选修4－7优选法与试验设计初步.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,选修,4,7,优选法与试验设计初步,第一讲 优选法,一,.,什么叫优选法,二,.,单峰函数,问题提出,1.,利用线性规划原理，可以解决在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，同时还可以求得使目标函数取得最大或最小值的最优解,.,其中在可行域内寻找最优解，体现了一种优选法思想,.,2.,蒸馒头是日常生活中常做的事情，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱，如果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放多了，馒头就会发黄且有碱味,.,如果你没有做馒头的经验，也没有人可以请教，就要用数学的方法迅速找出合适的碱量标准,.,3.,在实践中的许多最优化问题，试验结果与因素的关系，有些很难用数学形式来表达，有些表达式很复杂，这需要我们学习解决这类问题的数学方法,.,优选法与,单峰函数,探究（一）：,优选法,思考,1,：,有一种商品价格竞猜游戏，参与者在只知道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞猜,.,当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以,“,高了,”,或,“,低了,”,作为提示语，再让竞猜者继续估价，在规定时间或次数内猜对了即可获得相应奖品,.,如果你参与这项活动，每次会怎么给出估价？,思考,2,：,在生产、生活和科学实验中，人们为了达到优质、高产、低耗等目的，需要对有关因素的组合进行选择，其中最佳组合简称,最佳点,，关于最佳点的选择问题，称为,优选问题,.,优选问题在生产、科研和日常生活中大量存在，如商品价格竞猜，蒸馒头放碱等都是优选问题，你能列举一个优选问题的实例吗？,思考,3,：,有一个,1,km,2,的正方形池塘，现在要找到池塘的最深点，若每隔,1,m,测量一次，大约要测量多少次？,约,10,6,次,思考,4,：,对于那些试验结果和相关因素的关系不易用数学形式表达或数学表达很复杂的优选问题，人们往往通过做试验的办法来寻找各种因素的最佳点,.,通过试验方法来求最佳点时，如果不合理安排，就可能面临什么问题？,面临大量试验,.,花费大量人力、财力和时间,.,有时可能不具有操作性,.,思考,5,：,利用数学原理，合理安排试验，以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法称为,优选法,.,那么使用优选法的目的是什么？需要进一步探究的问题是什么？,目的：,减少试验次数,.,问题：,优选法如何实施,.,探究（二）：,单峰函数,思考,1,：,在军事训练中，发射炮弹要考虑发射角多大时炮弹的射程最远，这是一个优选问题，能否用数学形式表达炮弹的射程与发射角之间的关系？,能,思考,2,：,设炮弹的初速度为,v,，发射角为,(0,90,),，在时刻,t,炮弹距发射点的水平距离为,x,，离地面的高度为,y,，空气阻力忽略不计，则在下面的直角坐标系中，炮弹飞行轨迹的参数方程和普通方程分别是什么？,(t,为参数,),x,y,O,思考,3,：,炮弹的射程,x,与发射角,之间的函数关系是什么？其图象如何？炮弹发射角的最佳点是什么？,射程,x,O,发射角,最佳点是,思考,4,：,上述结果表明，发射角在,内有唯一的最佳点 ，当发射角在,内的取值比 大些或小些时射程都近，通常称这样的试验具有,单峰性,.,一般地，怎样理解单峰性的含意？,在试验范围内有唯一的最佳点，当试验范围内变化因素的取值比最佳点再大些或最小些时，试验效果都差，而且取值距离最佳点越远试验效果越差,.,思考,5,：,下图中的两个函数称为区间,a,，,b,上的,单峰函数,，那么单峰函数的定义特征是什么？,x,y,O,a,b,C,f,(,x,),x,y,O,a,b,C,g,(,x,),函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上只有唯一的最大,(,小,),值点,C,，且在点,C,的两侧单调，并具有相反的单调性,.,思考,6,：,下列各图中的函数是区间,a,，,b,上的单峰函数吗？单峰函数一定是连续函数吗？,x,y,O,a,b,x,y,O,a,b,x,y,O,a,b,规定：区间,a,，,b,上的单调函数是单峰 函数,.,单峰函数不一定是连续函数,.,探究（三）：,因素与试点,思考,1,：,在炮弹发射试验中，除发射角外，客观上还会因哪些原因影响炮弹的射程？