勾股定理相关知识.ppt

,勾股定理,勾股定理相关知识,美丽的勾股树,概念,1.,直角三角形有哪些性质,?,2.,如何判断三角形是直角三角形,?,回忆过去,按照这种做法真能得到一个,直角三角形,吗？,古埃及人曾用下面的方法得到直角：,用,13,个等距的结,把一根绳子分成等长的,12,段,然后以,3,个结，,4,个结，,5,个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是,直角,。,3,4,5,请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗,?,3,2,4,2,5,2,+,=,1,1,5,12,13,7,24,25,9,40,41,1,2,3,4,5,常见的直角三角形,勾股定理的逆命题,如果直角三角形两直角边分别为,a,，,b,，斜边为,c,，那么有,a,2,+b,2,=c,2,勾股定理,如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,那么这个三角形是直角三角形。,a,2,+b,2,=c,2,互逆命题,3,4,5,A,C,B,A,B,C,3,4,古埃及人的做法：,ABC,中，,BC=3,、,AC=4,、,AB=5,这两个三角形有什么关系？,全等,我们作,RT ABC,，使,BC=3,，,AC=4,3,4,5,A,C,B,A,B,C,3,4,在 中根据勾股定理有,C=90,0,AB,2,=a,2,+b,2,a,2,+b,2,=c,2,AB,2,=c,2,AB=c,边长取正值,ABC ABC,（,SSS,）,C=C=90,BC=a=BC,CA=b=CA,AB=c=AB,已知,:,在,ABC,中，,AB=c BC=a CA=b,且,a,2,+b,2,=c,2,求证,:ABC,是直角三角形,证明,:,画一个,ABC,使,C=90,BC=a,CA=b,在,ABC,和,ABC,中,则,ABC,是直角三角形（直角三角形的定义）,勾股定理的逆命题,A,C,B,A,B,C,证明,：,例,1,判断由,a,、,b,、,c,组成的三角形是不是直角三角形：,(1),a,15,b,8,c,17,例题解析,(2),a,13,b,15,c,14,分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条,较小边,的平方和是否等于,最大边,的平方。,解：,15,2,8,2,225,64,289,17,2,289,15,2,8,2,17,2,这个三角形是直角三角形,例,2,.在ABC中，a=15,b=17,c=8,求此三角形的面积,。,为直角三角形,且,B=90,ABC的面积为,8,15,17,A,B,C,例,1,1,如图,1,，阴影部分的是一个正方形，它的面积是,41,.,2,如图,2,，,Rt,ABC,中，,C,90,，,A,、,B,、,C,所对的边分别是,a,、,b,、,c,若,a,12,，,b,16,，则,c,20,；,若,b,24,，,c,25,，则,a,7,；,若,a,5,，,c,13,，则,b,12,；,若,a,9,，,b,40,，则,c,41,5,4,图,1,B,A,C,图,2,a,c,b,1,Rt,ABC,中，两条直角边的长分别是,16,和,30,，则斜边的长应为,【,A,】,A,34 B,40 C,45 D,50,2,直角三角形的两条直角边的比为,34,，斜边长,25cm,，则斜边上的高为,【,B,】,A,10cm B,12cm C,15cm D,20cm,3,等腰三角形的腰长为,20cm,，底边长,24cm,，则它底边上的高长,16,，面积为,192,例,2,1,如图,1,，已知正方形,ABCD,的面积为,12,，,AE,2,ED,，则,AE,4,2,如图,2,，已知,ABC,中，,AB,AC,10,，,BD,是,AC,边上的高，,DC,2,，则,BD,的长为,6,图,1,A,B,C,D,E,A,B,C,D,图,2,例,3,1,在锐角,ABC,中，,AD,BC,，垂足为,D,，,AB,13,，,AD,12,，,AC,20,，则,BC,等于,【,B,】,A,20 B,21 C,22 D,23,2,直角三角形的两边长分别是,6,和,8,，则以第三边为边长的正方形的面积是,【,D,】,A,10 B,100 C,28 