理论力学CAI数学基础.pptx

2024年4月25日理论力学CAI 数学基础1前言前言矩阵矩阵矢量矢量方向余弦阵方向余弦阵平面矢量平面矢量数学基础数学基础2024年4月25日理论力学CAI 数学基础2前言前言理论力学中的许多概念与表达式涉及到几何理论力学中的许多概念与表达式涉及到几何矢量及其运算矢量及其运算矢量的代数描述及其运算以矩阵为工具矢量的代数描述及其运算以矩阵为工具对复杂的问题优于矢量几何及其运算对复杂的问题优于矢量几何及其运算理论力学中必须区分矢量与矩阵的概念。理论力学中必须区分矢量与矩阵的概念。在许多科技著作中并不区分这两种数学量在许多科技著作中并不区分这两种数学量本章简要介绍本书将要涉及到的有关内容，本章简要介绍本书将要涉及到的有关内容，并统一符号并统一符号前言2024年4月25日理论力学CAI 数学基础3矩阵矩阵矩阵的定义与运算矩阵的定义与运算 矩阵的导数矩阵的导数 矩阵2024年4月25日理论力学CAI 数学基础4矩阵的定义与运算矩阵的定义与运算矩阵的定义矩阵的定义常见的矩阵运算常见的矩阵运算方阵方阵列阵列阵 矩阵/定义与运算2024年4月25日理论力学CAI 数学基础5矩阵的定义矩阵的定义将将 mn 个标量个标量 Aij 排列成排列成 m 行，行，n 列的表，列的表，定义为定义为 mn 阶阶(维维)矩阵矩阵矩阵/定义与运算/定义用一黑斜体的大写字母来表示用一黑斜体的大写字母来表示无法区分黑白时可加下横线无法区分黑白时可加下横线2024年4月25日理论力学CAI 数学基础6矩阵/定义与运算/定义矩阵矩阵A的的转置矩阵转置矩阵，记为，记为AT例例2024年4月25日理论力学CAI 数学基础7常见的矩阵运算常见的矩阵运算矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵相等同阶矩阵相等矩阵与标量乘矩阵与标量乘同阶矩阵求和同阶矩阵求和矩阵乘矩阵乘2024年4月25日理论力学CAI 数学基础8矩阵/定义与运算/常见的运算同阶同阶矩阵相等矩阵相等Aij=Bij(i=1,m;j=1,n)？例例元素间的关系元素间的关系2024年4月25日理论力学CAI 数学基础9矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵与标量乘矩阵与标量乘交换律交换律例例(i=1,m;j=1,n)元素间的关系元素间的关系2024年4月25日理论力学CAI 数学基础10矩阵/定义与运算/常见的运算同阶同阶矩阵求和矩阵求和结合律结合律转置运算转置运算交换律交换律例例(i=1,m;j=1,n)元素间的关系元素间的关系2024年4月25日理论力学CAI 数学基础11矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵乘矩阵乘(i=1,m;j=1,n)例例元素间的关系元素间的关系2024年4月25日理论力学CAI 数学基础12矩阵/定义与运算/常见的运算(i=1,m;j=1,n)例例？2024年4月25日理论力学CAI 数学基础13矩阵/定义与运算/常见的运算例例(i=1,m;j=1,n)2024年4月25日理论力学CAI 数学基础14矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵乘运算律矩阵乘运算律 结合律结合律转置运算转置运算分配律分配律求积求积无无交换律交换律2024年4月25日理论力学CAI 数学基础15矩阵/方阵方阵方阵：m=n 对角阵对角阵方阵的迹方阵的迹 方阵方阵2024年4月25日理论力学CAI 数学基础16矩阵/方阵例例单位阵单位阵 2024年4月25日理论力学CAI 数学基础17矩阵/方阵对称阵：对称阵：Aij=Aji (i,j=1,n)例例 反对称阵：反对称阵：Aij=-Aji (i,j=1,n)Aii=0 (i=1,n)对称阵对称阵反对称阵反对称阵2024年4月25日理论力学CAI 数学基础18矩阵/方阵非奇异阵与逆矩阵非奇异阵与逆矩阵对于方阵对于方阵A，存在同阶方阵存在同阶方阵B，有有称称A为非奇异阵为非奇异阵；B为为A的逆矩阵的逆矩阵，记，记转置与逆运算转置与逆运算2024年4月25日理论力学CAI 数学基础19矩阵/方阵正交阵正交阵对于正交阵有对于正交阵有满足如下等式的非奇异阵满足如下等式的非奇异阵 A 称为称为正交阵正交阵例例A A与与与与B B互为正交阵互为正交阵互为正交阵互为正交阵+互为逆阵互为逆阵互为转置阵互为转置阵2024年4月25日理论力学CAI 数学基础20矩阵/列阵列阵：只有一列（列阵：只有一列（m个元素）的矩阵个元素）的矩阵为为 