必修一__第一章__集合与函数概念__函数的奇偶性.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章 集合与函数概念,人教,A,版数学,1,3.2,奇,偶,性,1,函数的奇偶性,(1),定义,奇函数：设函数,y,f,(,x,),的定义域为,D,，如果对于,D,内的任意一个,x,，都有,，则这个函数叫做奇函数,偶函数：设函数,y,g,(,x,),的定义域为,D,，如果对于,D,内的任意一个,x,，都有,，则这个函数叫做偶函数,x,D,，且,f,(,x,),f,(,x,),x,D,，且,g,(,x,),g,(,x,),(2),性质,如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以,为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以,为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数,如果一个函数是偶函数，则它的图象是以,为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于,对称，则这个函数是偶函数,坐标原点,坐标原点,y,轴,y,轴,(3),判断奇偶性,f,(,x,),|,x,|,；,f,(,x,),x,2,(,x,1),；,f,(,x,),|,x,1|,|,x,1|.,答案,偶,既是奇函数，又是偶函数,非奇非偶,奇,2,用定义判断函数奇偶性的步骤是：,(1),求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数,0,0,奇,本节重点：奇偶函数的概念及图象的对称特征,本节难点：利用函数奇偶性的概念和图象的对称性，证明或判断函数的奇偶性,对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：,函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的考察一个函数,y,f,(,x,),是否具有奇偶性，不仅考察,f,(,x,),与,f,(,x,),之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称,以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数的函数,f,(,x,),一定是常数函数,f,(,x,),0,，但,f,(,x,),0,不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件,奇函数,y,f,(,x,),若在,x,0,处有定义，则一定有,f,(0),0.,综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间,a,，,b,和,b,，,a,上有相同的单调性；偶函数在区间,a,，,b,和,b,，,a,上有相反的单调性,(,ab,0),有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商,(,定义域符合要求,),仍为偶函数奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数,有些判断奇偶性的题目，须先化简,f,(,x,),的表达式，观察其特点，然后再进行判断,例,1,判断下列函数的奇偶性,分析,利用函数奇偶性定义来判断,f,(,x,),为奇函数,(2),f,(,x,),定义域为,R,，且,f,(,x,),(,x,),2,1,x,2,1,f,(,x,),，,f,(,x,),为偶函数,(3),定义域为,(,，,),，,f,(,x,),|,x,1|,|,x,1|,|,x,1|,|,x,1|,f,(,x,),，,f,(,x,),为偶函数,(4),定义域为,(,，,),，,f,(,x,),2,x,1,，,f,(,x,),f,(,x,),且,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),为非奇非偶函数,(5),定义域为,1,，,定义域不关于原点对称，,f,(,x,),为非奇非偶函数,f,(,x,),为偶函数,判断函数,f,(,x,),|,x,a,|,|,x,a,|(,a,R,),的奇偶性,解析,f,(,x,),的定义域为,R,，当,a,0,时，,f,(,x,),|,x,a,|,|,x,a,|,|,x,a,|,|,x,a,|,f,(,x,),，,f,(,x,),为奇函数，,当,a,0,时，有,f,(,x,),0,，,f,(,x,),既是奇函数又是偶函数,.,例,2,已知函数,y,f,(,x,),的图象关于原点对称，且当,x,0,时，,f,(,x,),x,2,2,x,3.,试求,f,(,x,),在,R,上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间,分析,由函数图象关于原点对称可知,y,f,(,x,),是奇函数利用奇函数性质可求得解析式,解析,函数,f,(,x,),的图象关于原点对称,f,(,x,),为奇函数，则,f,(0),0,，,设,x,0,，则,x,0,，,x,0,时，,f,(,x,),x,2,2,x,3,，,f,(,x,),f,(,x,),(,x,2,2,x,3),x,2,2,x,3,于是有：,先画出函数在,y,轴右边的图象，再根据对称性画出,y,轴左边的图象如下图,由图象可知函数,f,(,x,),的单调递增区间是,(,，,1,、,1,，,),，单调递减区间是,1,0),、,(0,1,已知函数,f,(,x,),为偶函数，且当,x,0,时，,f,(,x,),_.,答案,x,1,解析,x,0,时，,x,0,，,f,(,x,),x,1,，,又,f,(,x,),为偶函数，,f,(,x,),x,1.,例,3,已知,b,a,0,，偶函数,y,f,(,x,),在区间,b,，,a,上是增函数，问函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上是增函数还是减函数？