疲劳和断裂第六讲.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 表面裂纹,6.3,弯曲载荷下有限体中表面裂纹的,K,6.1,拉伸载荷下无限大体中的表面裂纹,6.2,拉伸载荷下有限体中表面裂纹的,K,返回主目录,1,第六章 表面裂纹,结构中,的裂纹,材料、加工缺陷,疲劳载荷下萌生,表面或埋藏裂纹的形状一般用半椭圆描述。,2t,2W,2c,a,t,(a),埋藏裂纹,t,W,a,(c),角裂纹,c,t,2W,a,2c,(b),表面裂纹,埋藏裂纹,或,表面裂纹,非穿透的表面或埋藏裂纹,飞机轮毂疲劳断口,孔边角裂纹 断口,2,2t,2W,t,2R,c,a,(d),孔壁表面裂纹,(e),孔壁角裂纹,t,2W,a,2R,c,表面裂纹是三维问题，其应力强度因子的计算，,对于断裂分析、疲劳裂纹扩展寿命估计十分重要。,由于问题的复杂性，难以得到解析解。,本章主要介绍若干可用的近似、数值解及其应用，,不讨论应力强度因子的具体求解过程。,3,6.1,拉伸载荷下无限大体中的表面裂纹,1.,无限大体中埋藏椭圆裂纹的应力强度因子,Irwin,于,1962,年给出的精确解为：,4,/,1,2,2,2,2,),cos,(sin,),(,q,q,p,s,c,a,k,E,a,K,t,+,=,(6-1),x,y,z,s,s,x,y,q,0,a,c,t,t,a,、,c,为椭圆裂纹的,短、长半轴；,式中,K,是,K,，,1,s,为远场拉伸正应力；,t,4,E(k),为第二类完全椭圆积分，即：,q,q,p,d,c,a,c,k,E,2,/,1,2,2,/,0,2,2,2,),sin,1,(,),(,-,-,=,对于给定的,a,、,c,，,积分,E(k),为常数。,可见，椭圆裂纹周边的应力强度因子,K,随,而变化,。,为过裂纹周线上任一点的径向线与长轴之夹角。,4,/,1,2,2,2,2,),cos,(sin,),(,q,q,p,s,c,a,k,E,a,K,t,+,=,(6-1),x,y,q,0,a,c,),(,),2,/,(,k,E,a,K,t,p,s,p,=,=,/,2,时，在短轴方向裂尖，,K,最大，且有：,2,2,2,2,)=0,cos,(sin,q,q,c,a,+,d,d,q,极值条件：,Sin,q,cos,q,=0,=,/2;,=,0,极值点：,5,c,为长,2,a,的穿透裂纹。,(c,2,-,a,2,)/c,2,1,E(k)=1,故短轴方向（裂纹深度方向）裂尖的,K,为：,a,K,t,p,s,=,=0,时，在长轴方向裂尖，,K,最小，且：,c,a,k,E,a,K,t,),(,),0,(,p,s,=,注意，,a,c,正是无限大体中穿透裂纹尖端的应力强度因子解。,若,a,/c=1,为圆盘形裂纹。此时有,E(k)=,/2,故由,(6-1),式显然可知：,a,K,t,p,s,p,2,=,q,q,p,d,c,a,c,k,E,2,/,1,2,2,/,0,2,2,2,),sin,1,(,),(,-,-,=,6,4,/,1,2,2,2,2,),cos,(sin,),(,q,q,p,s,c,a,k,E,a,M,K,t,f,+,=,y,z,s,s,x,x,y,q,a,0,c,2.,半无限大体中半椭圆表面裂纹的应力强度因子,将无限大体沿,y=0,的平面切开。,被切除部分对,半椭圆表面裂纹尖端场,的影响，用,M,修正。,由,(6-1),式，应力强度因子可写为：,f,M,称为前自由表面修正系数。,只要确定了,M,，,就可给出,K,。,f,f,为估计系数,M,，,先讨论二种极端情况。,f,7,此时，半无限大体中的表面裂纹成为,长度为,a,的单边穿透裂纹。