,初速度，空气阻力，地理位置等,.,思考,2,：,一般地，把影响试验目标的诸多原因称为,因素,.,由于全面考虑试验中的各种因素往往非常困难，常假设其中的某些因素保持不变，或忽略某些影响较小的因素，而把关注点集中在感兴趣的某个因素上,.,如果在一个试验过程中，只有（或主要有）一个因素在变化，则称这类问题为,单因素问题,.,炮弹发射试验是否为单因素问题？认为哪些因素保持不变？忽略了哪些因素？,认为初速度保持不变，忽略了空气阻力,.,思考,3,：,把试验中可以人为调控的因素叫做,可控因素,，不能人为调控的因素叫做,不可控因素,，炮弹发射试验中哪些是可控因素，哪些是不可控因素？一般地，在试验中我们感兴趣的因素是哪种因素？,发射角是可控因素，空气阻力是不可控因素，感兴趣的是可控因素,.,思考,4,：,表示试验目标与因素之间对应关系的函数称为,目标函数,，常用,x,表示因素，,f,(,x,),表示目标函数，包含最佳点的因素范围下限用,a,表示，上限用,b,表示,.,炮弹发射试验的目标函数，因素范围上、下限分别是什么？,目标函数,：,因素范围上限,：，,下限,：,0.,思考,5,：,当主要因素确定之后，接下来的任务是通过试验找出最佳点，使试验的结果（目标）最好,.,当目标函数没有表达式时，一般要选择适当的方法安排试验点（简称,试点,），选择试点方法找出最佳点的基本原则是什么？,试点个数尽可能少,.,思考,6,：,设,x,1,和,x,2,是因素范围,a,，,b,内的任意两个试点，,C,为最佳点，把两个试点中效果较好的点称为,好点,，效果较差的点称为,差点,.,若目标函数为单峰函数，则好点与差点哪个更接近最佳点？,若好点和差点在最佳点同侧，则好点比差点更接近最佳点；否则，不好说,.,x,y,O,a,b,C,f,(,x,),x,y,O,a,b,C,f,(,x,),思考,7,：,若目标函数为单峰函数，则最佳点，好点，差点的相对位置关系如何？,x,y,O,a,b,C,f,(,x,),x,y,O,a,b,C,f,(,x,),最佳点与好点必在差点的同侧,.,思考,8,：,以差点为分界点，把因素范围分成两部分，其中好点所在部分称为,存优范围,.,据此，你能设计一个找最佳点的方法吗？,不断缩小存优范围,理论迁移,例,1,据医学统计，人群中带有某种传染病毒的人所占的比例为,0.25%.,某市在一次高考体检中有,1,万名考生待检，为了查清这些考生中哪些人携带此病毒，医院采取一种叫,“,群试,”,的方法，通过血液化验进行排查,.,即把从每位考生身上抽取的血样分成两部分，一份保存备用，一份与其他若干人的血样混合在一起化验若某组混合血样中含此病毒，说明这组人中有该病毒携带者，然后利用备用血样逐个化验排查；若某组混合血样中不含此病毒，说明这组人中没有该病毒携带者，这样就可以减少化验的次数若将这,1,万名考生平均分成,200,组进行群试化验排查，那么至多做多少次化验，就一定能找出所有该病毒携带者,.,1424,次,例,2,已知函数,f,(,x,),为区间,0,，,1,上的单峰函数，且,f,(,x,),在,x,a,时取最大值，并称,a,为,峰点,，包含峰点的区间叫做,含峰区间,.,证明：对任意,x,1,，,x,2,(0,，,1),，,x,1,x,2,，若,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，则,(0,，,x,2,),为含峰区间；若,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，则,(,x,1,，,1),为含峰区间,.,例,3,已知函数,若,f,(,x,),是,0,，,4,上的单峰函数，求,a,的取值范围,.,小结作业,1.,如果影响试验的某个因素（记为,x,）处于某种状态（记为,x,x,0,）时，试验结果最好，那么这种状态（,x,x,0,）就是这个因素（,x,）的最佳点,.,2.,具有单峰性的试验是优选法研究的最简单的试验，在这样的试验中，试验结果可以表示为实验因素的单峰函数,.,3.,目标函数并不需要,f,(,x,),的真正表达式，因素范围可以用,a,到,b,的线段来表示,.,不断缩小存优范围是寻找最佳点的一个有效办法,.,选修,4,7,优选法与试验设计初步,第一讲 优选法,三,.,黄金分割法,0.618,法,问题提出,1.,优选法的含意是什么？,利用数学原理，合理安排试验，以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法,.,2.,区间,a,，,b,上的单峰函数的基本特点是什么？