高考数学总复习(讲+练+测)：专题8.7立体几何中的向量方法(测).pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 07 节立体几何中的向量方法班级 _ 姓名 _ 学号 _ 得分 _ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要 求的.）1.已知平面的法向量为(2,2,4),(3,1,2)nAB，点A不在内，则直线AB与平面的位置关系为AABBABCAB与相交不垂直D/AB【答案】D【解析】(2,2,4)(3,1,2)6280n ABnAB，而点A不在内，故/AB2.【浙江省杭州市萧山区第一中学月考】若，且，则的值是（）A.0 B.1 C.-2 D.2【答案】C 3.【2017 年河南省信阳市期末】设是直线 的方向向量，是平面的法向量，则（）A.B.C.或 D.或【答案】D【解析】因为，所以，即或.故选 D.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学4.【2017 年福建省数学基地校】二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知4AB，6AC，8BD，2 17CD，则该二面角的大小为()(A)150 (B)45 (C)60 (D)120【答案】C【解析】由条件知0CA AB，0AB BD，CDCAABBD.2222222CDCAABBDCA ABAB BDCA BD222264826 8cos,2 17CA BD.1cos,2CA BD，,120CA BD，二面角的大小为60；故选 C.5.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB2，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1，1，1)B.23，23，1C.22，22，1D.24，24，1【答案】C 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学6.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13，AD22，P为C1D1的中点，M为BC的中点则AM与PM的位置关系为 ()A平行B异面C垂直D以上都不对【答案】C 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学7.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.33，33，33B.33，33，33C.33，33，33D.33，33，33【答案】D【解析】因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以AB(1,1,0)，AC(1,0,1)经验证，当n 33，33，33时，nAB333300，nAC330330，故选 D.8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E23A1D，AF13AC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面【答案】B 9.已知长方体1111ABCDA B C D，下列向量的数量积一定不为0的是（）小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A11ADB C B 1BDAC C 1ABAD D 1BDBC【答案】D【解析】当侧面11BCC B是正方形时可得11ADB C=0，所以排除A.当底面 ABCD 是正方形时AC垂直于对角面1BD.所以排除B.显然排除C.由图可得1BD与 BC所成的角小于090.故选 D.10.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AEAF的值为()Aa2 B.12a2 C.14a2 D.34a2【答案】C 11【2017 学山东省烟台市期末】在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，B A C D A1B1C1D1小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】以为原点,为轴,在平面中过作的垂线为轴,为轴,建立空间直角坐标系,在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,分别是棱上的点,且,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学,设异面直线与所成角所成角为,则.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选 D.12.【甘肃西北师大附中高三11 月月考】已知等差数列na的前 n 项和为nS，且2510,55SS，则过点(,)nP n a和*2(2,)()nQ nanN的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A14(,)33 B(2，4)C1(,1)2 D.（-1，-1）【答案】A 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。）13【2018 届河北省定州中学高三上第二次月考】已知点在正方体的对角线上，在上，则与所成角的大小为_.【答案】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学14 在三棱柱111ABCA B C中，侧棱1A A底面ABC，1AC，12AA，90BAC，若直线1AB与直线1AC的夹角的余弦值是45，则棱AB的长度是 _【答案】1【解析】如图建立坐标系设ABa，则1110,0,0,0,2,0,0,2,0,1,0ABaACAB111244,0,2,0,1,2cos,1154 5aACAB ACaABa15【2017 届河北省衡水中学押题卷】如图所示，在棱长为2 的正方体1111ABCDA B C D中，E，F分别是1CC，AD的中点，那么异面直线1D E和1A F所成角的余弦值等于_小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】2516.【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面内，三条棱AB,AC,AD都在平面的同侧.若顶点B,C到平面的距离分别为2,3，则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为_【答案】23【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的一个法向量为000 xyz（，），设01x，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学令111BABCACDAD，可得2221sinsinsin，设11123DDmBBCC，222231333m，解得2m；则的法向量为000222nxyzhcoshcoshcoshsinhsinhsin（，）（），（），（）（，），由1hsin，得2hsin，62hsin；0003 26,222nxyz（，），平面ABC的法向量为0,0,3，则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为22261,20,0,322361232三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10 分）【2018 届贵州省黔东南州高三上第一次联考】如图所示，在四棱锥小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学PABCD中，四边形ABCD为菱形，PAD为正三角形，且,E F分别为,AD AB的中点，PE平面ABCD，BE平面PAD（1）求证：BC平面PEB；（2）求EF与平面PDC所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）155.