D,100,或,28,例,4,1,如图,1,，有两棵树，一棵高,10m,，另一棵高,4m,，两树相距,8m,一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行,10,m,2,如图,2,，互相垂直的两条公路从,A,、,B,两村穿过，,A,村到路口,C,的距离为,9,千米，,B,村到路口,C,的距离为,12,千米现要在,AB,间修一条公路，若此种公路的造价为,50,元,/,米，则这条公路的总投资最少为,75,万元,图,1,A,B,C,图,2,例,5,例,6,1,如图,1,，隔湖有两点,B,、,C,，从与,CB,成直角的,CA,方向上的点,A,处测得,AB,130m,，,AC,120m,，则,B,、,C,两点的距离为,50,m,2,如图,2,，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度,BC,为,12m,，中柱,AD,为,2.5m,，中柱,AD,BC,于,D,，为防雨需在厂房顶部铺上油毡，已知厂房长,10m,，需用油毡,130,m,2,C,D,B,A,中柱,跨度,B,A,C,图,1,图,2,如图，折叠长方形的一边,AD,，使点,D,落在,BC,边的点,F,处，已知,AB,8cm,，,AD,10cm,，求,EC,的长,B,A,D,E,C,F,例,9,x,8,x,8,x,10,8,10,6,4,解：由折叠可知：,AF,AD,10,，,AB,8,，在,Rt,ABF,中，,根据勾股定理，得,BF,6,所以，,FC,10,6,4,设,EC,x,，则,DE,EF,8,x,在,Rt,EFC,中，,根据勾股定理，得,x,2,4,2,(8,x,),2,解得：,x,3,cm,例,10,1,下列线段能组成直角三角形的是,【,D,】,A,2,，,3,，,5 B,1,，,2,，,3,C,1,，,2,，,5 D,12,，,16,，,20,2,下列线段不能组成直角三角形的是,【,D,】,A,3,，,4,，,5 B,1,，,C,9,，,12,，,15 D,6,，,2,，,3,3,在下列长度的三条线段中不能组成直角三角形的是,【,C,】,A,8,，,15,，,17 B,n,2,1,，,n,2,1,，,2,n,C,a,，,2,a,，,3,a,D,m,2,n,2,，,m,2,n,2,例,11,如图，在四边形,ABCD,中，,A,90,，,AB,24,，,BC,20,，,CD,15,，,DA,7,求,C,的度数和四边形,ABCD,的面积,A,B,C,D,解：连接,BD,，,在,Rt,ABD,中，,AB,24,，,DA,7,根据勾股定理，得,BD,25,又因为,BC,20,，,CD,15,，,所以，,BC,2,CD,2,BD,2,所以,CBD,是直角三角形,所以,C,90,S,四边形,ABCD,的面积,S,ABD,S,CBD,234,B,A,、锐角三角形,B,、直角三角形,C,、钝角三角形,D,、等边三角形,1.,练一练,分析：,先来判断,a,b,c,三边哪条最长，可以代,m,n,为满足条件的特殊值来试，,m=5,n=4.,则,a=9,b=40,c=41,c,最大。,ABC,是直角三角形,练一练,a,b,c,赵爽弦图,a,印度婆什迦,罗,的,证,明,c,c,2,=,b,2,+,a,2,b,a,2,+,b,2,=,c,2,a,2,b,2,a,2,c,2,直接观察验证,总统法,a,a,b,b,c,c,青出,朱方,青方,朱入,朱出,青入,青入,青出,青出,华罗庚,:,青朱出入图,a,b,c,华罗庚,:,青朱出入图,相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。,数学小故事,自主探索一,A,的面积,(,单位面积,),B,的面积,(,单位面积,),C,的面积,(,单位面积,),图,1,图,2,图,3,A,、,B,、,C,面积关系,1,1,2,4,4,8,9,9,18,S,A,+,S,B,=,S,C,a,2,+b,2,=c,2,请你数一数图中正方形,A,、,B,、,C,各占多少个小格子？完成表格，探究规律。,图,1,图,2,图,3,直角三角形三边数量关系,图,2,图,1,A,的面积,（单位面积）,B,的面积,（单位面积）,C,的面积,（单位面积）,图,1,图,2,A,、,B,、,C,面积关系,16,9,25,4,9,13,S,A,+,S,B,=,S,C,a,2,+b,2,=c,2,割补思想,自主探索二,你还能数出图中正方形,A,、,B,、,C,各占多少个小格子吗？完成表格，探究规律。,直角三角形,三边数量关系,A,B,C,A,B,C,（图中每个小方格代表一个单位面积）,图,1-1,图,1-2,（,2,）在图,1-2,中，正方形,A,，,B,，,C,中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？,（,3,）你能发现图,1-1,中三个正方形,A,，,B,，,C,的面积之间有什么关系吗？,S,A,+S,B,=S,C,即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积,A,B,C,图,1-3,A,B,C,图,1-4,（,1,）观察图,1-3,、图,1-4,，并填写右表：,A,的面积（单位面积）,B,的面积（单位面积）,C,的面积（单位面积）,图,1-3,图,1-4,16,9,25,4,9,13,你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流。