,函数在区间,a,，,b,上只有唯一的最大,(,小,),值点,C,，且在点,C,的两侧单调，并具有相反的单调性,.,3.,好点、差点和单峰函数存优范围的含义分别是什么？,好点：,两个试点中效果较好的点；,差点：,两个试点中效果较差的点；,存优范围：,以差点为分界点，把因素范 围分成两部分，好点所在 部分对应的范围,.,4.,优选法的基本原则是以最少的实验次数迅速找到最佳点，在实际问题中，应采取什么办法贯彻这个原则？对具有单峰性的试验，如何安排试点才能迅速找到最佳点？这才是优选法的核心内容，也是我们必须解决的问题,.,黄金分割法,探究（一）：,黄金分割常数,思考,1,：,对于单峰函数，最佳点与好点必在差点的同侧，从而可以通过不断缩小存优范围来寻找最佳点，具体如何操作？,先在因素范围,a,，,b,内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点，在差点处把,a,，,b,分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围,a,1,，,b,1,再在,a,1,，,b,1,内重复上述工作，,.,思考,2,：,假设因素区间为,0,，,1,，取两个试点,0.1,和,0.2,，则对峰值在,(0,，,0.1),内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到了什么区间？对峰值在,(0.2,，,1),内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到了什么区间？,x,y,O,0.1,1,f,(,x,),0.2,(0,，,0.2),x,y,O,0.1,1,f,(,x,),0.2,(0.1,，,1),思考,3,：,上述结果表明，如果试点选取是随意的，则对寻找单峰函数最佳点的效率会产生一定的影响,.,由于在试验之前无法预知哪个试点是好点，为了克服盲目性和侥幸心理，在每次选取两个试点时，你认为这两个试点应具有什么相对位置关系为好？,关于区间中点对称,a,b,思考,4,：,在一个区间内关于中点对称的两点有无数对，实践表明，两个试点离中点太近或太远，都不利于很快接近最佳点,.,我们设想：,每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度之比为常数,.,对单峰函数，若两个试点的试验结果一样，应如何舍去区间？,同时舍去两个试点外侧的区间,.,思考,5,：,在因素区间,a,，,b,内选取两个试点,x,1,和,x,2,，且,x,1,x,2,，由点,x,1,和,x,2,关于区间,a,，,b,的中心对称，可得什么关系？舍去的区间长度为多少？,x,1,x,2,a,b,x,2,a,b,x,1,思考,6,：,不妨设,x,2,是好点，,x,1,是差点，则舍去的区间是什么？存优范围是什么？再在存优范围内,a,，,x,1,内做试验要取几个试点？,存优范围是,a,，,x,1,x,1,x,2,a,b,舍去,(,x,1,，,b,取一个试点,x,2,a,x,1,思考,7,：,在存优范围,a,，,x,1,内取第三个试点,x,3,，则点,x,2,与,x,3,的相对位置关系如何？舍去的区间长度为多少？,x,3,关于区间,a,，,x,1,的中心对称，且点,x,3,在点,x,2,左侧，舍去的区间长度为,x,1,x,2,.,思考,8,：,根据按比例舍去原则，可得什么等式？,b,x,1,x,2,a,x,2,a,x,1,x,3,思考,9,：,将上面的等式可得,即,如何理解这个等式两边的实际意义？,b,x,1,x,2,a,x,2,a,x,1,x,3,两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间的比例数,.,思考,10,：,设 ，有什么办法求出,t,的值吗？,探究（二）：,黄金分割法,思考,1,：,称为,黄金分割常数,，用,表示，,0.618.,试验方法中，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做,黄金分割法,，也叫做,0.618,法,.,一般地，利用这个方法寻找单峰函数在因素区间,a,，,b,内的最佳点，具体如何操作？,在存优范围内取黄金分割点为试点,.,思考,2,：,炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使练出的钢满足一定的指标要求,.,假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在,1000g,到,2000g,之间，若以,1g,为间隔，把所有的可能性都做一遍试验来寻找最优点，这种方法称为,均分法,，利用均分法寻找最优点有什么缺点？