,其应力强度因子,K,已知为：,a,K,t,p,s,1215,.,1,=,另一方面，前面讨论了,无限大体中,的埋藏椭圆裂纹，考虑表面裂纹的,前表面修正，有：,a,M,K,t,f,p,s,=,情况,1,：,c,a,/c,0,y,z,s,s,x,x,y,q,a,0,c,t,t,二式相比较，应有：,M,（,/2,）,=1.1215 (,a,/c,0,时,),f,8,F.W.Smith,得到拉伸载荷作用下半空间中表面半圆,形裂纹最深处,(,=,/2),的应力强度因子为：,a,K,t,p,s,p,2,03,.,1,=,情况,2,：,a,=c,a,/c=1,，,半圆形表面裂纹,利用前述无限大体中埋藏裂纹的应力强度因子解，,进行前表面修正，有：,a,K,t,p,s,p,),/,2,(,=,M,f,二相比较，对半无限体中的半圆形表面裂纹，应有：,M (,/2)=1.03 (,a,/c=1,时,),f,可知：,M,与,a,/c,有关。在裂纹最深处,(,=,/2),，,a,/c,从,0,到,1,连续变化时，,1.03,M,1.1215,f,f,9,第一式具有简单的线性形式；与第二式相差不到,1%,。,基于上述讨论，进一步用各种方法进行数值计算，,给出一些前表面修正系数,M,表达式，如：,f(,=,/2),M,1.02,1.06,1.10,1.00,1.08,1.04,1.12,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,a/c,Maddox,Kobayashi,Scott,f（,/2）,),75,.,0,1,(,12,.,0,1,),2,/,(,c,a,M,f,-,+,=,p,Maddox:,2,),2,/,(,),2,1,(,12,.,0,1,c,a,M,f,-,+,=,p,Kobayashi:,2,/,1,),2,/,(,),(,07,.,0,13,.,1,c,a,M,f,-,=,p,Scott:,Scott(1981),给出的第三式在预测半椭圆裂纹疲劳扩,展形状改变时，结果更好，与前二者最大相差,3%,。,10,),(,),2,/,(,),2,/,(,k,E,a,M,K,t,f,p,s,p,p,=,表面裂纹最深处,(,=,/2),的应力强度因子则写为：,4,/,1,2,2,2,2,),cos,(sin,),(,q,q,p,s,c,a,k,E,a,M,K,t,f,+,=,半无限体中半椭圆表面裂纹的应力强度因子为：,我们关心的还有半椭圆裂纹表面,(,=0),处的,应力强度因子。,若裂纹尺寸,a,、,c,已知，则,E(k),、,M,、,K,均可计算。,f,11,),(,),(,),0,(,),0,(,k,E,a,M,c,a,k,E,a,M,K,t,f,t,f,p,s,p,s,=,=,半椭圆裂纹表面,(,=0),处的应力强度因子可写为：,c,a,c,a,c,a,M,f,),(,1,.,0,1,.,0,21,.,1,4,),0,(,+,-,=,综合若干数值分析结果，,Scott,给出计算半椭圆裂纹表,面处的应力强度因子的前表面修正系数,M,为：,f,(0),当,a,/c=1,时，,M =1.21,；,此时还有,E(k)=,/2,半无限大体中半圆形表面裂纹表面处的,K,：,a,K,t,p,s,p,2,21,.,1,),0,(,=,f,(0),12,本节介绍,Newman,和,Raju(1983),用三维有限,元计算，系统研究有限体中三维裂纹在拉伸载,荷作用下的应力强度因子后给出的结果。,6.2,拉伸载荷作用下有限体中,表面裂纹的应力强度因子,若零、构件的尺寸与裂纹尺寸相差不很大，,则用无限大体中裂纹的解，将有较大的误差。,因此，需要研究有限尺寸对裂纹尖端应力强度,因子的影响。,13,1.,埋藏椭圆裂纹,x,y,a,c,f,x,y,c,f,a,埋藏裂纹及其裂纹角,2t,2W,2c,a,t,且满足：当,0,a,/c,0.2,时，,a,/t1.25(0.6+,a,/c),；,当,0.2,a,/c,时，,a,/t1,x,y,z,s,s,t,t,W,t,应力强度因子可表达为：,),(,),(,k,E,a,W,c,t,a,c,a,F,K,t,e,p,s,f,=,适用条件：,0,a,/c,c/W,=,),1,/,(,),1,/,(,1,1,c,a,a,c,c,a,M,2,/,3,2,),(,11,.,0,05,.,0,c,a,M,+,=,式中,:,+,+,=,),1,/,(,cos,sin,),/,(,),1,/,(,sin,cos,),/,(,4,/,1,2,2,2,4,/,1,2,2,2,c,a,c,a,c,a,c,a,f,f,f,f,f,f,(6-11),式中,F,是几何修正函数，考虑到裂纹形状比,a,/c,有限厚度,a,/t,，,有限宽度,a,/W,及裂纹角,等无量纲几何参数的影响。