高数下9.3三重积分及其计算.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,将二重积分定义中积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分定义.,9.3,三重积分及其计算,一、三重积分概念,三重积分物理背景,以,(,x,y,z,)为体密度函数空间物体,质量.,首先,将闭区域,任意分成,n,个小闭区域,v,1,v,2,v,n,其中,v,i,表示第,i,个小闭区域,也表示它体积,在每个,v,i,上任取一点(,i,i,i,),作乘积,(,i,i,i,),v,i,(,i,=1,2,n,),并作和,第1页,假如当各小闭区域直径中最大值,趋近于零时,该和式极限存在,则称此极限为空间物体,质量,M,即,当然,在三维空间定义函数,u,=,f,(,x,y,z,)“几何”意义是四维空间“曲面”,我们能够想象,但不论怎样也无法画出其“图形”,所以我们不再讨论其几何意义.,下面我们给出三重积分定义:,第2页,定义:,设,f,(,x,y,z,)是空间有界闭区域,上有界函数,将闭区域,任意分成,n,个小闭区域,v,1,v,2,v,n,其中,v,i,表示第,i,个小闭区域,也表示它体积,在每个,v,i,上任取一点(,i,i,i,),作乘积,f,(,i,i,i,),v,i,(,i,=1,2,n,),并作和,假如当各小闭区域直径中最大值,趋近于零时,该和式极限存在,则称此极限为函数,f,(,x,y,z,)在闭区域,上,三重积分,并记为,即,其中,dv,称为体积元素,其它术语与二重积分相同.,一样有:闭区域上连续函数一定可积.,第3页,在直角坐标系中,假如我们用三族(平行于坐标)平面,x,=常数,y,=常数,z=,常数,对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体.其体积元素为:,dv,=,dxdydz,.,三重积分可写成:,由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同性质,不再叙述.,二、三重积分在直角坐标系中计算法,与二重积分类似,三重积分可化成三次积行计算.详细可分为,先单后重,和,先重后单,两种类型.,第4页,(,x,y,),z,=,z,1,(,x,y,),z,=,z,2,(,x,y,),先单后重:,设闭区域,在,xoy,面投影为闭区域,D,xy,.,在闭区域,D,xy,内任取一点(,x,y,),作垂直于,xoy,面直线穿过闭区域,.,穿入,时下边界曲面方程:,z,=,z,1,(,x,y,),穿出,时上边界曲面方程:,z,=,z,2,(,x,y,),先将,x,y,看作定值,f,(,x,y,z,)看作,z,函数,则积分,为闭区域,D,xy,上函数,能够了解为压缩在平面薄片,D,xy,上密度函数.,第5页,(,x,y,),z,=,z,1,(,x,y,),z,=,z,2,(,x,y,),y,=,y,1,(,x,),y,=,y,2,(,x,),a,b,由三重积分物理意义,若将,f,(,x,y,z,)了解为闭区域,上体密度函数,那么三重积分,表示空间物体质量,M,.,则函数,F,(,x,y,)能够了解为压缩在平面薄片,D,xy,上密度函数.,则质量,M,等于,F,(,x,y,)在平面薄片,D,xy,上二重积分:,即,下面只需将二重积分化成二次积分:,不妨设,D,xy,为X区域:,y,1,(,x,),y,y,1,(,x,),a,x,b,.,第6页,则,此方法也称为先一后二,或,切条法,(先,z,次,y,后,x,或,先,z,次,x,后,y,),注意:,这是用平行于,z,轴(或垂直于,xoy,平面)且穿过闭区域,内部直线与闭区域,边界曲面相交不多于两点情形.,用完全类似方法可把三重积分化成其它次序下三次积分.,化三重积分为三次积分步骤:,投影:得平面区域;,穿越法定限:穿入点下限,穿出点上限.,对于二重积分化为累次积分方法,已经介绍过.,第7页,o,x,y,z,D,xy,例,1:将三重积分,化成三次积分,其中,为长方体,各边界面平行于坐标面.,解,:,将,投影到,xoy,面得,D,xy,它是一个矩形:,c,y,d,a,x,b,在,D,xy,内任取一点(,x,y,)作平行于,z,轴直线,交边界曲面于两点,其竖坐标为,l,和,m,(,l,m,).,a,b,c,d,(,x,y,),m,l,第8页,例,2:计算,平面,x,+,y,+,z,=1所围成区域.,D,xy,x,y,z,o,其中,是三个坐标面与,解,:,画出,在,xoy,面上投影,区域,D,xy,:0,y,1,x,0,x,1,平行于,z,轴直线穿过下曲面为,z,=0,上曲面为,z,=1,x,y,有 