,试验次数太多，在时间、人力和物力上造成浪费,.,思考,3,：,用一张纸条表示,1000,2000g,，以,1000,为起点标出刻度，如何确定第一试点,x,1,和第二试点,x,2,的值？,x,2,1382,x,1,1618,1000,2000,x,1,1000,0.618,(2000,1000),1618(g),，,x,2,1000,2000,x,1,1382(g).,思考,4,：,如果称因素范围的左右两端点值分别为,小头,和,大头,，那么,x,1,和,x,2,的直观表达式如何？,x,2,1382,x,1,1618,1000,2000,x,1,1000,0.618,(2000,1000),1618(g),，,x,2,1000,2000,x,1,1382(g).,x,1,小,0.618,(,大小,),，,x,2,小大,x,1,.,思考,5,：,用黄金分割法确定第一试点,x,1,后，,x,2,的值相当于,“,加两头，减中间,”,.,类似地，在确定第,n,个试点,x,n,时，如果存优范围内相应的好点是,x,m,，则,x,n,等于什么？,x,n,小大,x,m,x,n,x,m,小,大,思考,6,：,对前述炼钢问题，比较第一、二次试验结果，如果第二试点,x,2,是好点，则第三试点,x,3,的值如何计算？,x,3,1000,1618,1382,1236(g),x,2,1382,x,1,1618,1000,2000,思考,7,：,比较第二、三次试验结果，如果第二试点,x,2,仍是好点，则第四试点,x,4,的值如何计算？,x,4,1236,1618,1382,1472(g),x,2,1382,x,1,1618,1000,x,3,1236,思考,8,：,用,0.618,法寻找最佳点时，虽然不能保证在有限次内准确找到最佳点，但随着试验次数的增加，存优范围会越来越小，若用一个数据,n,来刻画,n,次试验后的精度，以此衡量一种试验方法的效率，则,n,应如何计算？,n,次试验后的存优范围,原始的因素范围,n,思考,9,：,用,0.618,法确定试点时，,n,次试验后的精度,n,为多少？,n,0.618,n,1,思考,10,：,用,0.618,法寻找最佳点时，若给定精度,，为了达到这个精度，至少要做多少次试验？,理论迁移,例,1,已知某因素范围是,100,，,1100,，用黄金分割法寻找最佳点，已知前,6,次试验后的好点包含在区间,700,，,750,内，求第,6,次试验后的存优范围,.,684,，,774,例,2,调酒师为了调制一种鸡尾酒，每,100kg,烈性酒中需要加入柠檬汁的量在,1kg,到,2kg,之间，用,0.618,法寻找它的最佳加入量，要求加入柠檬汁的误差不超出,1g,，问需要做多少次试验？,需要做,19,次试验,例,3,在用,0.618,法寻找最佳点的过程中，若某次试验后的存优范围是,2,，,b,且,2.382,是这个存优范围内的一个好点，求,b,的值,.,b,2.618,或,b,3.,小结作业,1.,建立黄金分割法的基本原则是：两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例,.,2.,黄金分割法主要适用于单因素单峰目标函数，第一个试点确定在因素范围的,0.618,处，后续试点可以用“加两头，减中间”来确定,.,3.,试验方法的效率常用精度,n,来反映，在相同试验次数下，精度越高，方法越好,.,作业：,P10,习题,1.3,：,1,，,2,，,3.,选修,4,7,优选法与试验设计初步,第一讲 优选法,四,.,分数法,问题提出,1.,黄金分割法的基本原则是什么？,两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例,.,2.,用黄金分割法寻找最优点时，第一个试点选在何处？后续试点的数量值如何计算？,第一个试点在因素范围的,0.618,处；,后续试点选在存优范围内，用,“,加两头，减中间,”,来确定数量值,.,3.,用黄金分割法确定试点时，,n,次试验后的精度,n,为多少？,n,0.618,n,1,4.,黄金分割法操作简单实用，是一种重要的优选法，是寻找单因素单峰目标函数最佳点的主要方法,.,但是，如果因素范围是由一些离散的点组成，就不便甚至不能利用黄金分割法来寻找最佳点,.,用此，我们希望以黄金分割法为基础，再研究一个类似的方法来弥补黄金分割法的不足,.,分数法,探究（一）：,分数法的概念,思考,1,：,在配置某种清洗液时，需要加入某种材料,.,经验表明，加入量大于,130,ml,肯定不好,.,用,150,ml,的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为,15,格，每格代表,10,ml,，能否用,0.618,法找出这种材料的最优加入量？