试题解析：（1）证明：因为PE平面ABCD，BE平面PAD，所以,PEAD BEAD，又,PEBEE PE平面,PEB BE平面PEB，所以AD平面PEB，由四边形ABCD菱形，得/ADBC，所以BC平面PEB（2）解：小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学以E为原点，,EA EB EP分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形ABCD的边长为2，则1,2,3AEEDPAPE，223BEABAE，则点131,0,0,0,3,0,2,3,0,1,0,0,0,0,3,022ABCDPF，1,3,0,1,0,3DCDP，设平面PDC的法向量为,nx y z，则由,?1,3,030,?1,0,330n DCx y zxyn DPx y zxz，解得33xyxz，不妨令1z，得3,1,1n；又13,022EF，所 以EF与平面PDC所成角的正弦值为133,1,1?,02215551n EFn EF18（本小题满分12 分）【2018 届湖北省部分重点中学高三起点】在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，ABF为直角，AEBF，112ABBF，平面ABCD平面ABFE.（）求证：BDCE；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）若AEAB，求二面角CEFB的余弦值.【答案】()证明见解析；()63.设AEt，以,BA BF BC所在直线分别为,x y z轴建立如图坐标系，则0,0,0B，0,0,1C，1,0,1D，1,0Et，1,0,1DB，1,1ECt，0DB EC，DBEC.（2）由（1）知0,0,1BC是平面BEF的一个法向量，设,nx y z是平面CEF的法小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学向量，1AEAB，1,1,0E，0,2,0F，1,1,1CE，0,2,1CF，由0C En，得0 xyz，由0CF n，得20yz，令2z，得1,1xy，故1,1,2n是平面CEF的一个法向量，6cos,3n BCn BCn BC，即二面角CEFB的余弦值为63.19.（本小题满分12 分）【2017 课标 3，理 19】如图，四面体ABCD 中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD 平面 ABC；（2）过 AC的平面交BD于点 E，若平面 AEC把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)证明略；(2)77.【解析】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）由题设及（1）知，,OA OB OC两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1ABCD由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而 E到平面 ABC的距离 为 D到平面 ABC的距离的12，即 E为 DB的中点，得3 10,22E.故小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学20.（本小题满分12 分）如图，四棱锥 PABCD的底面是边长为1 的正方形，PA底面 ABCD，E、F 分别为 AB、PC的中点（）求证：EF 平面 PAD；（）若 PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角QAP D的余弦值为55？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】（）见解析；（）满足条件的Q存在，是 EF中点（）结论：满足条件的Q存在，是 EF中点理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则 P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，12，0），F（12，12，1），由题易知平面PAD的法向量为n=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设EQEF，1(,0,1)2EF，1(,)2 2Q，1(,)2 2AQ，0，1，设 平面 PAQ的法向量为(,)x y z，由10220 xyzz，可得(1,0)，2cos,|1m nm nm n，由已知：2551，解得：12，所以满足条件的Q存在，是EF中点小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学21.（本小题满分12 分）【2016 高考天津理数】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）33（）7211,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)ABCDEFG，.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（I）证明：依题意，(2,0,0),1,1,2ADAF.设1,nx y z为平面ADF的法向量，则1100nADnAF，即2020 xxyz.不妨设1z，可得10,2,1n，又0,1,2EG，可得10EG n，又因为直线EGADF平面，所以/EGADF平面.（II）解：易证，1,1,0OA为平面OEF的一个法向量.依题 意，1,1,0,1,1,2EFCF.设2,nx y z为平面CEF的法向量，则2200nEFnCF，即020 xyxyz.不妨设1x，可得21,1,1n.因此有2226cos,3OA nOA nOAn，于是23sin,3OA n，所以，二面角OEFC的正弦值为33.（III）解：由23AHHF，得25AHAF.因为1,1,2AF，所以222 4,555 5AHAF，进而有3 3 4,5 5 5H，从而2 8 4,5 5 5BH，因此2227cos,21BHnBH nBHn.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721.22.（本小题12 分）【2016 年高考北京理数】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB，2AD，5ACCD.（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得/BM平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）33；（3）存在，14AMAP试题解析：（1）因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以PDAB，又因为PDPA，所以PD平面PAB；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）取AD的中点O，连结PO，CO，因为PAPD，所以ADPO.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为CDAC，所以ADCO.如图建立空间直角坐标系xyzO，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(PDCBA.设平面PCD的法向量为),(zyxn，则,0,0PCnPDn即,02,0zxzy令2z，则2,1 yx.所以)2,2,1(n.又)1,1,1(PB，所以33,cosPBnPBnPBn.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（3）设M是棱PA上一点，则存在 1,0使得APAM.因此点),1(),1,0(BMM.因为BM平面PCD，所以BM平面PCD当且仅当0nBM，即0)2,2,1(),1(，解得41.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时41APAM.