离散数学第七章关系-集合的笛卡尔积集.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,目录（,集合论）,第六章 集合（,4,学时）,第七章 关系（,8,学时）,第八章 函数与集合的势（,5,学时）,第七章 关系,7.1,集合的笛卡尔积集,7.2,二元关系的基本概念,7.3,二元关系的性质,7.4,二元关系的闭包运算,7.5,等价关系和集合的划分,7.6,偏序关系和格,7.7,链与反链,7.1,集合的笛卡尔积集,定义,1 a,和,b,是两个元素，把,a,作为第一个元素，把,b,作为第二个元素，按这个顺序排列的一个二元组叫,有序二元组,简称,有序对,，记为,:,（,a,，,b,）,特点：,(1),当,a,b,时，（,a,，,b,）,（,b,，,a,）；,(2),两个有序二元组相等，即（,a,，,b,）（,x,，,y,）的充分必要条件是,a,x,且,b=y,。,笛卡尔积集,定义：设,A,和,B,是两个集合，存在一个集合，它的元素是用,A,中元素为第一元素，,B,中元素为第二元素构成的有序二元组。称它为集合,A,和,B,的笛卡尔积集，记为,AB,。即,AB,(,a,b),a,A,b,B,。,例,A=1,2,，,B=,a,b,c,AB,(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),笛卡尔,Ren Descartes,（,1596,1650,）,著名的法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。在今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“,笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人,”。,笛卡儿,的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，都开创了这些学科的崭新时代。,几何学,是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有,117,页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案,.,笛卡尔积集的性质,性质,1,若,A,和,B,有一个是空集，则它们的笛卡尔积集是空集，即,B=A,=,性质,2,当,A,B,，且,A,和,B,均不是空集时，有,A,B,BA,性质,3,当,A,，,B,，,C,均不是空集时，有,(A,B)C,A(BC),(,a,b),c),(a,(b,c,),尚未定义,(,a,b,c,),例,求证：,A,(B,C),=(,A,B),(,A,C),思路,:,要分别证明,A,(B,C),(,A,B),(,A,C),(,A,B),(,A,C),A,(B,C),例,求证：,A,(B,C),=(,A,B),(,A,C),证明：对于任意的,x,，,y,，,若,(,x,y,),A,(B,C),，即有,x,A,且,y,B,或,C.,若,y,B,则,(,x,y,),A,B,；,若,y,C,则,(,x,y,),A,C,，,所以,(,x,y,),(,A,B),(,A,C),，故,A,(B,C),(,A,B),(,A,C).,对于任意的,x,，,y,，若,(,x,y,),(,A,B),(,A,C),，,即,(,x,y),A,B,或,(,x,y,),A,C.,若,(,x,y),A,B,，则,x,A,且,y,B,；,若,(,x,y),A,C,，则,x,A,且,y,C,。,所以,x,A,且,y,B,C,得,(,x,y),A,(B,C,),，故,(,A,B),(,A,C),A,(B,C),.,综上可知，,A,(B,C),=(,A,B),(,A,C),。,例,2,A,，,B,，,C,，,D,为任意集合，判断等式,(,A,B),(,C,D),=(,A,C),(,B,D),是否成立。,答：不成立。,若,A=D=,，,B=C=a,，则,(AB)(CD)=BC=(,a,a,),(AC)(BD)=,=,有序,n,元组,定义,3,一个有序,n(n,3),元组是一个有序二元组，其中第一个元素是一个有序,(n-1),元组，记为,（,a,1,a,2,a,n-1,a,n,）,笛卡尔积集,定义,4,设,A,1,，,A,2,，,，,A,n,是,n(2),个集合，这,n,个集合的笛卡尔积集记作,A,1,A,2,A,n,，,即,A,1,A,n,(a,1,a,2,a,n,),a,1,A,1,a,n,A,n,当,A,1,A,2,A,n,时,记之为,A,n,即,A,n,=AAA,第七章 关系,7.1,集合的笛卡尔积集,7.2,二元关系的基本概念,7.3,二元关系的性质,7.4,二元关系的闭包运算,7.5,等价关系和集合的划分,7.6,偏序关系和格,7.7,链与反链,