故,F,可进一步写为：,a,a,4,2,W,e,f,f,g,t,M,t,M,M,F,f,1,3,2,1,),(,),(,+,+,=,(6-10),e,e,15,2,/,1,),2,sec(,t,a,W,c,f,W,p,=,注意，裂纹尺寸,a,、,c,一般不大，故若,W,很大，则有限宽修正系数,f,趋近于,1,。,W,为便于计算，,E(k),用数值拟合法近似表达为：,（,6-13,）,上述近似表达式的误差小于,0.13%,。,+,+,=,),1,/,(,),/,(,464,.,1,1,),1,/,(,),/,(,464,.,1,1,),(,2,/,1,65,.,1,2,/,1,65,.,1,c,a,a,c,c,a,c,a,k,E,当,t,W,时，,a,/t,0,f =1,g =1,则,F=M f ,恰好就是无限大体中埋藏椭圆裂纹的解。,W,1,e,1,),/,(,4,1,cos,),/,(,1,4,1,c,a,t,a,g,+,-,=,f,a,a,4,2,W,e,f,f,g,t,M,t,M,M,F,f,1,3,2,1,),(,),(,+,+,=,(6-10),16,2.,半椭圆表面裂纹,t,2W,2c,a,拉伸载荷下，半椭圆表面裂纹有,),(,),(,k,E,a,W,c,t,a,c,a,F,K,t,s,p,s,f,=,y,z,s,s,x,t,t,上式的适用范围为：,0,a,/c2,c/W0.5,0,且 当,0,a,/c,0.2,时，,a,/t1.25(0.6+,a,/c),当,0.2,a,/c,时，,a,/t1,二种情况给出。,当,a,/c,1,时有：,),/,(,09,.,0,13,.,1,1,c,a,M,-,=,),/,(,2,.,0,/,89,.,0,54,.,0,2,c,a,M,+,+,-,=,24,3,),1,(,14,),(,65,.,0,1,5,.,0,c,a,c,a,M,-,+,+,-,=,2,2,1,),sin,1,(,),/,(,35,.,0,1,.,0,1,f,-,+,+,=,t,a,g,当,a,/c1,时有：,a,c,a,c,M,),/,(,04,.,0,1,1,+,=,4,2,),/,(,2,.,0,a,c,M,=,4,3,),/,(,11,.,0,a,c,M,-,=,2,2,1,),sin,1,(,),/,)(,/,(,35,.,0,1,.,0,1,f,-,+,+,=,t,a,a,c,g,f,、,f,和,E(k),仍由前述各式给出。,W,18,解：,半椭圆表面裂纹的应力强度因子为：,),(,),(,k,E,a,W,c,t,a,c,a,F,K,t,s,p,s,f,=,0,a,/c=0.22,c/W=0.050.5,a,/t=1/121,；,满足上式的适用范围。,例,6.1,W=100mm,，,t=12mm,的板中有一半椭圆表面裂纹，,a,=1mm,，,c=5mm,。,受,=600MPa,拉伸载荷作用，试求裂纹最深处,(,=,/2),的应力强度因子,K,。