为什么？,不方便，因为用,0.618,法算出的试点不是,10,ml,的整数倍，锥形量杯难以精确计量,.,思考,2,：,0.618,是黄金分割常数,的近似值，,是方程,2,1,0,的根，该方程可以作哪些变形？,(,1),1,，等,.,思考,3,：,将等式 右边的,反复,用 代替，可得什么关系式？,思考,4,：,上式右边是一个繁分式，叫做,无穷连分数,，为了书写简便，记作,那么这个无穷分数的前,6,项,分别为多少？,前一项的分母等于后一项的分子；,思考,5,：,依次计算无穷连分数的各项得到数列,1,，,.,这个,数列的相邻两项有什么联系？设这个数列的分子组成数列,F,n,，则数列,F,n,为,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,13,，,21,，,34,，,，这个数列有什么构成规律？,F,0,F,1,1,，,.,思考,6,：,上述数列,F,n,叫做,斐波那契,数,列，随着,n,的增大，的值与,有什么关系？,逐渐趋向于,思考,7,：,分数 可作为,的近似值，而,且,n,越大近似程度越高，数列 称为,的,渐近分数列,，称为,的第,n,项,渐,近分数,.,如果用,0.618,法确定试点不方便，可以用哪些数代替,0.618,？,用,的渐近分数,思考,8,：,在前述,“,配置清洗液,”,问题中，因素范围是,0,130,ml,，锥形量杯能精确计量,10,ml,的整数倍，用哪个渐近分数来代替,0.618,选取试点最合适？,思考,9,：,用 代替,0.618,，第,1,试点和第,2,试点对应的加入量分别为多少,ml,？若第,1,试点是好点，则第,3,试点对应的加入量为多少,ml,？,x,2,0,130,80,50,x,3,50,130,80,100,思考,10,：,在优选法中，用渐近分数近似代替,0.618,确定试点的方法叫做,分数法,，那么在什么情况下使用分数法？,因素范围由一些离散的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定值,.,探究（二）：,分数法的操作原理,思考,1,：,在测试某设备的线路中，要选一个电阻，但测试者手里只有阻值为,0.5K,，,1K,，,1.3K,，,2K,，,3K,，,5K,，,5.5K,等七种阻值不等的定值电阻，用分数法优选这个阻值有何困难？如何解决？,阻值间隔不均匀，电阻个数不是斐波那契数,.,把这些电阻由小到大排序，并在两端各增加一个虚点，使因素范围凑成,8,格,.,阻值,0.5 1 1.3 2 3 5 5.5,排序,0 1 2 3 4 5 6 7 8,3K,，,1.3K.,思考,2,：,通过上述处理，可以把阻值优,选变为排列序号优选，用渐近分数 代,替,0.618,确定试点，第,1,个试点选取哪个阻值的电阻？第,2,个试点选取哪个阻值的电阻？,思考,3,：,如果第,2,个试点是好点，则第,3,个试点选取哪个阻值的电阻？如果第,1,个试点是好点，则第,3,个试点选取哪个阻值的电阻？,5K.,1K.,思考,4,：,分数法的基本思想是用适当的渐近分数代替,0.618,，再类似黄金分割法的操作原理选取试点,.,设某试验的因素范围是,0,，,1,，如果只能做,1,次试验，则应取哪个渐近分数代替,0.618,？试点选在何处？精度为多少？,精度为,0.5.,0,1,思考,5,：,设某试验的因素范围是,0,，,1,，如果只能做,2,次试验，则应取哪个渐近分数代替,0.618,？两个试点分别选在何处？精度为多少？,第,1,试点选在 处，第,2,试点选在 处，,精度为,.,思考,6,：,如果只能做,3,次试验，则应取哪个渐近分数代替,0.618,？精度为多少？一般地，如果只能做,k,次试验，则应取哪个渐近分数代替,0.618,？精度为多少？,0,1,渐近分数取 ，精度为 ；,渐近分数取 ，精度为,.,思考,7,：,用分数法安排试点时，若可能的试点总数正好是某一个,F,n,1,，则第,1,，,2,个试点分别选哪个点？经过两次试验后，存优范围中还剩下多少个试点可能是最佳点？,F,n,F,n,1,F,n,2,F,n,1,0,1,第,F,n,1,和,F,n,2,点，剩,F,n,1,1,个,试点,.,思考,8,：,在,F,n,1,个可能的试点中，最多做多少次试验就能找到其中的最佳点？,最多做,n,1,次试验,思考,9,：,若可能的试点总数大于某一个,F,n,1,，且小于某一个,F,n,1,1,，用分数法安排试点时应作如何处理？