高中数学第二章数列2.3.2等比数列的前n项和.pptx

,2.3.2,等比数列前,n,项和（一）,第二章,2.3,等比数列,1/35,1.,掌握等比数列前,n,项和公式及公式证实思绪,.,2.,会用等比数列前,n,项和公式处理相关等比数列一些简单问题,学习目标,2/35,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3/35,问题导学,4/35,思索,知识点一等比数列前,n,项和公式推导,对于,S,64,1,2,4,8,2,62,2,63,，用,2,乘以等式两边可得,2,S,64,2,4,8,2,62,2,63,2,64,，对这两个式子作怎样运算能解出,S,64,?,答案,比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出,S,64,，即,S,64,2,64,1.,5/35,梳理,设等比数列,a,n,首项是,a,1,，公比是,q,，前,n,项和,S,n,可用下面,“,错位相减法,”,求得,S,n,a,1,a,1,q,a,1,q,2,a,1,q,n,1,.,则,qS,n,a,1,q,a,1,q,2,a,1,q,n,1,a,1,q,n,.,由,得,(1,q,),S,n,a,1,a,1,q,n,.,当,q,1,时，因为,a,1,a,2,a,n,，所以,S,n,na,1,.,6/35,结合通项公式可得等比数列前,n,项和公式：,7/35,知识点二等比数列前,n,项和公式应用,思索,要求等比数列前,8,项和：,答案,答案,8/35,梳理,普通地，使用等比数列求和公式时需注意：,(1),一定不要忽略,q,1,情况；,(2),知道首项,a,1,、公比,q,和项数,n,，能够用,；知道首尾两项,a,1,，,a,n,和,q,，能够用,；,(3),在通项公式和前,n,项和公式中共出现了五个量：,a,1,，,n,，,q,，,a,n,，,S,n,，知道其中任意三个，可求其余两个,9/35,题型探究,10/35,类型一等比数列前,n,项和公式应用,命题角度,1,前,n,项和公式直接应用,例,1,依据题干中条件，求对应等比数列,a,n,前,n,项和,S,n,.,(1),a,1,3,，,q,2,，,n,6,；,解答,a,1,3,，,q,2,，,n,6,，,11/35,解答,12/35,求等比数列前,n,项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应尤其注意,q,1,是否成立,反思与感悟,13/35,跟踪训练,1,若等比数列,a,n,满足,a,2,a,4,20,，,a,3,a,5,40,，则公比,q,_,；前,n,项和,S,n,_.,设等比数列公比为,q,，,a,2,a,4,20,，,a,3,a,5,40,，,20,q,40,，且,a,1,q,a,1,q,3,20,，,解得,q,2,，且,a,1,2.,2,n,1,2,2,答案,解析,14/35,命题角度,2,通项公式与前,n,项和公式综合应用,例,2,在等比数列,a,n,中，,S,2,30,，,S,3,155,，求,S,n,.,解答,15/35,16/35,方法二若,q,1,，则,S,3,S,2,3,2,，,而实际上，,S,3,S,2,31,6,，故,q,1.,17/35,18/35,(1),应用等比数列前,n,项和公式时，首先要对公比,q,1,或,q,1,进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论,(2),当,q,1,时，等比数列是常数列，所以,S,n,na,1,；当,q,1,时，等比数列,前,n,项和,S,n,有两个公式当已知,a,1,，,q,与,n,时，用,S,n,比较方,便；当已知,a,1,，,q,与,a,n,时，用,S,n,比较方便,反思与感悟,19/35,跟踪训练,2,在等比数列,a,n,中，,a,1,2,，,S,3,6,，求,a,3,和,q,.,解答,由题意，得若,q,1,，则,S,3,3,a,1,6,，符合题意,此时，,q,1,，,a,3,a,1,2.,若,q,1,，则由等比数列前,n,项和公式，,解得,q,2.,此时，,a,3,a,1,q,2,2,(,2),2,8.,总而言之，,q,1,，,a,3,2,或,q,2,，,a,3,8.,20/35,类型二等比数列前,n,项和实际应用,例,3,借贷,10 000,元，月利率为,1%,，每个月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分,6,个月付清，试问每个月应支付多少元？