单的方差分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上一节我们讨论了最简单的方差分析单因素方差分析的原理与方法。在实际工作中，问题常常比较复杂，要求我们同时考虑两种甚至更多因素，以及这些因素共同作用的影响。,多因素方差分析,进行多因素方差分析从理论上说并无任何困难，但随着因素数的增加，普通方差分析的复杂性迅速增加，这种复杂性不仅表现在分析计算的繁复，更表现在所需实验次数呈现出几何级数的增加上因此三或三因素以上方差分析较少用到；,当确实需要考虑这样多因素时，我们常常转而采用一些特殊的方差分析方法，例如正交实验设计方法。,多因素方差分析繁复,单因素方差分析相比，,交互作用,是多因素方差分析中新的概念之一。当一个因素的效应明显地依赖于其他因素的水平时，我们称这些因素间有交互效应。例如，由于人的体质不同，药物的疗效也可能会有不同；不同的地施用同样的肥料，增产效果也有不同，等等。,模型类型及交互作用概念,A1,A2,A3,B1,B2,B3,A1,A2,A3,B2,B3,B1,(,a),无交互效应 (,b),有交互效应,图中每条曲线代表,B,因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。,交互效应,多因素方差分析可分为固定模型，随机模型及混合模型三类。这几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。,按因素类型进行分类,多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类。这两类计算公式也有些差别，下面我们以两因素方差分析为例，介绍它们试验设计方面的不同点。,交叉分组：实验中，,A,因素的每个水平都会和,B,因素的每个水平相遇，因此,A,，,B,的地位是完全对称的。这是最常见的实验设计方法。,按实验设计分类,先按,A,因素的,a,个水平分为,a,组，在每一组内再按,B,的水平细分。一般,A,因素不同水平的组内,B,因素的水平可取不同值。例如研究,PH,值对酶活性的影响，不同的酶可能有不同的最适,PH,值，因此应对每种酶设置,PH,值偏高、合适、偏低三个水平，而不同的酶,(,因素,A,的不同水平,),PH,值,(,因素,B),的水平可能是不相同的。,系统分组：,1.,固定效应模型。首先考虑,有重复的情况,。线性统计模型为：,x,ijk,=,+,i,+,j,+(,),ij,+,ijk,i=1,2,a,j=1,2,b;k=1,2,n,其中：,：总平均值；,i,：A,因素,i,水平主效应；,j,：B,因素,j,水平主效应；,(,),ij,：,A,因素,i,水平与,B,因素,j,水平的交互效应；,ijk,：,随机误差。,两因素交叉分组方差分析,H,01,:,i,=0,i=1,2,a,H,02,:,j,=0,j=1,2,b,H,03,:(,),ij,=0,i=1,2,a,j=1,2,b,备择假设为:,H,A,:,上述各参数中至少有一个不为0。(这实际上是三个备择假设。),零假设,方差分析的基本思想仍是总变差分解：,即：,SS,T,=SS,A,+SS,B,+SS,AB,+,SS,e,自由度：,abn,-1 a-1 b-1 (a-1)(b-1),ab,(n-1),总变差分解,均方数学期望,检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中，分母全部采用,MS,e,即可。,检验,H,01,，,H,02,，,H,03,的统计量分别为：,检验,H,01,，,H,02,，,H,03,的统计量,从前述的各均方期望可知，只有当各,H,0,成立时，上述三个分子才是,2,的无偏估计量，此时各统计量均服从,F,分布；若某个,H,0,不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用,F,分布上单尾分位数进行检验。,各效应的估计值,其中,i=1,2 a,j=1,2,b。,计算公式,计算排列如下表：,表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均,计算步骤,变差来源,平方和,自由度,均方,统计量,F,主效应,A,主效应,B,交互效应,AB,误差,总和,方差分析表,把计算所得结果填入上表后，再根据各,F,统计量的自由度查出其,F,0.95,及,F,0.99,分位数，并将,F,计算值与相应分位数相比，大于,F,0.95,则在统计量,F,右上角标一个“,*,”号；大于,F,0.99,则再加一个“,*,”号。最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结，即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显著,F,测验,如果,MS,AB,小于或约等于,MS,e,，,即,F,AB,小于或约等于,1,，,说明此时交互作用不存在,，在这种情况下也可把,MS,AB,和,MS,e,合并在一起,(,即把平方和和自由度都合并,),作为,2,的估计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下,交互作用不存在,然后可用作统计量,F,A,和,F,B,的分母，对两个主效应进行统计检验。