,把所有可能的试点减少为,F,n,1,个，或增设几个虚点凑成,F,n,1,1,个,.,思考,10,：,一般地，用分数法安排试点的操作步骤如何？,（,1,）将试点个数调整为,F,n,1,个；,（,2,）用 代替,0.618,确定第一个试点；,（,3,）用,“,加两头，减中间,”,的方法确定后续试点,.,思考,11,：,对目标函数为单峰的情形，用分数法寻找最佳点的试验次数与试点个数有什么关系？,（,1,）当因素范围内有,F,n,1,1,个试点时，最多只需作,n,次试验就能找出其中的最佳点,.,（,2,）通过,n,次试验，最多能从,F,n,1,1,个试点中保证找出最佳点,.,（,3,）只有按照分数法安排试点，才能通过,n,次试验保证从,F,n,1,1,个试点中找出最佳点,.,理论迁移,例 某化工厂拟对某一化工产品进行技术改良，需要优选加工温度，试验范围定为,60,80,C,，精度要求,1,，技术员准备用分数法进行优选,.,（,1,）如何安排试验？,（,2,）最多通过几次试验就可以找出最佳点？,（,3,）若最佳点为,70,C,，求各试点的值,.,小结作业,1.,分数法适用于单因素单峰函数的因素范围由一些离散的点组成，试点只能取某些特定值的情形，其基本思想是用适当的渐近分数代替,0.618,，然后按类似黄金分割法的操作原理选取试点,.,即先用渐近分数确定第一个试点，后续试点可以用,“,加两头，减中间,”,的方法来确定,.,2.,现实中，由于时间、人力、物力和财力的关系，往往使试验次数受到限制，这种情况下采用分数法可以达到较好的效果,.,当试点个数一定时，用分数法找出其中的最佳点的试验次数最少,.,3.,若因素范围内的试点将试验范围所分的段数不是斐波那契数，则可以通过减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契数,.,作业：,P17,习题,1.4,：,1,，,2,，,3.,选修,4,7,优选法与试验设计初步,第一讲 优选法,五,.,其他几种常用的优选法,问题提出,1.,斐波那契数列,F,n,的构成规律是什么？,F,0,F,1,1,，,.,2.,分数法的基本思想与适用范围是什么？,用渐近分数 近似代替,0.618,确定试点的方法,.,适用于单因素单峰函数的因素范围由一些离散的点组成，试点只能取某些特定值的情形,.,3.,用分数法安排试点的操作步骤如何？,将试点个数调整为,F,n,1,个,用 代替,0.618,确定第一个试点,用,“,加两头，减中间,”,的方法确定后续试点,.,4.,分数法寻找最佳点的试验次数与试点个数有什么关系？,（,1,）当因素范围内有,F,n,1,1,个试点时，最多只需作,n,次试验就能找出其中的最佳点,.,（,2,）通过,n,次试验，最多能从,F,n,1,1,个试点中保证找出最佳点,.,（,3,）只有按照分数法安排试点，才能通过,n,次试验保证从,F,n,1,1,个试点中找出最佳点,.,5.,分数法与黄金分割法都是有效的优选法，其操作原理基本类似，其主要区别是分数法用渐近数确定第一个试点，黄金分割法用,0.618,确定第一个试点，其共同点是用,“,加两头，减中间,”,确定后续试点,.,由于这两种优选法的适应范围各有其局限性，同时，利用这两种方法解决某些优选问题需要较多的试验次数，因此，我们还得有一些其他的优选法作为补充,.,其他几种常,用的优选法,探究（一）：,对分法,思考,1,：,在商品价格竞猜游戏中，竞猜者以怎样的方式估价，可以尽快猜对商品的价格？,每次取存优范围的中点值作为估价,.,思考,2,：,有一条,10km,长的输电线路出现了故障，在线路的一端,A,处有电，在另一端,B,处没有电，你有什么办法通过试点迅速查出故障所在位置？,每次取存优范围的中点作为试点,.,思考,3,：,上述安排试点的方法称为,对分法,，那么对分法的操作步骤是什么？,取因素范围的中点为试点,根据试验结果截去范围的一半,在存优范围内重复上述操作，直至找出最佳点,.,思考,4,：,并不是所有优选问题都可以用对分法，那么对分法的适应条件是什么？,（,1,）有一个鉴别试验结果好坏的标准；,（,2,）能根据每次试验结果预知下个试点的存优范围,.,思考,5,：,利用对分法作,n,次试验，所达到的精度为多少？,思考,6,：,分别用,0.618,法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法更为有效？为什么？,对分法更有效,.,第一，合适的放碱量事先有明确的标准 第二，用对分法取试点计算要方便；第三，同样多次试验对分法的精度要高，用对分法能以较少次数的试验找到最佳点,.,探究（二）：,盲人爬山法,思考,1,：,当电视机画面有,“,雪花,”,时，可以用遥控器进行频道微调，使画面达到清晰状态，具体如何操作？