考研定积分应用详解.pptx

*,第六章,定积分应用,若能把某个量表示成定积分,我们就能够应用定积分计算这个量,1,第1页,(3)求和，,(4)求极限，,对应曲边梯形被分为,n,个小窄曲边梯形，,小窄曲边梯形面积为,则,(2)计算,近似值，,而第,i,个,(1),把区间,a,b,分成,n,个长度为,小区间,得,A,近似值,得,A,准确值.,回顾：,曲边梯形,面积,表示为,定积分,步骤：,a,b,x,y,o,2,第2页,a,b,x,y,o,对以上过程进行简化:,面积，,则,取,面积元素,若用,表示任一小区间,上窄曲边梯形,这种简化以后定积分方法叫,“,微元法,”或“元素法”,3,第3页,一、定积分,元素法,1.什么问题能够用定积分（元素法）处理?,表示为,1)所求量,U,是与区间,a,b,上有定义,f,(,x,),相关,2),U,对区间,a,b,含有,可加性,即可经过,“大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分定义,一个整体量;,4,第4页,第一步，,依据详细情况,，,选取积分变量，,确定,x,改变,区间,a,b,.,第二步，,把区间,a,b,分成,n,个小区间，,取一代表区间,求出该区间上所求量部分量,称为量,U,微元.,第三步，,写出定积分表示式：,近似表示式,这个方法通常叫做,元素法,元素几何形状常取为:,条,带,段,环,扇,片,壳,等,先作图,2.应用定积分元素法处理问题详细步骤是：,5,第5页,3.,使用元素法时应注意：,(1),U,是与一个变量,x,改变区间,a,b,相关量.,(2),U,对于区间,a,b,含有可加性，,则,U,对应地分成许多,即假如把区间,a,b,分成许多部分区间，,部分量，,而,U,等于全部部分量之和.,则,U,在,a,b,上值可由定积分,示为,(3)在,a,b,中任取小区间,上部分量,与区间长度,能够经过,x,某函数,乘积近似表,来计算.,6,第6页,1.直角坐标系下平面图形面积计算,梯形面积为,A,.,X,型,(2)由曲线,所围图形面积.,其面积元素为：,则面积为,上曲线,下曲线,二、定积分在几何学上应用,7,第7页,(4)由曲线,所围图形面积.,其面积元素为：,则面积为,右曲线,左曲线,x,o,y,c,d,x,y,o,c,d,y+,d,y,y,y+,d,y,y,面积,A.,Y,型,8,第8页,总之,9,第9页,回顾：极坐标系,1.极坐标系定义：,在平面上取定一点,o,，,叫做,极点,.,从极点出发引一条射线,Ox,叫,极轴,，,并取定一个,长度单位,和计算角度,正方向,(通常取,逆时针方向作正方向,),这么,就建立了一个,平面极坐标系,.,x,1,2,3,4,o,.,2.极坐标与直角坐标互化,x,o,y,y,x,10,第10页,过点,M,(,a,0)且垂直于极轴直线极坐标方程,过极点且倾角为,射线极坐标方程为,x,o,y,x,o,.,M,b,y,极坐标与直角坐标,关系:,轴直线方程为,过点,M,且平行于极,3.几个惯用曲线极坐标方程,x,o,y,M,(,a,0),11,第11页,x,o,r,y,圆极坐标方程,o,x,y,2,a,o,x,y,2,a,圆极坐标方程,圆极坐标方程,12,第12页,2.极坐标系下平面图形面积计算,求由曲线,及,围成曲边扇形面积.,解:,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积近似值为,所求曲边扇形面积为,13,第13页,3.,已知平行截面面积函数立体体积,设所给立体垂直于,x,轴截面面积为,A,(,x,),则在小区间,体积元素为：,立体体积为：,上连续,x,A,(,x,),x,a,b,14,第14页,(1)曲边梯形,旋转一周围成旋转体体积为：,(2)曲边梯形,绕,y,轴旋转一周围成旋转体体积为：,4.旋转体体积,15,第15页,a,b,y,x,o,x,d,x,生成旋转体积.,求旋转体体积,x,+d,x,内表面积：,柱壳法,16,第16页,a,b,y,x,o,x,d,x,生成旋转体积.,求旋转体体积,柱壳法,x,+d,x,底面积：,17,第17页,围成曲边梯形绕,y,轴旋转一周,所以：由连续曲线,类似地，,假如旋转体是由,连续曲线,而成立体体积.,而成立体体积.,18,第18页,5.