,/2,表面裂纹的几何修正函数,F,为：,W,s,f,f,g,t,a,M,t,a,M,M,F,f,1,4,3,2,2,1,),(,),(,+,+,=,s,19,且有：,=1,=,1.0001,1,4,/,1,2,2,2,sin,cos,),/,(,f,f,f,+,=,c,a,f,2,/,1,2,/,1,),12,1,200,5,sec(,),2,sec(,p,p,=,=,t,a,W,c,f,W,注意到本题,a,/c,1,，,故有：,=1.112,=1.685,；,=,-,0.61,；,=1,),/,(,09,.,0,13,.,1,1,c,a,M,-,=,),/,(,2,.,0,/,89,.,0,54,.,0,2,c,a,M,+,+,-,=,24,3,),1,(,14,),(,65,.,0,1,5,.,0,c,a,c,a,M,-,+,+,-,=,2,2,1,),sin,1,(,),/,(,35,.,0,1,.,0,1,f,-,+,+,=,t,a,g,修正系数为：,=1.128,.,1,),12,1,(,61,.,0,),12,1,(,685,.,1,112,.,1,4,2,-,+,=,s,F,20,且由（,6-13,）式可知，当,a,/c=0.21,时，有：,=1.05,2,/,1,65,.,1,),/,(,464,.,1,1,),(,c,a,k,E,+,=,讨论：在表面处（,=0,），有,g,1=1.103,且,:,=0.4472,4,/,1,2,2,2,sin,cos,),/,(,f,f,f,+,=,c,a,f,故可得到：,=36.1 MPa,05,.,1,001,.,0,600,128,.,1,2,/,p,p,=,K,m,其余各量不变，可知修正系数为：,F,=1.128,1.103,0.4472=0.5543,s,裂纹表面处的应力强度因子,K,为：,K =39.7,0.5543=22 Mpa,m,0,0,21,汇 总：,1),表面裂纹是工程实际中最常见的。,高应力区一般在零、构件表面。疲劳,载荷作用下萌生的裂纹大都起源于应,力水平高的表面。,2),表面裂纹通常可用半椭圆描述其形,状。,22,当,=0,时，即在长轴方向的裂纹尖端，应力强度因子最小，且：,无限大体中圆盘形埋藏裂纹（,a,/c=1,）,的应力强度因子处处相同且：,c,a,k,E,a,K,t,),(,),0,(,p,s,=,a,K,t,p,s,p,2,=,3),无限大体中埋藏椭圆裂纹周边的应力强度因子,是不同的，在拉伸应力场内作用下，当,=,/2,时，即在短轴方向的裂纹尖端，应力强度因子,最大，且有：,),(,k,E,a,t,p,s,),2,/,(,K,p,=,23,4,）拉伸载荷作用下，半无限大体中半椭圆表面裂纹的应力强度因子为：,4,/,1,2,2,2,2,),cos,(sin,),(,q,q,p,s,c,a,k,E,a,M,K,t,f,+,=,故当裂纹的形状比,a,/c,从,0-1,连续变化时，前表面 修正系数,M,之值应在,1.03-1.1215,之间。,f,当,a,/c=1,时，拉伸载荷作用下表面半圆形裂纹最深,处的应力强度因子为：,a,K,t,p,s,p,2,03,.,1,=,当,c,a,/c,0,时,(,穿透裂纹,),，,a,K,t,p,s,1215,.,1,=,24,研究思路,无限大体中埋藏椭圆裂纹,x,y,z,s,s,x,y,q,0,a,c,t,t,K,),0,(,),2,/,(,K,p,c,穿透裂纹,沿,y=0,切开,半椭圆表面裂纹,，前表面修正,M,。,f,c,a,/c,0,单边穿透裂纹,a,=c,a,/c=1,，,半圆形表面裂纹,二种极端情况,y,z,s,s,x,x,y,q,a,0,c,t,t,沿,y=t,切开，,x,=W,切开，,厚度、宽度等修正。,25,Fracture analysis of a linear elastic structure,becomes relatively straightforward,once a K,solution is obtained for the geometry of,interest.Stress intensity solution can come,from a number of sources,including,handbooks,the published literature,experiments,and numerical analysis.,一旦获得了所研究之几何条件下的,K,解，线弹性,结构的断裂分析就比较简单了。应力强度因子解,可由手册、发表的文献、实验和数值分析等多种,途径获得。