,(1.01,6,1.061,1.01,5,1.051),解答,21/35,方法一设每个月还贷,a,元，第,1,个月后欠款为,a,0,元，以后第,n,个月还贷,a,元后，还剩下欠款,a,n,元,(1,n,6),，则,a,0,10 000,，,a,1,1.01,a,0,a,，,a,2,1.01,a,1,a,1.01,2,a,0,(1,1.01),a,，,a,6,1.01,a,5,a,1.01,6,a,0,1,1.01,1.01,5,a,.,由题意，可知,a,6,0,，,即,1.01,6,a,0,1,1.01,1.01,5,a,0,，,22/35,因为,1.01,6,1.061,，,故每个月应支付,1 739,元,方法二首先，借款,10 000,元，将此借款以相同条件存放,6,个月，则它本利和为,S,1,10,4,(1,0.01),6,10,4,1.01,6,(,元,),，,另首先，设每个月还贷,a,元，分,6,个月还清，到贷款还清时，其本利和为,S,2,a,(1,0.01),5,a,(1,0.01),4,a,23/35,故每个月应支付,1 739,元,24/35,处理这类问题关键是建立等比数列模型及搞清数列项数，所谓复利计息，即把上期本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金数额是不一样，复利计算公式为,S,P,(1,r,),n,，其中,P,代表本金，,n,代表存期，,r,代表利率，,S,代表本利和,反思与感悟,25/35,跟踪训练,3,一个热气球在第一分钟上升了,25 m,高度，在以后每一分钟里，它上升高度都是它在前一分钟里上升高度,80%.,这个热气球上升高度能超出,125 m,吗？,解答,26/35,用,a,n,表示热气球在第,n,分钟上升高度，,由题意，得,a,n,1,a,n,，,所以数列,a,n,是首项,a,1,25,，公比,q,等比数列,热气球在前,n,分钟内上升总高度为,故这个热气球上升高度不可能超出,125 m.,27/35,当堂训练,28/35,1.,等比数列,1,，,x,，,x,2,，,x,3,，,前,n,项和,S,n,等于,答案,解析,1,2,3,4,29/35,2.,设等比数列,a,n,公比,q,2,，前,n,项和为,S,n,，则,等于,1,2,3,4,答案,解析,30/35,方法一由等比数列定义，,S,4,a,1,a,2,a,3,a,4,a,2,a,2,q,a,2,q,2,，,1,2,3,4,31/35,1,2,3,3.,等比数列,a,n,各项都是正数，若,a,1,81,，,a,5,16,，则它前,5,项和是,A.179 B.211C.243 D.275,4,答案,解析,32/35,去年产值为,a,，今年起,5,年内各年产值分别为,1.1,a,1.1,2,a,1.1,3,a,1.1,4,a,1.1,5,a,.,1.1,a,1.1,2,a,1.1,3,a,1.1,4,a,1.1,5,a,11,a,(1.1,5,1).,1,2,3,4,4.,某厂去年产值为,a,，计划在,5,年内每年比上一年产值增加,10%,，从今年起,5,年内，该厂总产值为,_.,11,a,(1.1,5,1),答案,解析,33/35,规律与方法,1.,在等比数列通项公式和前,n,项和公式中，共包括五个量：,a,1,，,a,n,，,n,，,q,，,S,n,，其中首项,a,1,和公比,q,为基本量，且,“,知三求二,”.,2.,前,n,项和公式应用中，注意前,n,项和公式要分类讨论，即当,q,1,和,q,1,时是不一样公式形式，不可忽略,q,1,情况,.,3.,普通地，假如数列,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列且公比为,q,，求数列,a,n,b,n,前,n,项和时，可采取错位相减方法求和,.,34/35,本课结束,35/35,