定积分发展史.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2017/11/15,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2017/11/15,#,第,3,章 积分,及其应用,导入课,天津机电职业技术学院,赵文雯,第1页,微积分,Calculus,微分,积分,第2页,积分,积分,不定积分,定积分,积分是,微积分学与数学分析里一个关键概念。通常分为,定积分,和,不定积分,两种,。,积分学,主要研究积分性质、计算及其在自然科学与技术科学中应用。积分学最基本概念是关于一元函数定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中基本思想是经过有限迫近无限。所以极限方法就成为建立积分学严格理论基本方法。,下面我们来一起探索积分由来,第3页,数学,历史最早可追述到与我们极其遥远社会发展早期。可能早于文字形成，数思想已在人们生活中逐步形成，即使经历了长久发展后，其体系分支庞大与应用广泛令世人惊叹，但至今为止却没有一个人能够为数学给出一个公认定义。,古埃及数字,第4页,微积分产生是数学上伟大创造，它从生产技术和理论科学需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺乏工具。,16,、,17,世纪，资本主义社会崛起，生产力大大解放，机器化生产逐步普及，促使科学急速发展。此时初等数学已不能满足社会需要，于是数学进入了变量数课时期。在这一时期中，即使出现了解析几何，概率论和射影几何等新分支，但几乎都被微积分过分强大光芒掩盖了。其发展之迅猛，内容之丰富，应用之广泛，使,人目不暇接,。,第5页,微积分学是微分学,和,积分,学,总称,。它,是一个数学思想，,无限细分,就是微分，,无限求和,就是积分,。,与微分学相比，积分学起源要早很多。其概念是由求一些面积,、体积和弧长引发,。,积分发展,公元前,5,世纪,准备阶段,创建阶段,完成阶段,发展阶段,第6页,一、准备阶段,积分学发展准备阶段主要包含,17,世纪,中叶以前定积分思想萌芽和先驱者们大量,探索、,积累工作,.,这个,时期伴随,古希腊,灿烂文化,发展,数学也开始散发出它不可抵挡,魅力,.,积分学发展史准备阶段大致,分为三个,时期,第7页,1,、第一个阶段,早期,古希腊数学并不是单独一个,分支,而是与,天文、,哲学密不可分,其研究对象以,几何学,为主,.,安提丰,提出用“穷竭法”去处理,化圆为方问题,是近代极限理论雏形,.,公元前,5,世纪,以德谟,克利,特为代表“原子论”,学派,用原子论观点解释,数学,他,认为,:,线段、,面积和立体都是由一些不可再,分,原子组成,而计算,面积、,体积就是将这些“原子”累加,起来,这种不甚严格推理方法已带有古朴,积分思想,.,然后,他利用“原子论”求出了圆锥,体积,即,:,圆锥体积等于含有同底同高圆柱体积,三分之一,.,第8页,2,、第二个阶段,其中,在,公元前,3,世纪,数学家兼物理学家阿基米德将穷竭法与原子论,观点,结合,起来,取得了许多主要,结果,比如他在,抛物线图形求积法,和,论螺线,中,利用穷竭,法,借助于,几何直观,求出了,抛物线弓形面积,及,阿基米德螺线,第一周围成区域,面积,其思想方法是分割,求和,逐次迫近,.,即使,当初还没有极限,概念,不认可,无限,但他求积方法已含有了定积分思想,萌芽,.,古希腊数学逐步脱离哲学和,天文学,成为独立,科学,出现了三大,数学家,:,欧几里德 阿基米德 阿波罗尼奥斯,第9页,抛物线弓形面积,返回,第10页,阿基米德螺线,阿基米德螺线,（亦称等速螺线），得名于公元前三世纪希腊数学家阿基米德。阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点同时又以固定角速度绕该固定点转动而产生轨迹。阿基米德在其著作,螺旋线,中对此作了描述。