0,z,1,x,y,.,x,+,y,+,z,=1,x,+,y,=1,第9页,解,:,画出积分区域,草图.,其中积分区域,为由曲面,z,=,x,2,+,y,2,y,=,x,2,y,=1,z,=0所围成空间闭区域.,例,3:化三重积分为,三次积分,在,xoy,面上投影,区域,D,xy,:,x,2,y,1,1,x,1,平行于,z,轴直线穿过,下曲面为,z,=0,上曲面为,z,=,x,2,+,y,2,有0,z,x,2,+,y,2,.,第10页,例,4:将三次积分,化为按,y,z,x,次序积分.,解,:,由所给积分次序可得,:,0,z,x,2,+,y,2,0,y,1,0,x,1.,即,在,xoy,面上得投影为方形区域,0,y,1,0,x,1.,平行于,z,轴直线穿过,下曲面为,z,=0,上曲面为,z,=,x,2,+,y,2,有 0,z,x,2,+,y,2,.,由题意要求,需要先对,y,积分,则应作平行于,y,轴直线穿过,为此,需作一母线平行于,y,轴柱面,z,=,x,2,将积分区域分为两部分(见图),1,2,.,第11页,1,2,在,xoz,面上投影区域,D,1,D,2,分别为:,D,1,:0,z,x,2,0,x,1;,D,2,:,x,2,z,x,2,+1,0,x,1.,x,o,z,关于,y,改变范围:,在,D,1,上:,0,y,1;,在,D,2,上:,所以,第12页,除了上面介绍先单后重法(,切条法,)外,利用先重后单法或称,截面法,也可将三重积分化成三次积分.,先重后单,就是先求关于某两个变量二重积分再求关于另一个变量定积分.,先重后单:,D,(,z,),x,y,z,o,c,1,c,2,设积分区域,介于两平行平面,z,=,c,1,z,=,c,2,(,c,1,c,2,)之间,用任一平行且介于此两平面平面去截,得区域,D,(,z,),c,1,z,c,2,.,则,第13页,易见,若二重积分轻易计算时,尤其是被积函数,f,(,x,y,z,)与,x,y,无关时,则二重积分结果就是,D,(,z,)面积,所以,用截面法较为方便.,即得三重积分值.,(4)最终计算单积分,(3)计算二重积分,函数,F,(,z,);,其结果为,z,截面法普通步骤:,(1)把积分区域,向某轴(比如,z,轴)投影,得投影区间,c,1,c,2,;,(2)对,z,c,1,c,2,用过,z,轴且平行,xoy,面平面去截,得截面,D,(,z,);,第14页,例,5:计算,解,:,易见,介于,z,=,c,和,z,=,c,之间,而,z,y,x,o,或,故,第15页,例,6:计算,解一,:,先重后单.,介于,z,=0,和,z,=1之间,D,(,z,):,x,2,+,y,2,z,.,解二,:,先单后重.将,投影到,xoy,面得投影区域:,D,xy,:,x,2,+,y,2,1.,平行于,z,轴直线穿过,下曲面为,z,=,x,2,+,y,2,上曲面为,z,=1,所以有,x,2,+,y,2,z,1.,(用极坐标,用对称性),所以,所以,第16页,此例介绍是一个计算三重积分方法,这种方法也含有一定普遍性,这就是我们将要介绍柱坐标系下计算法.,三、小结,三重积分定义;,在直角坐标系下体积元素:,dv,=,dxdydz,;,三重积分计算:,用切条法或截面法将三重积分化为三次积分.,第17页,思索题:,为六个平面,x,=0,x,=2,y,=1,x,+2,y,=4,z,=,x,z,=2围成区域,f,(,x,y,z,)在,上连续,则,累次积分_,(,D,),x,=0,x,=2,y,=1,x,+2,y,=4,第18页,四、在柱坐标系下计算法,设,M,(,x,y,z,)为空间内一点,并设点,M,在,xoy,面上投影,P,极坐标为,r,则这么三个数,r,z,就叫点,M,柱面坐标.,要求:0,r,+,0,2,z,+.,直角坐标与,柱面坐标变换公式:,三重积分,在柱坐标系和球坐标系下计算,第19页,z,x,0,y,z,M,r,S,z,r,=常数,圆 柱 面,z,=常数,垂直,z,轴平面,动点,M,(,r,z,),柱面坐标系坐标面,第20页,z,x,0,y,z,M,r,S,P,r,=常数,圆 