,先往前面方向微调，如果画面清晰一些了就继续往这个方向微调，否则就往后面方向微调,.,如果前后微调的清晰度都比某点低，则该点为清晰状态最佳点,.,思考,2,：,一个盲人爬山时已到某处，假设山是单峰的，且只有一条直道经过山顶，试设想他如何判断其立足之处是否为山顶？,对前后两个方向进行试探，如果前面高了，就向前走一步，否则试探后面,.,如果前后都比某点低，就说明到达山顶了,.,思考,3,：,对单因素单峰试验，利用上述思想寻找最佳点具体如何操作？,根据经验或估计找一个起点,A,，在因素的减方向找一个试点,B,若,B,是好点，就继续减少，若,A,是好点，在因素的增方向找一个试点,C,若,C,是好点，就继续增加,如果增加到某点时是差点，就减少增加的步长，直至找出最佳点,.,思考,4,：,上述确定试点的方法称为,盲人爬山法,，这种方法的效果快慢与哪些要素有关？,起点，每步间隔的大小,.,思考,5,：,为提高盲人爬山法的试验效果，从开始试点到找到最佳点，每步间隔的大小大致如何安排比较合理？,两头小，中间大,.,探究（三）：,分批试验法,思考,1,：,0.618,法，分数法，对分法，爬山法的共同特点是，后续试验的安排依赖于前面的试验结果,.,优点是总的试验次数少，缺点是若试验结果需要很长时间才能得到，则试验周期累加耗时太多,.,为了缩短试验总时间，加快试验进度，你有什么新的想法？,（,1,）把所有可能的试验同时安排进行，根据试验结果找出最佳点,.,（,2,）把全部试验分几批做，每一批同时安排几个试验，并进行比较，直到找出最佳点,.,思考,2,：,上述试验方法称为,分批试验法,，利用这种方法寻找最佳点，需要解决的技术问题是什么？,如何合理分批，每批如何安排试验,.,思考,3,：,如图，将因素范围,a,，,b,均分为,3,份，取两个分点,x,1,，,x,2,为试点各做一次试验,.,若,x,1,为好点，则存优范围为,a,，,x,2,，再将该存优范围均分为,4,份，取两个分点,x,3,，,x,4,为试点各做一次试验，若,x,3,为好点，则存优范围为,a,，,x,1,，再将该存优范围均分为,4,份，取两个分点,x,5,，,x,6,为试点各做一次试验，依次类推，直到找出最佳点,.,这是一种,均分分批试验法,，这种方法每批安排几个试点，第,n,次试验后的精度如何计算？,x,2,x,1,a,b,x,2,x,1,a,x,4,x,3,思考,4,：,均分分批试验法每批可以做,2,n,个试验，首先把试验范围均分为,2,n,1,份，产生,2,n,个均分点,x,1,，,x,2,，,，,x,2,n,，以每个均分点为试点各做一次试验，比较其试验结果,.,如果,x,i,最好，则存优范围为,(,x,i,1,，,x,i,1,),，然后将该范围均分为,2,n,2,份，在,x,i,两侧各产生,n,个分点，以这,2,n,个均分点为试点再做试验，如此反复，就能找到最佳点,.,用这个方法做分批试验，每批试验后的存优范围如何变化？,第一批试验后的存优范围为原来的,倍，以后每批试验后的存优范围都为前,次留下范围的 倍,.,思考,5,：,在分批试验中，可以将第,1,批试点按比例安排在试验范围内,.,若每批做,2,个试验，则将因素范围,7,等分，第一批两个试点安排在第,3,，,4,两个点上进行,.,设第,4,个分点为好点，则存优范围为第,3,个分点到右端，第二批两个试点安排在第,5,，,6,两个点上进行,.,再将存优范围,4,等分，第三批两个试点安排在新增的两个分点上进行,.,如此反复，直到找出最佳点,.,这是一种,比例分割分批试验法,，第,n,次试验后的精度如何计算？,1,0,7,2,3,4,5,6,思考,6,：,比例分割分批试验法每批可以做,2n,个试验，类似上述原理，若每批做,4,个试验，则要将因素范围几等分？第一批,4,个试点如何安排？,1,0,7,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,分成,17,等分，第一批试点安排在第,5,，,6,，,11,，,12,四个点上,.,思考,7,：,若第一批四个试点中第,6,个点为好点，则第二批,4,个试点如何安排？,第二批试点安排在第,7,，,8,，,9,，,10,四个点上,.,思考,8,：,用比例分割分批试验法，每批分别做,2,个，,4,个，,6,个，,8,个试验，第一批试点的位置有什么分布规律？,2,2,4,4,4,6,6,6,6,8,8,8,8,8,探究（四）：,多峰的情形,思考,1,：,前面介绍的方法都只适用于,“,单峰,”,的情况，若实际问题是,“,多峰,”,情形，用前述方法找到一个,“,峰,”,以后怎么处理？