,返回,第11页,3,、第三个阶段,公元,5 14,世纪,被认为是欧洲“黑暗时期”,这个时期数学发展较为,迟缓,.,直到,14,世纪末,欧洲,资本主义,萌芽,人们才继续了数学方面,研究,.,整个,16,世纪,积分思想一直围绕着“求积问题”,发展,它,包含两个,方面,:,一个是求平面图形面积和由曲面包围,体积,一个是静力学中计算物体重心和,液体压力,.,德国天文学家、,数学家开普勒在他,名著,测量酒,桶体积新科学,一,书,中,认为给定,几何图形都是,由,无穷多个同维数无穷小图形,组成,用,某种特定方法把这些小图形面积或体积相加就,能得到,所求面积或,体积,他是第一个在求积中利用无穷小方法,数学家,.,17,世纪中叶,法国数学家费马、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小性质观点求积,愈加靠近当代求定积分方法,.,可见,利用“分割求和”及无穷小方法,已被当初数学家普遍采取,.,第12页,测量酒桶体积新科学,开普勒注意到，酒,商用来求酒桶体积方法不准确，于是他专心钻研酒桶体积问题，并于,1615,年出了一本叫做,测量酒桶体积新科学,。,这里,，我们需要指出是，,在阿基米德方法,中，图形被分解为元素个数是取成有限个数，并有有限宽度或厚度。,在开普勒,方法中，图形分解为元素个数被看成是无限，但元素不是完全没有宽度或厚度。他说到了所谓“纤细小圈”或“宽度极小如线部分”等等,。,开普勒把,图形分解为由无限多个元素所组成，并认为一个无穷小元素经过连续改变可得到另一个新图形。如圆能够看成是无数个三角形（每个三角形顶点在圆心，底在圆周上）和，而这些无穷小三角形经过连续改变便可得到圆。所以,在开普勒,思想中，这,无限多个微小元素组合,便和原来图形没有任何区分。这种意义不明确“连续性原理”组成,了开普勒方法,基本思想支柱,。,开普勒还在,测量酒桶体积新科学,标题,为“对,阿基米德,补充”部分标出了,87,种这么旋转体体积。,返回,第13页,测量酒桶体积新科学,把,圆面积看成是无限多个顶点在圆心、底在圆上等腰三角形面积之和，这么一来，显然圆面积等于圆周长与半径乘积之,半。,把球体积看成是顶点在球心、底面在球面上无穷多个小锥体体积之和,用无数个同维无限小元素之和来确定曲边型面积和旋转体体积,返回,第14页,4,、中国,古代极限思想,作为微积分,基础,：,极限理论,，古代中国是毫不逊色于西方。极限思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学都不能比拟。,早,在公元前,7,世纪，在我国庄周所著,庄子,一书“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。公元前,4,世纪,墨经,中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）定义和极限、瞬时等概念,。,三国时期刘徽在数学方面,主要,贡献是,对,九,章,算术,进行,注释。在研究,九章算术,时，,刘徽在割圆术中提到“,割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。,”并指出,圆面积公式中圆周与直径之比应是,“至然之数”,而不是本书中所采取周三径一圆周率。为此，刘徽创建了求圆周率方法,“,割圆术”，即以边数不停增加圆内接正多边形面积来通近圆面积,。,第15页,4,、中国,古代极限思想,祖,冲之之子祖暅在研究体积问题时，总结出“缘幂势既同，则积不容异”，其中“幂”指面积，“势”了解为高度。这就是著名“祖暅原理”，即“两个物体在等高处截面积若相等，那么这两个物体体积必相等”。由此，祖暅给出了计算球体积正确,公式,南宋大数学家秦九韶于,1274,年撰写了划时代巨著,数书九章,十八卷，创举世闻名“大衍求一术”,增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早,500,多年。北宋大科学家沈括,梦溪笔谈,独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和研究。,第16页,4,、中国古代极限思想,尤其是,13,世纪,40,年代到,14,世纪初，各主要（数学）领域都到达了中国古代数学高峰，出现了现通称贾宪三角形“开方作法根源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程普通解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有主要地位出色结果，中国古代数学有着微积分前两阶段出众工作，其中许多都是微积分得以创建关键,。