m 1阶矩阵阶矩阵称为称为 m 阶列阵阶列阵m 阶列阵阶列阵 a 的转置的转置aT 为为 1m 阶矩阵称为阶矩阵称为 m 阶行阵阶行阵用一黑斜体的小写字母来用一黑斜体的小写字母来表示表示 无法区分黑白时可加下横线无法区分黑白时可加下横线列阵列阵2024年4月25日理论力学CAI 数学基础21矩阵/列阵矩阵的列阵分块表达矩阵的列阵分块表达定义列阵定义列阵(j=1,n)2024年4月25日理论力学CAI 数学基础22矩阵/列阵/列阵分块表达例例定义列阵定义列阵(j=1,n)2024年4月25日理论力学CAI 数学基础23矩阵/列阵矩阵的行阵分块表达矩阵的行阵分块表达定义列阵的转置定义列阵的转置(i=1,m)(i=1,m)2024年4月25日理论力学CAI 数学基础24矩阵/列阵/行阵分块表达例例定义列阵定义列阵(i=1,m)2024年4月25日理论力学CAI 数学基础25矩阵的导数矩阵的导数矩阵对时间的导数矩阵对时间的导数矩阵对变量的导数矩阵对变量的导数 矩阵/导数2024年4月25日理论力学CAI 数学基础26矩阵对时间的导数矩阵对时间的导数元素为时间元素为时间 t 的函数，记为的函数，记为Aij(t)，该矩阵记该矩阵记为为A(t)矩阵/导数/对时间的导数矩阵对时间导数的定义矩阵对时间导数的定义矩阵对时间的导数为矩阵对时间的导数为一一同阶同阶矩阵矩阵其各元素为原矩阵的元素其各元素为原矩阵的元素Aij(t)对时间的导数对时间的导数2024年4月25日理论力学CAI 数学基础27矩阵对时间导数的运算矩阵对时间导数的运算矩阵/导数/对时间的导数2024年4月25日理论力学CAI 数学基础28例例已知已知矩阵/导数/对时间的导数验证验证2024年4月25日理论力学CAI 数学基础29例已知例已知矩阵/导数/对时间的导数验证验证2024年4月25日理论力学CAI 数学基础30矩阵对变量的导数矩阵对变量的导数标量函数对变量的偏导数标量函数对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数 矩阵/导数/对变量的的偏导数2024年4月25日理论力学CAI 数学基础31标量函数对变量的偏导数标量函数对变量的偏导数多变量的标量函数多变量的标量函数(多元函数多元函数)矩阵/导数/对变量的偏导数对于一组（对于一组（n个）变量，个）变量，通常引入一通常引入一 n 阶列矩阵表示这组变量，即阶列矩阵表示这组变量，即如果有一个标量如果有一个标量a，它是这组变量的函数它是这组变量的函数(n元函数元函数)，记为，记为例对于二元函数 引入二阶变量阵 标量函数a可表为2024年4月25日理论力学CAI 数学基础32标量函数对变量的偏导数标量函数对变量的偏导数多变量函数多变量函数 a 对对n 阶变量阵阶变量阵q 的偏导数为一的偏导数为一 n 阶阶行阵行阵其元素分别为该标量函数对各自变量其元素分别为该标量函数对各自变量 qj 的偏导数的偏导数矩阵/导数/对变量的偏导数例对于二阶变量阵 的标量函数2024年4月25日理论力学CAI 数学基础33标量函数阵对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数多变量的标量函数阵多变量的标量函数阵矩阵/导数/对变量的偏导数对于有对于有n个变量，个变量，通常引入一通常引入一 n 阶列矩阵表示这组变量，即阶列矩阵表示这组变量，即如果有一个如果有一个m 阶标量函数列阵阶标量函数列阵它的元素是上述变量的函数，记为它的元素是上述变量的函数，记为2024年4月25日理论力学CAI 数学基础34标量函数阵对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数多变量的标量函数阵多变量的标量函数阵矩阵/导数/对变量的偏导数例对于二阶变量阵 有如下的标量函数阵2024年4月25日理论力学CAI 数学基础35标量函数阵对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数m 阶阶标量函数标量函数列阵对列阵对n 阶变量阵阶变量阵q 的的偏导数定义为一偏导数定义为一 mn 阶矩阵阶矩阵且且矩阵/导数/对变量的偏导数q1 q2 qnF1F2Fm2024年4月25日理论力学CAI 数学基础36矩阵/导数/对变量的偏导数例对于二阶变量阵 有如下的标量函数2024年4月25日理论力学CAI 数学基础37小结小结矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括矢量矩阵的运算包括矢量矩阵的运算矩阵导数公式矩阵导数公式矩阵