,分析,由函数的奇偶性进行转化,解析,设,a,x,1,x,2,b,，则,b,x,2,x,1,a,.,f,(,x,),在,b,，,a,上是增函数,f,(,x,2,),f,(,x,1,),又,f,(,x,),是偶函数，,f,(,x,1,),f,(,x,1,),，,f,(,x,2,),f,(,x,2,),于是,f,(,x,2,),f,(,x,1,),，故,f,(,x,),在,a,，,b,上是减函数,点评,由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的,(1),已知函数,y,f,(,x,),是定义在,R,上的偶函数，在,2,6,上是减函数，比较,f,(,5),与,f,(3),的大小结果为,_,(2),如果奇函数,f,(,x,),在区间,1,6,上是增函数，且最大值为,10,，最小值为,4,，那么,f,(,x,),在,6,，,1,上是增函数还是减函数？求,f,(,x,),在,6,，,1,上的最大值和最小值,答案,(1),f,(,5),f,(3),解析,(1),f,(,x,),是偶函数，,f,(,5),f,(5),，,f,(,x,),在,2,6,上是减函数，,f,(5),f,(3),，,f,(,5),f,(3),(2),设,6,x,1,x,2,1,，则,1,x,2,x,1,6,，,f,(,x,),在,1,6,上是增函数且最大值为,10,，最小值为,4,，,4,f,(1),f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(6),10,，,又,f,(,x,),为奇函数，,4,f,(,x,2,),f,(,x,1,),10,，,10,f,(,x,1,),f,(1),解析,(1),奇函数的图象关于原点对称，且奇函数,f,(,x,),图象过点,(2,1),和,(4,2),，,必过点,(,2,，,1),和,(,4,，,2),，,f,(,4),f,(,2),(,2),(,1),2.,(2),偶函数,f,(,x,),满足,f,(,3),f,(,1),，,f,(3),f,(1),点评,(1),可由奇函数的性质，先去掉函数记号,“,f,”,内的负号，,f,(,4),f,(,2),f,(4),f,(2),f,(4),f,(2),2,1,2.,辨析,要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域,(,看定义域是否关于原点对称,),有时还需要在定义域制约条件下将,f,(,x,),进行变形，以利于判定其奇偶性,一、选择题,1,下列函数不具备奇偶性的是,(,),答案,C,2,下列命题中真命题的个数为,(,),(1),对,f,(,x,),定义域内的任意,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,),0,则,f,(,x,),是奇函数,(2),对,f,(,x,),的定义域内的任意,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,),0,，则,f,(,x,),是偶函数,A,1,B,2,C,3,D,4,答案,D,解析,四个命题都正确，故选,D.,3,若函数,y,f,(,x,),为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数,f,(,x,),的图象上的是,(,),A,(,a,，,f,(,a,)B,(,a,，,f,(,a,),C,(,a,，,f,(,a,)D,(,a,，,f,(,a,),答案,D,解析,f,(,a,),f,(,a,),，,点,(,a,，,f,(,a,),在,y,f,(,x,),的图象上，故选,D.,4,已知,y,f,(,x,),是奇函数，且方程,f,(,x,),0,有六个实根，则方程,f,(,x,),0,的所有实根之和是,(,),A,4,B,2,C,1,D,0,答案,D,解析,奇函数的图象关于原点对称，方程,f,(,x,),0,的六个根，即,f,(,x,),图象与,x,轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称，,和为,0.,5,已知,f,(,x,),(,m,1),x,2,2,mx,3,为偶函数，则,f,(,x,),在,(,5,，,2),上是,(,),A,增函数,B,减函数,C,部分为增函数，部分为减函数,D,无法确定增减性,答案,A,解析,f,(,x,),(,m,1),x,2,2,mx,3,为偶函数，,m,0,，,f,(,x,),x,2,3,，因此,f,(,x,),在,(,5,，,2),上为增函数，故选,A.,6,偶函数,y,f,(,x,),在区间,4,，,1,是增函数，下列不等式成立的是,(,),A,f,(,2),f,(3)B,f,(,),f,(),答案,D,二、解答题,7,判断下列函数的奇偶性,解析,(1),为偶函数,x,Q,时，,x,Q,，,f,(,x,),1,f,(,x,),同理，,x,为无理数时，,x,也为无理数,f,(,x,),1,f,(,x,),，,f,(,x,),为偶函数,(2),奇函数,f,(,x,),|,2,x,1|,|,2,x,1|,|2,x,1|,|2,x,1|,f,(,x,),，,f,(,x,),为奇函数,(3),偶函数,f,(,x,),2,|,x,|,2,|,x,|,f,(,x,),，,f,(,x,),为偶函数,(4),画出其图象如图，可见,f,(,x,),为奇函数,