,中国已具备了,17,世纪创造微积分前夕全部内在条件，已经靠近了微积分大门。可惜中国元朝以后，八股取士制度造成了学术上大倒退，封建统治文化专制和盲目排外致使包含数学在内科学水平日渐衰落，在微积分创建最关键一步落伍了。,第17页,二,、创建阶段,17,世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，因为生产力提升和社会各方面迫切需要，经各国科学家努力与历史积累，建立在函数与极限概念基础上微积分理论应运而生了,。而在以前,，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究。,第18页,1,、,奠定,基础,：,笛,卡尔,解析几何,笛,卡尔,1637,年发表了,科学中正确利用理性和追求真理方法论,（简称,方法论,），从而确立了解析几何，表明了几何问题不但能够归结成为代数形式，而且能够经过代数变换来发觉几何性质，证实几何性质。他不但用坐标表示点位置，而且把点坐标利用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不但可表示已知数与未知数之间关系，表示变量与变量之间关系，还能够表示曲线，于是,方程与曲线之间建立起对应关系,。另外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度量之间不可相加减束缚。于是几何图形各种量之间能够化为代数量之间关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这么把相互对立,“数”与“形”,统一起来，从而实现了数学史一次飞跃，而且更主要是它为微积分成熟提供了必要条件，从而开拓了变量数学辽阔空间,。,第19页,2,、牛顿“流数术”,牛顿从,1664,年,开始研究,微积分,主要贡献反应,在,1671,年、,1676,年,发表,流数术与无穷级数,、,曲线求积术,两篇论文,和,1687,年,自然哲学之数学原理,中,.,早期,微积分常称为“无穷小分析”,其原因,在于微积分建立在无穷小概念,之上,.,在此基础,上,牛顿提出,了反问题，即反,微分，并讨论,了怎样借助反微分来计算,面积，给,出,了该方法,依据,使得,计算趋于,普通化、系统化。,牛顿,第一次清楚地说明了求导数问题和求面积问题之间互逆,关系,这就是说,牛顿确定积分,实际上,是,不定积分,.,第20页,右侧是,牛顿手稿，能够让我们看看微积分青涩,模样,一,门学科草创之初，其实是非常混乱,。实际上,微积分还要过两三百明年才能变得靠近现在模样，愈加通俗易懂。,第21页,3,、莱布尼茨,莱布尼兹从,1673,年,开始研究微积分,问题,他,在,数学笔记,中,指出,:,求曲线切线依赖于纵坐标,与 横坐标,差值之,比,(,当,这些差值变成无穷小时,);,求积,依赖于在横坐标无限小区间上纵坐标之和或无限小矩形之,和,而且,莱布尼兹开始认识到了求和与求差运算可逆性,，指出了,:,作为求和过程积分是微分之,逆,实际上也就是,今天,定积分,。,莱布尼茨,创造,微积分符号,，,正像阿拉伯数,字,促进,了算术与代数发展一样，促进了微积分学发展。莱布尼茨是数学史上最出色符号创造者之一,。,牛顿,当初采取微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采取符号现今仍在使用。,好符号能大大节约思维劳动，利用符号技巧是数学成功关键之一。,第22页,4,、推广,牛顿,和莱布尼兹创造了微积分基本,方法,不过,他们,留下了大量事情要后人去,处理,首先,是,微积分,主要内容,扩展,其次,是微积分还缺乏逻辑基础,.,18,世纪,伯努利、欧拉、拉格朗日、克雷尔、达朗贝尔、,马克劳林等,数学家,伴随,对函数和极限研究,深入,把,定积分概念推广到,二重积分、三重积分,也,对微积分基础作了深刻,研究,而且,无穷,级数、微分方程、,变分法等微积分分支学科也,初具规模,但,微积分逻辑基础问题还没有得到圆满,处理,.,第23页,三、完成阶段,19,世纪,前,20,年,微积分,逻辑基础,依然不够完善,如,普通函数概念还未,建立,微积分,许多基本概念,如无穷小、无穷大、导数、微分、,积分仍无准确定义,等,.,从,19,世纪,20,年代至,19,世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家努力,微积分理论基础基本完成。