,做一做,A,B,C,图,1-3,A,B,C,图,1-4,分割成若干个直角边为整数的三角形,（面积单位）,A,B,C,图,1-3,A,B,C,图,1-4,（,2,）三个正方形,A,，,B,，,C,的面积之间有什么关系？,S,A,+S,B,=S,C,即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积,A,B,C,图,1-3,A,B,C,图,1-4,（,1,）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？,（,2,）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。,（,3,）分别以,5,厘米、,12,厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（,2,）中的规律对这个三角形仍然成立吗？,议一议,勾,股,弦,周髀算经,勾 广 三,股 修 四,径 隅 五,（三）归纳结论,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,如果用,a,、,b,、,c,分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么,a,2,+b,2,=c,2,。,勾股定理：,勾股定理（,gou-gu theorem),如果直角三角形两直角边分别为,a,、,b,斜边为,c,，那么,即,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,a,b,c,勾,股,弦,在西方又称毕达哥拉斯定理耶！,3,4,5 5,12,13 7,24,25 9,40,41,11,60,61 13,84,85 15,112,113,8,，,15,，,17,9,12,15,12,，,35,，,37,20,，,21,，,29,20,，,99,，,101,48,，,55,，,73,60,，,91,，,109,常见勾股数,比一比看看谁算得快！,求下列直角三角形中未知边的长,:,可用勾股定理建立方程,.,方法小结,:,8,x,17,16,20,x,12,5,x,基本方法,2.,求下列图中表示边的未知数,x,、,y,、,z,的值,.,81,144,x,y,z,625,576,144,169,基本方法,1,若,ABC,的三边,a,、,b,、,c,，满足（,a,b,）（,a,2,b,2,c,2,）,=0,，则,ABC,是（）,A,等腰三角形；,B,直角三角形；,C,等腰三角形或直角三角形；,D,等腰直角三角形。,2,若,ABC,的三边,a,、,b,、,c,，满足,a,：,b,：,c=1,：,1,：，试判断,ABC,的形状,基础练习,郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多,1,米，当他把绳子的下端拉开,5,米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？,A,B,C,5,米,(X+1),米,x,米,解三角形：设未知数求长度,印度数学家什迦逻（,1141,年,-1225,年）曾提出过,“,荷花问题,”,：,“,平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；,出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，,渔人观看忙向前，花离原位二尺远；,能算诸君请解题，湖水如何知深浅？,”,，,请用学过的数学知识回答这个问题。,2,X+0.5,X,C,B,A,荷花问题,如图，小颍同学折叠一个直角三角形,的纸片，使,A,与,B,重合，折痕为,DE,，若已知,AC=10cm,，,BC=6cm,你能求出,CE,的长吗？,C,A,B,D,E,折叠问题,等腰,ABC,中，,AB,AC,13cm,，,BC=10cm,求,ABC,的面积和,AC,边上的高。,A,B,C,D,13,13,10,H,面积法求三角形的高,如图，,ACB,=,ABD,=90,，,CA,=,CB,，,DAB,=30,，,AD,=8,，求,AC,的长。,A,B,C,D,30,8,求三角形的边长,A,B,我怎么走,会最近呢,?,有一个圆柱,它的高等于,12,厘米,底面半径等于,3,厘米,在圆柱下底面上的,A,点有一只蚂蚁,它想从点,A,爬到点,B,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少,?(,的值取,3),平面展开问题,B,A,高,12cm,B,A,长,18cm (,的值取,3),9cm,AB,2,=9,2,+12,2,=81+144=225=,AB=15(cm),蚂蚁爬行的最短路程是,15,厘米,.,15,2,