,26,拉伸载荷下，无限大体中埋藏椭圆裂纹的,K,：,4,/,1,2,2,2,2,),cos,(sin,),(,q,q,p,s,c,a,k,E,a,K,t,+,=,(6-1),在短轴方向,(,=,/2)K,最大，且：,),(,k,E,a,t,p,s,),2,/,(,K,p,=,在长轴方向,(,=0)K,最小，且：,c,a,k,E,a,K,t,),(,),0,(,p,s,=,半无限大体中半椭圆表面裂纹的,K,：,4,/,1,2,2,2,2,),cos,(sin,),(,q,q,p,s,c,a,k,E,a,M,K,t,f,+,=,有限体中半椭圆表面裂纹：,),(,),(,k,E,a,W,c,t,a,c,a,F,K,t,s,p,s,f,=,27,3.,四分之一椭圆角裂纹,t,W,c,a,应力强度因子为：,(6-15),),(,),(,k,E,a,t,a,c,a,F,K,t,c,p,s,f,=,适用范围为：,0.2,a,/c2,a,/t1,c/W1,时有：,;,a,c,a,c,M,),/,(,03,.,0,08,.,1,1,-,=,2,2,),/,(,375,.,0,a,c,M,=,2,3,),/,(,25,.,0,a,c,M,-,=,3,2,1,),sin,1,(,),/,(,4,.,0,08,.,0,1,f,-,+,+,=,t,c,g,3,2,2,),cos,1,(,),/,(,15,.,0,08,.,0,1,f,-,+,+,=,t,c,g,f,和,E(k),仍由,(6-11),和,(6-13),式给出。,29,孔壁裂纹十分常见。图示在孔壁,有二对称半椭圆表面裂纹的,K,为：,4.,孔壁半椭圆表面裂纹,2t,2W,t,2R,c,a,c,上式的适用范围为：,0.2,a,/c,2,a,/t1,0.5,R/t,2,(R+c)/W,=,),1,/,(,),1,/,(,1,1,c,a,a,c,c,a,M,2,/,3,2,),(,11,.,0,05,.,0,c,a,M,+,=,2,/,3,3,),(,23,.,0,29,.,0,c,a,M,+,=,),/,(,4,1,cos,),/,(,1,4,1,c,a,t,a,g,+,-,=,f,),08,.,0,1,/(,),156,.,2,578,.,1,425,.,1,358,.,0,1,(,2,4,3,2,2,l,l,l,l,l,+,+,-,+,+,=,g,10,2,3,),/,1,(,),cos,1,(,1,.,0,1,t,a,g,+,-,+,=,f,;,;,式中,M,、,M,、,M,及,g,与埋藏椭圆裂纹情况相同,g,中的,为：,1,),9,.,0,cos(,),/,(,1,-,+,=,f,l,R,c,1,2,3,1,2,31,式中,n,为裂纹数，对于二对称孔壁表面裂纹，,n=2,；,若为单侧孔壁裂纹，,n=1,。,f,仍由,(6-11),式给出,有限宽度修正函数,f,为：,（,6-16,）,W,2,/,1,),2,),(,4,),2,(,sec(,),2,sec(,t,a,nc,c,W,nc,R,W,R,f,W,+,-,+,=,p,p,单侧孔壁半椭圆表面裂纹的应力强度因子，可利用,二对称孔壁表面裂纹的解，按下式估算：,2,2,/,1,1,),4,/(,),2,4,(,=,=,+,+,=,n,n,K,tR,ac,tR,ac,K,p,p,式中，,K,是二对称孔壁表面裂纹的解，但有限宽度,修正应按,n=1,计算；,K,即单侧孔壁表面裂纹的解。,n=2,n=1,32,5.,孔边,1/4,椭圆角裂纹,t,2W,2R,c,a,c,孔边有二对称,1/4,椭圆角裂纹,的应力强度因子可以表达为：,),(,),(,k,E,a,W,c,W,R,t,R,t,a,c,a,F,K,t,ch,p,s,f,=,(6-18),适用范围：,0.2,a,/c,2,a,/t1,0.5,R/t,1,(R+c)/W1,时有：,a,c,a,c,M,),/,(,04,.,0,1,1,+,=,4,2,),/,(,2,.,0,a,c,M,=,4,3,),/,(,11,.,0,a,c,M,-,=,2,2,1,),sin,1,(,),/,)(,/,(,35,.,0,1,.,0,1,f,-,+,+,=,t,a,a,c,g,；,注意，上述各函数与半椭圆表面裂纹相同；,修正函数,f,、,f,由,(6-11),和,(6-16),式给出。