,第24页,首,个用极限思想真正处理导数与积分问题科学家,波尔查诺，他经过极限给出,了积分定义,指出“”不能了解为一个和,式，而是一个和式极限值。所以他,认为，人们在应用定积分之前,必须首先,确定积分,存在性,，即在积分定义下这个极限值存在性。,然而波尔查诺依然,没有清楚地将极限本质展现出来，依然没有将,极限基本概念,解释清楚。,波尔查诺,第25页,直到,19,世纪，法国科学家柯西结合前辈思想深入较完整地阐述了极限概念，对变量，极限，连续，收敛等给出了,明确定义,，微积分长久纠缠在基础问题上局面终于被打破，为微分学和积分学提供了严谨理论基础，形成了以极限论为关键函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨数学分析学。,柯西,另外，柯西,给出,了,原函数,准确定义，证实了在一些条件成立时，函数原函数存在性，指出一个确定函数原函数,彼此只相差,一个常数,在此基础上给出了原函数详细表示式，并由此,推导出,牛顿,莱布尼兹公式。,第26页,四、发展阶段,然而，柯西积分理论是对于闭区间上连续函数来定义，若闭区间上,含有没有限多不连续点，柯西积分就不适用,了。狄利克雷、,黎曼,等针对柯西方,法对积分不足之,处，开始考虑重建,积分,定义,第27页,狄利克雷,提出能够用一个新包容性更强积分理论来,处理在闭区间,上含有没有限多不连续,点函数，,这种理论同“无穷小量分析基本原理”相关。他从来没有在这个方面提出过什么思想,，也,从来没有指出过怎样对高度不连续函数积分。不过，他给出了一个说明这种情况存在例子，显示,了柯,西方,法,不足之,处。这也就是,著名狄利克雷,函数：,1,、黎曼积分,第28页,狄利克雷,优异学生,黎曼,试图,找到不需要预先假设函数必须怎样连续就定义积分路径。使,可积性同连续性分离,是一个大胆、极有创见思想,。,黎曼,在,1854,年为取得德国大学教授职位而写“大学执教资格讲演”这篇高水平学术论文中，提出了黎曼积分。,而现在在任何微积分学教程中，它都占据着突出地位,。,这个,定义没有对连续性作任何假设。与柯西不一样，对黎曼来说，连续性并不成为一个问题。,1,、黎曼积分,第29页,有界函数,黎曼积分从把定义域分为细小子区间一个划分开始，在这些子区间上构建矩形，它们高由函数值确定，最终令最大子区间宽度收缩为零。相反，替换,勒贝格积分,乃是基于一个简单而富有想象力思想：采取函数值域划分代替定义域,划分。,2,、勒贝格积分,第30页,勒,贝格在为普通读者编写一本书中，用一个比喻来对比黎曼方法与他自己方法。他想象一位零售商，在一天终止时想要汇总营业收入。对于这位店主来说，一个选择是“按照随机次序计算到手现金和账单”。勒贝格把这么一位零售商称为“缺乏系统观点”人，他依次累加搜集起来款项：,1,美元，,10,美分，,25,美分，另,1,美元，,10,美分如此等等,。,勒,贝格接着指出，假如不这么做，店主在结账时不考虑收到每笔款项，而代之以按款项面值分组，莫非不是更为可取吗？比如，可能共计收到,10,美分,12,笔，,25,美分,30,笔，,1,美元,50,笔，等等。这么，计算一天收入将变得很简单：用每种币值,数量乘,以,币值，然而,对结果求和,。,勒,贝格认可，对于商业经营中包括有限量，这两种方法产生一样结果。“不过对于我们必须求数目无限极微小量之和而言，”他写道，“这两种方法之间存在着巨大,差异,。”,2,、勒贝格积分,勒贝格可积函数远多于黎曼可积函数！,第31页,从,数学发展过程能够,知道,人们首先研究是,定积,分,生活中,面积,和体积问题使,人们对,定积分产生,关注,进而去建立和完善它,概念、,寻找它求,法,产生,牛顿,-,莱布尼兹公式,.,然而,为了便于更加好,地计算,定积分,高等数学从不定积分入手讲述,原函数各种,解,法,然后再经过,牛顿,-,莱布尼兹,公式计算,定积分,最终介绍定积分各种,应用,.,这么,教材就把一个复杂问题简化为三个简单,问题,.,在学习,时,每一个问题搞懂了,积分理论也就学会了,.,第32页,1826,年，黎曼作为家中,第二个孩子在,德国汉诺威布雷斯伦茨村出生了。