柱 面,z,=常数,垂直,z,轴平面,动点,M,(,r,z,),柱面坐标系坐标面,=常数,过,z,轴半平面,第21页,x,z,y,0,dr,r,rd,d,z,平面,z,柱面坐标下体积元素,元素区域由六个坐标面围成:,半平面,及,+d,;,半径为,r,及,r+dr,圆柱面;,平面,z,及,z+dz,;,第22页,x,z,y,0,dr,r,rd,d,z,底面积:,r,dr,d,dz,平面,z,+,dz,.,柱面坐标下体积元素,元素区域由六个坐标面围成:,半平面,及,+d,;,半径为,r,及,r+dr,圆柱面;,平面,z,及,z+dz,;,第23页,x,z,y,0,dr,r,r,d,d,z,底面积,:,r,dr,d,dz,.,dv,柱面坐标下体积元素,元素区域由六个坐标面围成:,半平面,及,+d,;,半径为,r,及,r+dr,圆柱面;,平面,z,及,z+dz,;,所以:,dv,=,rdrd,dz,.,第24页,所以,然后再把它化为三次积分来计算.,积分次序普通是先,z,次,r,后,.,积分限是依据,z,r,在积分区域中改变范围来确定.,第25页,解,:,积分区域,为一圆锥面与平面,z,=1围成.,将积分区域,投影到,xoy,面得,D,xy,:,x,2,+,y,2,1.,例,1:计算三重积分:,圆锥面,柱面坐标方程为,z,=,r,.,则积分限为:0,2,0,r,1,r,z,1.,注:,若空间区域为以坐标轴为轴圆柱体,圆锥体或旋转体时,通常总是考虑使用柱坐标来计算.,所以,第26页,例,2:计算三重积分,面,z,=1,z,=2 和圆锥面,围成区域.,其中,是由平,解,:,确定变量,z,r,改变范围.,r,范围轻易定出:,0,2,0,r,2.,z,呢?,当,0,r,1时,1,z,2;,当,1,r,2时,r,z,2.,作图!,由图能够看出:,所以,第27页,五、在球坐标系下计算法,设,M,(,x,y,z,)为空间内一点,则点,M,可用三个有次序数,r,来确定,其中,r,为原点,O,与点,M,间距离,为有向线段,OM,与,z,轴正向夹角,为从,z,轴正向来看自,x,轴按逆时针方向转到有向线段,OP,夹角,这里,P,为点,M,在,xoy,面上投影,这么三个数,r,就叫做点,M,球面坐标.,x,=,OA,y,=,OB,z,=,OC,OM,=,r,.,=,OM,sin,cos,=,OM,sin,sin,=,OM,cos,=,OP,cos,=,OP,sin,所以,要求:0,r,0)所围立体.,解一,:,用球坐标.,平面,z,=,a,x,2,+,y,2,=,z,2,第33页,解二,:,用柱坐标.,x,2,+,y,2,=,z,2,z,=,r,所以,:,r,z,a,0,r,a,0,2,.,第34页,例4:,求曲面,x,2,+,y,2,+,z,2,2,a,2,与,立体体积.,所围成,解,:,由锥面和球面围成.,采取球面坐标.,由,x,2,+,y,2,+,z,2,=2,a,2,r,=,由三重积分性质知:所求立体体积,V,为:,第35页,注:,若积分区域为球体,球壳或其一部分被积函数呈,x,2,+,y,2,+,z,2,形式,而用球坐标后积分区域球坐标方程比较简单,通常采取球坐标,补充:利用对称性简化三重积分计算,使用对称性时应注意:,1.积分区域关于坐标面对称性;,2.被积函数在积分区域上关于三个坐标轴奇偶性.,普通地,当积分区域,关于,xoy,平面对称,且被积函数,f,(,x,y,z,)是关于,z,奇函数,即,f,(,x,y,z,)=,f,(,x,y,z,),则三重积分为零;若被积函数,f,(,x,y,z,)是关于,z,偶函数,即,f,(,x,y,z,)=,f,(,x,y,z,),则三重积分为,在,xoy,平面上方半个闭区域上三重积分两倍.,“,你,对称,我,奇偶,”.,第36页,六、小结:,三重积分换元法:,柱面坐标,球面坐标.,(1)柱面坐标体积元素:,dv,=,rdrd,dz,;,(2)球面坐标体积元素:,dv,=,r,2,sin,drd,d,;,(3)对称性简化运算.,思索题,:,若,为,R,3,中关于,xoz,面对称有界闭区域,f,(,x,y,z,)为,上连续函数,则,当,f,(,x,y,z,)关于,为奇函数时,当,f,(,x,y,z,)关于,为偶函数时,其中,1,为,在,xoz,面右侧部分.,y,y,第37页,