大学数学高数微积分线性空间课堂讲义.pptx

主要内容 子空间的交子空间的交第六节 子空间的交与和子空间的和子空间的和子空间的交与和的性质子空间的交与和的性质例题例题子空间的交与和的维数子空间的交与和的维数一、子空间的交1.定义定义15 设设 V V1 1,V V2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间间,称称 V V1 1 V V2 2=|V V1 1 且且 V V2 2 为为 V V1 1,V V2 2 的的交.2.性质定理 6 如果如果V V1 1,V V2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间间,那么它们的交那么它们的交V V1 1 V V2 2 也是也是 V V 的子空间的子空间.证明首先，由 0 V1，0 V2，可知 0 V1 V2 ，因而 V1 V2 是非空的.其次，如果,V1 V2,即 ,V1，而且,V2，+V1，+V2，对数量乘积可以同样地证明.所以V1 V2 是 V 的子空间.证毕那么因此 +V1 V2.3.子空间的交的运算规律1)1)交换律交换律 V1 V2 =V2 V1；2)2)结合律结合律 (V1V2)V3 =V1(V2 V3).由结合律，我们可以定义多个子空间的交：它也是子空间.二、子空间的和1.定义定义 16 设设 V V1 1,V V2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间间,所谓所谓 V V1 1 与与 V V2 2 的的和，是指由所有能表示成，是指由所有能表示成 1 1+2 2，而而 1 1 V V1 1 ，2 2 V V2 2 的向量组成的子集合，记的向量组成的子集合，记作作 V V1 1+V V2 2 ，即，即V V1 1+V V2 2=|=1 1+2 2,1 1 V V1 1,2 2 V V2 2 2.性质定理 7 如果如果V V1 1,V V2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间，那么它们的和间，那么它们的和 V V1 1+V V2 2 也是也是 V V 的子空间的子空间.证明首先，V1+V2 显然是非空的.其次如果 ,V1+V2,即=1+2,1 V1,2 V2,=1+2,1 V1,2 V2,那么+=(1+1)+(2+2).又因为 V1,V2 是子空间，故有1+1 V1，2+2 V2.因此 +V1+V2.同样，k=k1+k2 V1+V2.所以，V1+V2 是 V 的子空间.证毕3.子空间的和的运算规律1)1)交换律交换律 V1+V2 =V2+V1；2)2)结合律结合律 (V1+V2)+V3 =V1+(V2+V3).由结合律，我们可以定义多个子空间的和：的向量组的子空间.它是由所有表示成1+2+s ,i Vi(i=1,2,s)三、子空间的交与和的性质性质 1 设设 V V1 1,V V2 2,WW 都都是子空间，那么由是子空间，那么由WW V V1 1 与与 WW V V2 2 可推出可推出WW V V1 1 V V2 2 ；而由而由W W V V1 1 与与 WW V V2 2可推出可推出 W W V V1 1+V V2 2.性质 2 对于子空间对于子空间 V V1 1,V V2 2,以下三个论断是以下三个论断是等价的：等价的：1)1)V V1 1 V V2 2 ；2)2)V V1 1 V V2 2=V V1 1 ；3)3)V V1 1+V V2 2=V V2 2.四、例题例 1 设 V1=L(1,2),V2=L(1,3)是 R3两个不同的 2 维子空间，求 V1 V2 和 V1+V2，并指它们的几何意义.解因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以1,2,3 线性无关，从而 V1=V2 与题设矛盾.于是由子空间的交与和的定义可得V1 V2=L(1)，V1+V2=L(1,2,3)=R3.否则 3 可由 1,2 线性表示其几何意义是：V1=L(1,2)是向量 1,2 所确定的平面，的平面，是整个 3 维空间.如图 6-6 所示.V2=L(1,3)是向量 1,3 所确定V1 V2 是这两个平面的交线，V1+V2例 2 设 V1,V2 分别是 R3 过原点的直线和平面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，求 V1 V2 和 V1+V2，并指它们的几何意义.解由定义容易求得V1 V2=0，V1+V2=L(1,2,3)=R3.其几何意义如图 6-7 所示例 3 设 V1,V2 分别是 P 3 中齐次方程组的解空间，那么 V1 V2 就是齐次方程组的解空间.例 4 在一个线性空间 V 中，有L(1,2,s)+L(1,2,t)=L(1,s,1,t)五、子空间的交与和的维数关于子空间的交与和的维数，有以下定理.定理 8 (维数公式)如果如果 V V1 1,V V2 2 是线性空是线性空间间 V V 的两个子空间，那么的两个子空间，那么维维(V V1 1)+)+维维(V V2 2)=)=维维(V V1 1+V V2 2)+)+维维(V V1 1 V V2 2).).证明设 V1,V2 的维数分别是 s,t,V1V2 的维数是 m.取 V1V2 的一组基1,2,m .如果 m=0，这个基是空集，下面的讨论中1,2,m 不出现，但讨论同样能进行.由它可以扩充成 V1 的一组基1,2,m ,1,s-m ,也可以扩充成 V2 的一组基1,2,m ,1,t-m .我们来证明，向量组1,2,m ,1,s-m ,1,t-m 是 V1+V2 的一组基.这样，V1+V2 的维数就等于s+t-m,因而维数公式成立.因为V1=L(1,2,m ,1,s-m),V2=L(1,2,m ,1,t-m).所以V1+V2=L(1,m ,1,s-m ,1,t-m).现在来证明向量组1,2,m ,1,s-m ,1,t-m 是线性无关的.假设有等式k11+k22+kmm+p11+p22+ps-m s-m+q11+q22+qt-m t-m =0.令=k11+kmm+p11+ps-m s-m=-q11-q22-qt-m t-m .=k11+kmm+p11+ps-m s-m由 =-q11-q22-qt-m t-m 由可知，V1；可知，V2.于是 V1V2，即 可以被 1,2,m 线性表示.令 =l11+lmm ,则l11+lmm+q11+qt-m t-m =0.由于 1,m ,1,t-m 线性无关，所以l1=lm=q1=qt-m=0,因而 =0.从而有k11+kmm+p11+ps-m s-m =0.由于 1,m ,1,s-m 线性无关，又得k1=km=p1=ps-m=0.这就证明了1,2,m ,1,s-m ,1,t-m 线性无关，式成立.证毕因而它是 V1+V2 的一组基，故维数公从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于 4.由此说明这两张平面的交是一维的直线.推论 如果如果 n n 维线性空间维线性空间 V V 中两个子空间中两个子空间 V V1 1,V V2 2 的维数之和大于的维数之和大于 n n,那么那么 V V1 1,V V2 2 必含有非零的公必含有非零的公共向量共向量.证明由假设维(V1+V2)+维(V1V2)=维(V1)+维(V2)n.但因 V1+V2 是 V 的子空间而有维(V1+V2)n,所以维(V1V2)0.这就是说，V1V2 中含有非零向量.证毕例 5 设 V=P 4，V1=L(1,2,3)，V2=L(1,2)，其中求V1,V2,V1V2,V1+V2 的维数与基.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.