他父亲是村里牧师，母亲是法官女儿，按理来说会有点小钱，但他家庭生活却十分困难,。,即使,家里穷，不过黎曼父亲并没有放弃孩子们教育。而黎曼从小就表现出很强学习欲望，深受父母喜爱。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,这位过劳死天才数学家，一生只发表了,10,篇论文，钻研了,15,年数学，却名震天下,第33页,正,因如此，,5,岁时黎曼就对历史产生兴趣，十分嫉恶如仇，经常要求他父亲重复讲述波兰故事。一年后，黎曼开始学算术，很快就显露出他天生数学才能：他不但处理了全部留给他问题，还会出一些更难题来捉弄他弟兄姐妹,。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,10,岁时，他曾跟着一位职业教师学习更高级算术和几何，结果很快就超越了老师；,14,岁时，黎曼到汉诺威与祖母住在一起，进入当地文科中学学习；两年后，他祖母逝世，黎曼又转到吕耐博格预科中学一直学习到,19,岁。,第34页,即使,黎曼一直按照父亲意思学习神学和哲学方面知识，不过他在中课时就迷上了数学，而且还能轻松了解对于当初他来说比较高深数学知识。,1846,年，黎曼成为了哥廷根大学学生，为了能尽快得到一个有酬劳工作，方便在经济上支援家庭，他选择了研读哲学和神学。然而，他心思依然扑在数学上，为了兼顾两边而废寝忘食着，他父亲不忍心看他学得那么辛劳，最终让他转到数学专业,。,得到,家人肯首黎曼甚是高兴，但很快就发觉他高兴得太早了。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,第35页,当初,德国大多数大学教授只在课堂上讲授一些基础科目，极少给学生进行辅导勉励，而学生则完全没有机会向老师请教问题，甚至不知道他们是怎样思索问题。哪怕高斯是哥延根大学讲座教授也是如此。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,面对,如此尴尬情况，生性害怕黎曼却为了数学研究而大胆行动。,1847,年，他跑到了柏林大学求学，并碰到了两位对他人生有极大影响数学家：雅克比和狄利克雷，在他们得指导下，他不但收获了很多数学知识，还学到了一个人怎样坚持“自信”。,第36页,两年后,，学有所成黎曼回到了哥延根，并开始准备他博士论文。,1851,年,11,月，在高斯指导下，他终于完成了论文,复变函数论普通理论基础,，文中证实了复变函数可导必要充分条件，即现在柯西黎曼方程，还奠定了函数几何理论基础。,实际上,，高斯对这篇论文评价很高，他说：“黎曼先生交来论文提供了令人信服证据，证实作者含有创造性、活跃、真正数学头脑，以及含有灿烂丰富想象力。”而且表示他这么多年以来都想写一篇像这么文章。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,第37页,黎曼,成功毕业了，但还是个困难户。为了谋生，他希望能成为讲师，而想要成为讲师，不但要提交论文，还得给学院教授做一个资格演讲。于是在,1853,年，黎曼提交了一份求职论文,。,论文,中推广了确保博里叶展开式成立狄利克莱条件，即关于三角级数收敛黎曼条件，研究出三角级数收敛准则，并定义了黎曼积分，对完善分析理论产生深远影响,。,当初,资格演讲是有一套固定模式和传统，申请者须向系主任提交三个演讲题目，但通常只准备前两个题目。作为选题目标系主任会为了不为难申请者，普通只选前两个题目中一个。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,第38页,如此,看来，黎曼其实能够轻易就经过演讲，只是他遗忘了一点，那就是当初系主任是高斯，而高斯压根不知道这个规矩，然后黎曼悲剧了。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,黎曼,准备了他很熟悉两个主题，但照例他提交了三个题目，而作为陪衬最终一个题目正是：“论作为几何基础假设”。结果高斯一看到第三个题目如此充满挑战性，就毫不犹豫地选了这道题,。,出乎意料,选择让黎曼有点惊慌失措，但他还是乖乖地做好准备，并进行演讲。