三重积分详解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,三 重 积 分,第二节,一、三重积分的概念,三重积分的性质与二重积分的类似。,特别地，,x,0,z,y,z,2,(,x,y,),I,=,P,N,M,.,.,D,z,1,(,x,y,),二、直角坐标系下三重积分的累次积分法,1.先一后二法,x,0,z,y,z,2,(,x,y,),I,=,D,这就化为一个定积分和,一个二重积分的运算,z,1,(,x,y,),.,二、直角坐标系下三重积分的累次积分法,1.先一后二法,三重积分化为三次积分的过程：,得到,注意,得到,解,于是，,于是，,得到,得到,解,于是，,得到,解,解,6,6,6,x+y+z=,6,3,x+y=,6,2,.,例,x,0,z,y,：,平面,y,=0,z,=0，3,x+y,=6,3,x+,2,y,=12,和,x+y+z =,6,所围成的区域,6,6,6,x+y+z=,6,3,x+y=,6,2,.,例,x,0,z,y,：,平面,y,=0,z,=0，3,x+y,=6,3,x+,2,y,=12,和,x+y+z =,6,所围成的区域,3,x+y=,6,3,x+,2,y=,12,x+y+z=,6,.,6,6,6,x,0,z,y,4,2,：,平面,y,=0,z,=0，3,x+y,=6,3,x+,2,y,=12,和,x+y+z =,6,所围成的区域,3,x+y=,6,3,x+,2,y=,12,x+y+z=,6,.,6,6,6,x,0,z,y,4,2,：,平面,y,=0,z,=0，3,x+y,=6,3,x+,2,y,=12,和,x+y+z =,6,所围成的区域,z,=0,y,=0,4,2,x+y+z=,6,.,x,0,z,y,6,6,6,：,平面,y,=0,z,=0，3,x+y,=6,3,x+,2,y,=12,和,x+y+z =,6,所围成的区域,4,2,.,x,0,z,y,6,6,6,：,平面,y,=0,z,=0，3,x+y,=6,3,x+,2,y,=12,和,x+y+z =,6,所围成的区域,例.,.,D,0,y,x,6,2,4,D,.,y,1,4,x+y=,4,x,=0,x,z,o,.,例,y,1,4,x+y=,4,x,z,o,1,.,取第一卦限部分,4,x+y=,4,y,=0,x,y,z,.,D,.,.,o,1,1,x+y=,1,y,o,z,x,1,z=,xy,.例,例,.,z,=0,1,x+y=,1,o,z,x,1,y,z=,xy,.,例,1,1,z=0,o,z,x,x+y=,1,y,。,。,z=,xy,.,例,x,0,z,y,c,1,c,2,z,D,z,先做二重积分，后做定积分,2.截面法（先二后一法）,x,0,z,y,c,1,c,2,.,先做二重积分，后做定积分,z,D,z,2.截面法（先二后一法）,x,0,z,y,c,1,c,2,I,=,.,先做二重积分，后做定积分,z,D,z,2.截面法（先二后一法）,x,0,z,y,c,1,c,2,.,先做二重积分，后做定积分,I,=,2.截面法（先二后一法）,(1)把积分区域向某轴（例如轴,Z）,投影，得投影区间,c,1,c,2,(2)对用过轴且平行,xoy,平面的平面去截，得截面,D,z,;,截面法的一般步骤：,x,0,y,z,b,c,例 计算,a,D,0,D,z,.,.,b,c,.,.,x,0,y,z,D,0,a,.,z,0,x,z,y,M,(,r,z,),z,r,N,x,y,z,(,x,y,z,),(,r,z,),三、柱面坐标下三重积分的计算,.,.,1、柱面坐标,简单地说，柱面坐标就是,xoy,面上的极坐标+,z,坐标,柱面坐标与,直角坐标的,关系为,z,动点,M,(,r,z,),柱面,S,r,=,常数：,平面,z,=,常数：,x,0,y,z,M,r,S,z,2.柱面坐标的坐标面,动点,M,(,r,z,),半平面,P,柱面,S,=常数:,r,=,常数：,平面,z,=,常数：,z,x,0,y,z,M,r,S,P,.,2.柱面坐标的坐标面,半平面,及,+,d,;,半径为,r,及,r+,d,r,的圆柱面；,平面,z,及,z+,d,z,；,x,z,y,0,d,r,r,r,d,d,z,平面,z,元素区域由六个坐标面围成：,3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,x,z,y,0,d,r,r,r,d,d,z,底面积,：,r,d,r,d,元素区域由六个坐标面围成：,半平面,及,+,d,;,半径为,r,及,r+,d,r,的园柱面；,平面,z,及,z+,d,z,；,d,z,平面,z,+,d,z,.,3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,x,z,y,0,d,r,r,r,d,d,z,底面积,：,r,d,r,d,元素区域由六个坐标面围成：,半平面,及,+,d,;,半径为,r,及,r+,d,r,的园柱面；,平面,z,及,z+,d,z,；,dz,d,V,=,.,.,d,V,3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,再根据,V,中,z,，,r,，,的关系，化为三次积分。,一般，先对,z,积分，再对,r,，,最后对,积分。,例,利用柱面坐标计算三重积分,其中,V,解,(1)画,V,图,(2)确定,z,，,r,，,的上下限,将,V,向,xoy,面投影，得,或,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,即,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,于是，,解,求交线：,将,向,xoy,面投影，得,或,即,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,或,例,计算三重积分,其中,是由曲,解,将,向,xoy,面投影，得,或,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,即,或,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,即,1,.,D,xy,:,z,=0,.,0,x,z,y,D,xy,例.,计算,I=,1,0,x,z,y,M,(,r,),r,N,y,x,z,.,.,四、球面坐标系下三重积分的计算,规定：,1、球面坐标,S,r,M,y,z,x,0,r,=,常数:,=常数:,球面,S,动点,M,(,r,),2、,球面坐标的坐标面,C,r,=,常数:,=,常数:,S,球面,S,半,平面,P,动点,M,(,r,),M,y,z,x,0,P,=常数:,锥面,C,.,2、,球面坐标的坐标面,半平面,及,+,d,；,半径为,r,及,r+,d,r,的球面；,圆锥面,及,+,d,r,d,r,d,r,sin,x,z,y,0,圆锥面,r,d,球面,r,圆锥面,+,d,球面,r+,d,r,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsin,d,3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,半平面,及,+,d,；,半径为,r,及,r+,d,r,的球面；,圆锥面,及,+,d,r,d,r,d,x,z,y,0,d,r,d,元素区域由六个坐标面围成：,rsin,d,.,r,2,sin,d,r,d,d,sin,d,r,d,d,r,2,d,V,d,V,=,3、,球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,再根据再,中,r,，,，,的关系，化为三次积分。,一般，先对,r,积分，再对,，最后对,积分。,例,用球面坐标计算,其中,解,画,图。,确定,r,，,，,的上下限。,(1)将,向,xoy,面投影，得,(2)任取一,过,z,轴作半平面，得,(3)在半平面上，任取一,过原点作,射线，得,(3)在半平面上，任取一,过原点作,射线，得,即,z,0,x,y,a,r,=2,a,cos,.,M,.,r,例.,化为球系下的方程,例,计算,其中,由曲面,和,围成。,将,向,xoy,面投影，得,任取一,过,z,在半平面上，任取一,过原点作射线，得,解,轴作半平面，得,即,在半平面上，任取一,过原点作射线，得,六、三重积分的对称性算法,判别,关于坐标面的对称性：,