,