演讲当日，因为不习惯在公共场所进行演讲黎曼一开始结结巴巴，但进入状态后，他讲起了经常思索课题,另类几何。,第39页,整个,过程中，他尤其指出了日常生活中不适用欧几里得规则例子，比如球面。在球面上全部经线都与赤道相交呈,90,，所以这些经线会彼此平行，却在极点相交。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,就,这么，一个小时,论作为几何基础假设,演讲成为了数学史上发表内容最丰富长篇论文，而且在表述方面也堪称典范，勾勒出一个截然不一样几何世界（超越了欧几里得几何世界）。,这,次演讲不但发扬了高斯关于曲面微分几何研究，建立了黎曼空间概念，还开创了黎曼几何，为爱因斯坦广义相对论提供了数学基础。所以高斯兴奋不已，顺利让黎曼取得了讲师职位。,第40页,即使,黎曼成为了讲师，但还是很穷，毕竟当初讲师薪资靠听课学生数量来决定。日子过得很苦，不过黎曼坚持一边讲课一边研究数学煎熬着，直到,1859,年接替逝世狄利克雷成为教授，生活才得到改进。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,1857,年，黎曼发表了关于阿贝尔函数论文，文中引出黎曼曲面概念，并从拓扑、分析等角度深入研究，说明了黎曼,-,罗赫定理，使得阿贝尔积分与阿贝尔函数理论进入了新转折点和创造了对代数拓扑发展影响深远多个概念。,第41页,1859,年,8,月，他被选为柏林科学院通讯院士，为了表示自己感激之情，他决定将研究素数分布而写论文,论小于已知数素数个数,献给柏林科学院。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,在,这篇论文中，黎曼给出了黎曼函数积分表示与它满足函数方程，并提出多个,断言。不过,，尴尬是这篇论文仅仅只有,8,页，里面内容极为精炼，该有性质证实都没有，搞得很多数学家直接被气炸了，只好一点一点证实他论文中提出断言，直至今天，还差黎曼猜测没有得到处理。,第42页,其实,，黎曼即使发表论文不多，也就,11,篇（还是包含博士论文），不过他除了黎曼几何、复变函数论、解析理论、微积分理论等方面有着极为主要贡献外，还对数学物理、微分方程等方面有所研究，如热学，电磁非超距作用和激波理论等。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,即使,硕果累累，不过实际上黎曼创造在当初并未能得到数学界一致公认。,首先,因为他思想过于深邃，当初很多数学家都无法了解,，另首先,他部分工作不严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼,-,罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理。,第43页,黎曼,不但事业有成，爱情也开花结果。,1862,年，,36,岁黎曼终于与仰慕已久妹妹盆友爱丽丝,科赫结婚了。可惜婚后不到一个月，因为之前长久清贫生活、过分操劳，黎曼得了肋膜炎，还没痊愈又患上了肺结核。,疾病缠身他,只好到意大利温和气候中休养，度过当年冬天。第二年春天，他病情好多了，于是便充满希望地踏上回德国旅途。,5,月份，黎曼回到了比萨，也就在这里，他女儿伊达出生了，而他自己病却没有得到控制，越发严重了。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,第44页,即便,痛病在身，黎曼对数学热爱并没有褪去，只要以为身体扛得住，他就继续进行研究,工作，而每,一次科学研究，都是心神,消耗。,1865,年,，在,意识到自己健康问题越来越严重后，黎曼选择回到了意大利，住在大湖畔谢拉斯卡别墅中调养身体。,但,这一次并没有让黎曼得以健康复出，,1866,年,7,月,20,日，黎曼因病无法治愈告别了人间，那一年黎曼只有,39,岁（数学界新星就这么陨落了）。,轻松,一下：波恩哈德,黎曼,第45页,积分,发展是漫长而迟缓，而积分发展动力源自实际应用中需求，经过,前人,不懈努力，使得积分体系得以完善，并利用积分能够处理更多实际问题,。积分,概念中包含着用离散,过程迫近连续，以直代曲，局部线性化,等思想。能够说积分概念建立，不但,是数学史上，而且是科学思想史上主要创举。,第46页,谢谢大家,第47页,