平面向量小结与复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量小结与复习,内容提要,常见问题,例题,平面向量,加法、减法 数乘向量,坐标表示,两向量数量积,零向量、单位向量、共线向量、相等向量,向量平行的充要条件,平面向量基本定理,定比分点坐标公式,平移（公式）,两向量的夹角公式,向量垂直的充要条件,两点的距离公式,正弦定理、余弦定理,解斜三角形,向量的概念,解决图形的平行和比例问题,解决图形的垂直和角度,长度问题,向量的初步应用,向量的概念,(1),向量的基本要素,:,大小和方向,.,(2),向量的表示方法,:,几何表示,:,AB,a,；,(3),向量的长度,(,模,):,坐标表示,:,a=,xi+yj,=,(,x,y,),即向量的大小,记作,|a,|,；,(4),特殊向量,:,a=,0,|,a|=,0,；,e,为单位向量,|,e|=,1,；,(5),相等的向量,:,长度相等，且方向相同,.,即,x,1,i+y,1,j=x,2,i+y,2,j,x,1,=x,2,且,y,1,=y,2,.,(6),平行向量,(,共线向量,):,方向相同或相反的向量，称,为平行向量，记作,a,/,b.,因为向量可以进行任意平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故又称共线向量,.,零向量平行于任何向量,加法运算,加法法则,运算性质,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a,坐标运算,设,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),则,a+b,a+b,a,a,b,b,a+b=(x,1,+x,2,y,1,+y,2,),减法运算,设,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),则,设,A,B,两点的坐标分别为,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),则,O,A,a,B,b,a-b,a-b=(x,1,-x,2,y,1,-y,2,),AB=(x,2,-x,1,y,2,-y,1,).,减法法则,坐标运算,实数与向量的积,定义,a,其中,0,时,a,与,a,同向,|,a|=|,|a|,;,当,0,时,a,与,a,反方向,|,a|=|,|a|.,运算率,(,a)=(,)a,(,+,)a=,a+,a,(a+b)=,a+,b,.,坐标运算,设,a=(x,y),则,a=,(x,y)=(,x,y),平面向量的数量积,定义,a,b=|a|b|cos(a0,b0,0180).,0a=0.,运算率,ab=ba,(,a)b=a(,b)=,(ab),(a+b)c=ac+bc,.,坐标运算,设,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),则,a,b=x,1,x,2,+y,1,y,2,重要定理、公式,（一）,平面向量基本定理,如果,e,1,和,e,2,是同一平面内的两个,不共线向量,，那么对该平面内的任一向量,a,，有且只有,一对实数,1,、,2,，,使,a=,1,e,1,+,2,e,2,两个向量平行的充要条件,当,b,0,时，,设,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),则,a,b,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,a,ba=,b,重要定理、公式,（二）,两个非零向量垂直的充要条件,设,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),则,a,b,x,1,x,2,+y,1,y,2,=0,平移公式,如果点,P(x,y),按向量,a,=(h,k),平移至,P(x,y),，,则,a,b,a,b=0,重要定理、公式,（三）,中点坐标公式,设,P(x,y),P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),且,P,1,P=,PP,2,则,线段的定比分点坐标公式,重要定理、公式,（四）,正弦定理,余弦定理,常见问题,向量具有,大小和方向,两个要素。,共线向量与平面向量的,两条基本定理。,向量的,数量积,是一个数。,根据向量的数量积，计算,向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角,等。,数量积不满足结合率。,例,1.,已知,a,=(1,2),b,=(,3,2),当,k,为何值时,(1),k,a+b,与,a,3,b,垂直,;,(2),k,a+b,与,a,3,b,平行,平行时它们是同向还是反向,?,分析,:,k,a+b=,(,k,3,2,k,+2),a,3,b=,(10,4),(,1),当,(,k,a+b,),(,a,3,b,),=,0,时,两向量互相垂直,;,(2,),存在唯一的实数,使,(,k,a+b,),=,(,a,3,b,),时,两向量互相平行,若,0,则两向量同向,解答,:,(,详见课本,P147,),例,2.,已知向量,a,b,不共线,(1),若,AB,=,a,b,BC,=2,a,8,b,CD=,3(,a+b,),求证,A,、,B,、,D,共线,;,(2),若,k,a,b,与,a,k,b,共线,求实数,k,的值。,(2,),根据题意,存在唯一的实数,使,(,k,a,b,),=,(,a,k,b,),即,(,k,),a+,(,k,1),b=,0,.,因为,a,与,b,不共线,所以,k,=,0,且,k,1,=,0.,解得,k,=,1,或,k,=,1,证明,:,(,1),BD=BC+CD=,5(,a,b,)=5,AB,所以,AB,与,BD,共线,.,又 直线,AB,与,BD,共点,B,所以三点,A,、,B,、,D,共线,.,如图，,已知,P,、,Q,是,ABC,的边,BC,上两点，且,BP=QC.,求证：,AB+AC=AP+AQ,四、课堂练习巩固,A,B,C,P,Q,归 纳 小 结,通过复习，我们进一步熟悉了向量的性,质和运算律，熟悉平面几何性质在解题中的,应用，能掌握利用“向量的坐标化”的思路解,决问题，掌握构造向量并利用向量的性质来,解决问题的方法。,