,W,34,单侧孔边角裂纹的应力强度因子，同样可以利用,双侧对称孔边角裂纹的解估算。,实验结果表明上述估算是工程中可接受的。,还有：,),13,.,0,1,/(,),156,.,2,578,.,1,425,.,1,358,.,0,1,(,2,4,3,2,2,l,l,l,l,l,+,+,-,+,+,=,g,1,),85,.,0,cos(,),/,(,1,-,+,=,f,l,R,c,(0.2,a,/c,2),+,-,+,-,+,-,+,+,=,),1,/,(,),/,(,15,.,0,85,.,0,),cos,1,(,1,.,0,1,),/,09,.,0,13,.,1,(,),1,/,(,),/,(,15,.,0,85,.,0,),cos,1,(,1,.,0,1,),/,04,.,0,1,(,4,/,1,2,4,/,1,2,3,c,a,t,a,a,c,c,a,t,a,c,a,g,f,f,35,例,6.2,某拉杆受拉应力作用，接头孔径,d=12mm,，,耳片厚,t=10mm,，,W=20mm,。,有一单侧孔边角裂纹,a,=c=1mm,，,材料,s,=1400MPa,，,K,Ic,=120MPa,，,试计算发生断裂时的工作应力,c,。,解：拉伸载荷作用下，对于孔边二对称角裂纹有：,),(,),(,k,E,a,W,c,W,R,t,R,t,a,c,a,F,K,t,ch,p,s,f,=,(6-18),适用条件：,0.2,a,/c=1,2,a,/t=0.11,0.5,R/t=6/10,1 (R+c)/W=7/20816.88MPa,，,拉杆将发生断裂。而若无裂纹存在，该应力远低于屈服强度,s,=1400MPa,，,强度显然是足够的。,注意到,a,/c=1,时，有,E(k)=,/2,，且,a,=0.001m,，,故得：,a,K,c,n,p,s,p,2,131,.,4,2,=,=,=0.1122,c,单侧裂纹的,K,则由（,6-17,）式给出为：,2,9968,.,0,=,=,n,K,=0.1118,c,2,2,/,1,1,),4,/(,),2,4,(,=,=,+,+,=,n,n,K,tR,ac,tR,ac,K,p,p,由断裂判据有：,K =0.1118,K,n=1,c,1c,得到：,K /0.1118=120/0.1118=1073.3 MPa,c,1c,39,6.3,弯曲载荷下有限体中,表面裂纹的应力强度因子,1.,弯曲载荷下表面裂纹的应力强度因子,t,W,a,c,c,O,M,M,Kobayashi,等给出有限厚板中半椭圆表面裂纹，纯,弯曲情况下的应力强度因子可表达为：,4,/,1,2,2,2,2,),cos,(sin,),(,q,q,p,s,c,a,k,E,a,M,K,b,t b,+,=,（,6-19,）,40,M,M,4,/,1,2,2,2,2,),cos,(sin,),(,q,q,p,s,c,a,k,E,a,M,K,b,t b,+,=,式中，,是名义弯曲正应力，即假设裂纹不存,在时，弯矩,M,作用下有限厚板裂纹所在外层纤维处,的应力；,M,是有限厚度修正函数。,b,t b,上式与拉伸载荷作用下半无限体中表面裂纹的,K,表达式,(6-3),具有相同的形式，只是将拉伸正应力,换成弯曲正应力,，,将前表面修正函数,M,换成考虑有限厚度,(,包括前、后表面,),的修正函数,M,。,t,b,f,tb,41,人们关心的是裂纹最深处,(,=,/2),和裂纹表面处,(,=0),的应力强度因子。,在裂纹最深处，,=,/2,，有：,),(,),2,/,(,),2,/,(,k,E,a,M,K,b,tb,p,s,p,p,=,图示为,Kobayashi,给出的有限厚度修正函数,M (,/2),的数值结果，可计算裂纹最深处,(,=,/2),之,K,。