注意查表时分母自由度要相应改变。,原料,种类,(,A),温 度（,B）,30,35,40,1,41,49,23,25,11,13,25,24,6,22,26,18,2,47,59,50,40,43,38,33,36,8,22,14,18,3,35,53,50,43,38,47,44,55,33,26,29,30,选择最适发酵条件,本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是,固定因素。,在同样温度、原料下所做的几次实验应视为,重复,，它们之间的差异是由随机误差所造成的,固定因素,j,i,1,2,3,1,34.5,18.25,18,23.58,2,49,37.5,15.5,34,3,45.25,46,27,39.42,42.92,33.92,20.12,各处理平均数,发酵实验方差分析表,变差来源,平方和,自由度,均方,F,原料,A,温度,B,AB,误差,1554.18,3150.50,808.82,1656.50,2,2,4,27,777.09,1575.25,202.21,61.35,12.67,*,25.68,*,3.30,*,总和,7170.00,35,查,F,分布表，得：,F,0.95,(2,27)F,0.95,(2,30)=3.316,F,0.99,(2,27)F,0.99,(2,30)=5.390,F,0.95,(4,27)F,0.95,(4,30)=2.690,F,0.99,(4,27)F,0.99,(4,30)=4.018,F,A,F,B,均达极显著，标上“*”，,F,AB,只达显著，标上“*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵温度。,F,测验,在固定效应模型中，若各,F,统计量有达到显著或极显著水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合。例如在例4.3中，我们已经发现原料，温度以及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比较了,。,各处理间进行多重比较,如果有交互作用存在，则一般需要把所有,ab,个水平组合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用,Duncan,法。,把各处理平均数从大到小排列(记为,x,1,x,9,)：,49,46,45.25,37.5,34.5,27,18.25,18,15.5，,求出各对差值，列成下表：,多重比较,x,9,x,8,x,7,x,6,x,5,x,4,x,3,x,2,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,7,x,8,33.5,*,30.5,*,29.75,*,22,*,19,*,11.5,2.75,2.5,31,*,28,*,27.25,*,19.5,*,16.5,*,9,0.25,30.75,*,27.75,*,27,*,19.25,*,16.25,*,8.75,22,*,19,*,18.25,*,10.5,7.5,14.5,*,11.5,10.75,3,11.5,8.5,7.75,3.75,0.75,3,求得：，,df,=27,查,Duncan,检验的,r,值表，,df,=27,k=29,K,r,0.05,R,0.05,r,0.01,R,0.01,2,3,4,5,6,7,8,9,2.91,3.05,3.14,3.21,3.27,3.30,3.34,3.36,11.40,11.94,12.30,12.57,12.81,12.92,13.08,13.16,3.92,4.10,4.20,4.29,4.35,4.40,4.45,4.49,15.35,16.06,16.45,16.80,17.04,17.23,17.43,17.58,Duncan,检验的,r,值,分析：从这一差值表中可见，,x,1,至,x,5,，,除,x,1,至,x,5,外相互间都没有显著差异。但,x,4,，,x,5,与其他,3,个值差异相对大一些。,x,6,至,x,9,差异均不显著。而,x,1,，,x,2,，,x,3,与,x,6,x,9,差异均达极显著。另外，,x,1,，,x,2,，,x,3,以及,x,7,，,x,8,，,x,9,之间的差异都很小。,由于现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要关心,x,1,，,x,2,，,x,3,。,从以上分析中可知，基本上可把,x,1,，,x,2,，,x,3,视为无差异,x,1,，,x,2,，,x,3,视为无差异,当交互作用存在时，对固定模型若不设置重复，则无法把,SS,AB,与,SS,e,分开，这样将无法进行任何统计检验。因此在固定模型中有交互作用时，不设置重复的试验是无意义时。,对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。,几点注意事项：,