弧长,(数1、数2),y,x,o,a,b,(2)参数方程,(3)极坐标方程,注意:,求弧长时积分上下限必须,上大下小,19,第19页,6.旋转体侧面积,(数1、数2),设平面光滑曲线,求,它绕,x,轴旋转一周所得到旋转曲面侧面积.,积分后得旋转体侧面积,取侧面积元素:,(注意在不一样坐标系下 ds 表示式),20,第20页,X,型,Y,型,请熟记以下公式：,21,第21页,注意：,1)以上公式都要求,2)复杂图形应学会分割.,3)不能用公式时应会元素法.,4)若曲边梯形曲边为参数方程,则上述公式能够用定积分换元法处理.,5)若曲边梯形曲边为极坐标方程,则可转化为直角坐标系下参数方程：,6)与弧长相关时,其限应上大下小.,22,第22页,解:,经典例题分析,23,第23页,解:,24,第24页,x,y,o,A,B,解：,依题意有,25,第25页,例4.,计算抛物线,解：,如图，,求两曲线交点,26,第26页,而成,旋转体体积,.,分析：,无公式可用,可用元素法.如图:,例5.,解法1:,选择,y,作积分变量,解法2:,选择,x,作积分变量,27,第27页,思索,:,过坐标原点作曲线,轴围成平面图形,D.,解:,(1)设切点横坐标为,则所求切线方程为,由切线过原点知,切线.该切线与,故切线方程为,1,(考研),(1)求,D,面积;,(2)求,D,绕直线,x,=,e,旋转一周所得旋转体体积.,28,第28页,(2)求,D,绕直线,x,=,e,旋转一周所得旋转体体积.,(2)切线、,x,轴及直线,所围三角形绕直线,旋转所得圆锥体积为：,曲线、,x,轴及直线,所围图形绕直线,旋转所,所以所求旋转体体积为：,得旋转体体积为：,1,29,第29页,解:,30,第30页,解:,31,第31页,解:,32,第32页,解:,33,第33页,(1)求由摆线,一拱与,x,轴所围平面图形面积.,(2)计算摆线,一拱与,y,0所围,成图形分别绕,x,轴,y,轴旋转而成立体体积.,(3)计算摆线,一拱长度.,练习题：,34,第34页,提醒:,计算摆线,平面图形分别绕,x,轴,y,轴旋转而成立体体积.,解：,绕,x,轴旋转而成体积为,P280例8,用柱壳法求 很好,35,第35页,证:,设正弦线弧长等于,设椭圆弧长等于,例7.,证实正弦线,弧长等于,椭圆,周长.,故原结论成立.,36,第36页,试用定积分求圆,上,半圆为,下,求体积:,解:,方法1,利用对称性,而成环体体积,V,及表面积,S,.,方法2,用柱壳法,例8.,37,第37页,上,半圆为,下,解:,求侧面积:,试用定积分求圆,而成环体体积,V,及表面积,S,.,例8.,38,第38页,解：如图,立体体积.,例9.,39,第39页,例10.,在,x,0 时为连续非负函数,旋转一周所成旋转体体积,证实:,证:,利用柱壳法,则,故,40,第40页,思索:,求曲线,与,x,轴围成封闭图形,绕直线,y,3 旋转得旋转体体积.,(94 考研),解：,利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,41,第41页,回顾：变力沿直线所作功,二、定积分在物理上应用,设物体在连续变力,F,(,x,)作用下沿,x,轴从,x,a,移动到,力方向与运动方向平行,求变力所做功.,在其上所作功元素为,所以变力,F,(,x,)在区间,上所作功为,解：,42,第42页,0,1,x,解:,设木板对铁钉阻力为,第一次,锤击时所作功为,例1.,用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉阻力与铁钉击入木板深度成,正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1厘米,假如,铁锤,每次锤击,铁钉,所作功相等,问锤击第 二 次时,又将铁钉击入多少？,h,设两次击入总深度为 厘米,依题意知:,故第二次击入深度为,P292第5题,43,第43页,谢 谢 大 家！再见,例2.,设有一长度为,l,线密度为,(,x,),细直棒,求该棒质量,m,及平均密度.,解：,建立坐标系如图.,细棒上小段,对应质量微元为:,平均密度为：,44,第44页,