,tb,(,/2),0,0.5,0.5,1.0,1.0,a,/t,a,/c=0.1,a,/c=0.4,a,/c=1.0,(6-19),式,(6-22),式,M (,/2),tb,a,/t,0,时有：,M (,/2),1.1215,tb,42,Scott,等拟合结果,:(Fatigue of Engineering Materials,and Structures,Vol4,No.4,1981),查图表寻找,M (,/2),，,不利于计算机分析。下面给出二组可用于计算的近似表达式：,tb,),(,),(,),)(,(,394,.,0,),(,1,),3,.,0,1,(,2,/,1,12,12,),0,(,k,E,a,c,a,t,a,k,E,t,a,t,a,M,),0,(,K,b,f,p,s,-,+,-,-,=,),(,),)(,(,36,.,1,1,1,.,0,),2,/,(,k,E,a,c,a,t,a,M,b,f,p,s,p,),2,/,(,K,p,-,=,(6-20),式中，,K,、,K,分别为裂纹最深处,(,=,/2),与表面处,(,=0),的应力强度因子；,M,、,M,为前表面修正系数,(,/2),(0),f,(,/2),f,(0),43,长,2c,的穿透裂纹板承受弯曲载荷的有限元解为：,当泊松比,=0.3,时，上述二者是一致的。,c,K,b,p,s,m,m,+,+,=,3,1,),0,(,M,、,M,分别由,(6-4),之第三式和,(6-7),式给出为：,f,(,/2),f,(0),当,a,/t,1,时，,6-20),式给出长轴端的应力强度因子为：,),(,),(,),)(,(,394,.,0,),(,1,),3,.,0,1,(,2,/,1,12,12,),0,(,k,E,a,c,a,t,a,k,E,t,a,t,a,M,),0,(,K,b,f,p,s,-,+,-,-,=,c,b,p,s,394,.,0,=,c,a,c,a,c,a,),(,1,.,0,1,.,0,21,.,1,4,M,f,),0,(,+,-,=,2,/,1,),2,/,(,),(,07,.,0,13,.,1,c,M,f,-,=,p,a,c,b,p,s,3.3,1.3,44,Letunov,给出：,(Strength of Materials,1985),式中，,考虑有限宽影响的,修正函数,f,为：,W,2,/,1,),sec(,t,a,W,c,f,W,p,=,2,),2,/,(,),(,603,.,0,998,.,0,),(,2,2,.,0,72,.,0,(,2,1,),07,.,0,12,.,1,(,c,a,k,E,t,a,c,a,K,+,-,-,-,-,=,p,p,),(,),(,95,.,0,975,.,0,),(,169,.,0,118,.,0,783,.,0,2,2,k,E,a,f,t,a,c,a,c,a,t,a,c,a,b,W,p,s,+,-,+,+,-,2,2,),(,867,.,4,542,.,0,63,.,0,),(,451,.,0,99,.,0,),34,.,0,1,(,2,.,1,c,a,t,a,c,a,c,a,t,a,),0,(,K,-,+,+,-,+,-,=,c,a,k,E,a,f,t,a,c,a,b,W,),(,),(,542,.,0,748,.,3,2,p,s,-,+,（,6-22,）,45,将非线性分布的名义应力作线性近似；再将线性,分布应力视为均匀拉伸和纯弯曲的叠加；在弹性,小变形条件下，即可由叠加法得出拉、弯组合载,荷作用下的应力强度因子的解。,2.,拉、弯组合作用下表面裂纹的应力强度因子,s,s,=,s,b+,s,t,s,t,s,t,s,b,s,b,46,Kanazawa,利用,Kobayashi,等的计算结果，拟合给出,的拉、弯组合载荷作用下的应力强度因子的解：,式中,s,、,s,分别为名义拉伸、,弯曲应力，,各系数见,P130,。,E(k),仍为第二类完全椭圆积分。