江苏省海门市包场高级中学高三数学三角模型及应用周末练习苏教版.doc

江苏省海门市包场高级中学高三数学 三角模型及应用周末练习 苏教版
一、学习目标：
（1）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
二、知识要点：

三、课前热身：
1．若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．
2．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.
3．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝________.
4．某时钟的秒针端点到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12点的点B重合。将A,B两点间的距离表示成的函数，则_________．
四、典型例题：
例1：已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

例2：如图，在△ABC中，,D为BC中点，BC=2.记锐角，且满足（1）求；（2）求BC边上的高的值.

例3：如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N、M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，
(1)按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．

例4：我国海军在东海举行大规模演习．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(－1)km的B处有一艘“敌舰”．在A处北偏西75°的方向，距离A 2 km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10 km/h的速度追截“敌舰”．此时，“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？

例5：某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？

五、课堂小结：
六、反思感悟：千思百练：
1．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C＝________.

2．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________．
3．已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是________．
4．已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．
5．如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

6．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？

6．如图所示，在半径为2，圆心角为的扇形OAB的弧上任取一点P，作扇形的内接平行四边形PNMQ，使点Q在OA上，点M,N在OB上，设，平行四边形MNPQ的面积为S.（1）求这S与之间的函数关系；（2）求S的最大值及相应的值。

7．如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？