,如果达到预先要求，就先用于实际问题，以后再找其他更高的,“,峰,”,.,思考,2,：,先做一批分布比较均匀的试验，看是否有,“,多峰,”,现象，如果有则如何处理？,分区间寻找，在每个可能出现,“,高峰,”,的范围内做试验，找出这些,“,峰,”,.,思考,3,：,如图，第一批试点一般按,0.6180.382,划分，使得有峰值的范围总是成,(,，,),或,(,，,),，这样处理有什么好处？,对每个留下的区域应用,0.618,法就可以,利用已做过的试验结果，从而减少试验次数,.,理论迁移,例 某试验的因素范围是,(3,，,18),，用均分分批试验法寻找最佳点，每批安排,4,个试验,.,（,1,）如何安排第一批试点；,（,2,）若第一批试点中从左到右第,3,个试点是好点，如何安排第二批试点,.,第一批,4,个试点值分别为,6,，,9,，,12,，,15.,第二批,4,个试点值分别为,10,，,11,，,13,，,14.,小结作业,1.,如果每作一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向，就可以用对分法寻找最佳点,.,相对于,0.618,法和分数法，对分法更简单，易操作,.,2.,盲人爬山法是一种采用小步调调整策略的优选法，在生产实践和科学试验中，如果某些因素不允许大幅度调整，可以用盲人爬山法寻找最佳点,.,3.,分批试验法每批同时做几个试验，可以加快试验进度，根据存优范围越小效率越高的原理，比例分割法比均分法效果要好,.,4.,优选法主要针对单峰情形，对多峰问题应转化为单峰问题,.,作业：,P23,习题,1.5,：,1,，,3,，,4,，,5,，,6.,选修,4,7,优选法与试验设计初步,第一讲 优选法,六,.,多因素方法,问题提出,1.,对分法的操作原理是什么？,取因素范围的中点为试点根据试验结果截去范围的一半在存优范围内重复上述操作，直至找出最佳点,.,2.,盲人爬山法的操作原理是什么？,根据经验或估计找一个起点,A,，在因素的减方向找一个试点,B,若,B,是好点，就继续减少，若,A,是好点，在因素的增方向找一个试点,C,若,C,是好点，就继续增加如果增加到某点时是差点，就减少增加的步长，直至找出最佳点,.,3.,均分分批试验法的操作原理是什么？,把试验范围均分为,2n,1,份，产生,2n,个均分点,x,1,，,x,2,，,，,x,2,n,，以每个均分点为试点各做一次试验，比较其试验结果,.,如果,x,i,最好，则存优范围为,(,x,i,1,，,x,i,1,),，然后将该范围均分为,2n,2,份，在,x,i,两侧各产生,n,个分点，以这,2n,个均分点为试点再做试验，如此反复，直至找到最佳点,.,4.,比例分割分批试验法，第一批试点的位置有什么分布规律？,2,2,4,4,4,6,6,6,6,8,8,8,8,8,5.,黄金分割法，分数法，对分法，盲人爬山法，分批试验法等，是解决单因素单峰情形的优选方法，对多峰的情形，一般转化为单峰情形来解决,.,但在现实中，我们会遇到多因素优选问题，即试验效果同时受到两个或两个以上因素的影响，从而需要有解决这类问题的办法,.,多因素方法,探究（一）：,纵横对折法和从好点出发法,思考,1,：,设某个优选问题同时受到某两个因素的影响，用,x,，,y,表示两个因素的取值，,z,f,(x,，,y),表示目标函数，那么双因素优选问题的本质是什么？,迅速找到二元目标函数,z,f,(x,，,y),的最大值或最小值及其对应的点,(x,，,y).,思考,2,：,假设函数,z,f,(x,，,y),在某一区域内单峰，其几何意义是把曲面,z,f,(x,，,y),看作一座山，顶峰只有一个，从几何上如何理解双因素优选问题的本质？,z,x,y,迅速找到曲面的最高峰,.,思考,3,：,把试验范围内,z,f,(x,，,y),取同一值的曲线叫做等高线，各条等高线在水平面上的投影是一圈套一圈的曲线，那么双因素优选问题转化为寻找哪圈等高线？,z,x,y,最里边的一圈等高线,.,思考,4,：,以横坐标表示因素,，纵坐标表示因素,，假设因素,的试验范围为,a,1,，,b,1,，因素,的试验范围为,a,2,，,b,2,用什么策略寻找峰顶在水平面上的投影点？,先固定一个因素，对另一个因素进行优选，再固定第二个因素，对第一个因素进行优选,.,思考,5,：,如图，先将因素,固定在试验范围的中点,c,1,处，对因素,进行单因素优选，得到最佳点,A,1,；再将因素,固定在试验范围的中点,c,2,处，对因素,进行单因素优选，得到最佳点,B,1,，比较点,A,1,和,B,1,的试验结果，若,B,1,是好