,t,b,s,b,s,b,s,t,s,t,),(,),(,3,2,1,k,E,a,M,M,M,b,t,p,s,s,),2,/,(,K,p,+,=,c,a,k,E,a,t,a,M,M,b,t,),(,),306,.,0,1,(,18,.,1,4,1,K,),0,(,p,s,s,-,+,=,(6-23),47,0,0.5,0.5,1.0,1.0,a,/t,a,/c=0.1,a,/c=0.4,a,/c=1.0,(6-19),式,(6-23),式,M (,/2),tb,Kanazawa,给出的在弯曲载荷作用下表面裂纹最深处,(,=,/2),的应力强度因子（,6-23,）式，与,Kobayashi,的结果,(6-19),式，基本上是相符的。,(,为与,Kobayashi,的解相比较，图中以修正函数,M,(,/2),的形式给出,),。,tb,48,Newman,和,Raju,将拉、弯组合载荷作用下半椭圆表面,裂纹周边任一点的应力强度因子表达为：,),(,),(,),(,k,E,a,H,W,c,t,a,c,a,F,K,b,t,s,p,s,s,f,+,=,适用范围为：,0,a,/c,1,0,a,/t1,c/W0.5,。,式中,s,、,s,分别名义拉伸和弯曲应力；系数,H,为：,t,b,f,p,H,H,H,H,sin,),(,1,2,1,-,+,=,t,a,c,a,p,/,6,.,0,/,2,.,0,+,+,=,),/,)(,/,(,11,.,0,/,34,.,0,1,1,t,a,c,a,t,a,H,-,-,=,2,2,1,2,),/,(,),/,(,1,t,a,G,t,a,G,H,+,+,=,),/,(,12,.,0,22,.,1,1,c,a,G,-,-,=,2,/,3,4,/,3,2,),/,(,47,.,0,),/,(,05,.,1,55,.,0,c,a,c,a,G,+,-,=,49,在弹性小变形条件下，拉、弯载荷组合作用,下的应力强度因子解，可由拉伸、弯曲载荷,作用下表面裂纹的应力强度因子解叠加得到。,断裂力学研究已给出了一些工程可用的有限,体中表面裂纹的应力强度因子数值解。,无限大体埋藏椭圆裂纹,研究方法,前表面修正,有限厚度修正,半无限大体中椭圆表面裂纹,剖一半,有限体中的椭圆表面裂纹,切取有限厚,50,Stress intensity factor solution have being obtained for a wide variety of problems and published in handbook form.,对于许多不同的问题，已经得到了其应力强度因子解，并以手册的形式发表。,Because there is linear relationship between the Stress intensity factor,K,and the load,so that the stress intensity factor for complex loading conditions can be determined from the superposition of simpler results,such as those readily obtainable from handbooks.,因为应力强度因子,K,与载荷间有线性关系，故复杂加载条件下的应力强度因子可以由从手册中可查得的简单加载结果叠加而确定。,51,In determining K,numerical methods(including finite element methods)have been widely used in recent years.In fact,many commercially available finite element computer programs include subroutines to calculate K.,近些年来，广泛采用数值方法，包括有限元法确定应力强度因子,K,。,事实上，许多商用有限元计算程序都含有计算,K,的子程序。,52,