第三章线性系统的时域分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,华南热带农业大学工学院,首页,上页,下页,末页,结束,自动控制理论,第三章,线性系统的时域分析法,第三章 线性系统的时域分析法,3.1,绪言,3.2,典型输入信号,3.3,控制系统的时域性能指标,3.4,控制系统的稳定性和稳定判据,3.5,控制系统的稳态误差,3.6,控制系统暂态响应,3.1 绪言,分析控制系统,第一步 建立模型,第二步 分析控制性能,，,分析方法包括,时域分析法,频域分析法,根轨迹法,一.控制系统的分析方法,二.线性系统的时域分析法内容,线性系统的时域分析法,典型输入信号,线性定常系统的时域响应,控制系统的稳定性分析,线性系统的稳态误差计算,一、二阶暂态响应性能指标,高阶系统暂态响应分析,3.2,典型输入信号,Typical test signals,分析控制系统的,第一步是建立模型,，数学模型一旦建立，,第二步 分析控制性能,，分析有多种方法，主要有,时域分析法,，,频域分析法,，,根轨迹法,等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。,实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。,在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。,许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用,试验信号即典型输入信号,来评价系统性能是合理的。,一、阶跃函数,通常，给控制系统施加一定的输入信号，考察系统的输出响应来分析系统性能。,系统数学模型由系统本身的结构和参数决定，输出响应除与数学模型有关外，还与系统的初始状态和,输入信号,的形式有关。可将输入信号规定为统一的典型形式。常用的,典型输入信号,有,阶跃函数,、,斜坡函数,、,抛物线函数,、,脉冲函数,和正弦函数。,定义：式中,A,为常量。,A=1,的阶跃函数称为,单位阶跃函数,，记为1（,t）,如,式,3-1所示。,单位阶跃函数的,拉氏变换,为,：,通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（,Step,、,Ramp,、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）,定义：,式中,A,为常量。当,A=1,时,称为单位斜坡函数,记为,t1（t），,如图3-2所示。,它等于对单位阶跃函数对时间的积分。单位斜坡函数的拉氏变换为,二、斜坡函数,R（S）=Lr(t)=1/s2 (3-4),如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。,其定义为,：,：,式中,A,为常量。当,A=1,时，称为,单位抛物线函数,，记为,t,2,/21（t）,如图3-3所示。它等于单位斜坡函数对时间的积分。其拉氏变换为,：,三、抛物线函数,定义为,：,脉冲函数如图3-4所示,令,0,则称为单位脉冲函数,记为,（,t）,见图3-4（,b）,有,单位脉冲函数的,拉氏变换,为：,单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数,四、脉冲函数,定义为：,r（t）A Sint,式中,A,为振幅；,为角频率。,用频率不同的正弦函数作为输入信号，可求得系统此时的稳态响应，在频率法中广泛使用。,五、正弦函数,如系统的输入为,r（t），,输出为,c（t），,则用以下常微分方程描述其运动行为,:,3.3 控制系统的时域性能指标,由:,可得,式中,S,i,G（S）,的极点；,S,k,R（S）,的极点。,一.线性定常系统的时域响应,如果,S,i,和,S,k,都是互异极点，则系统的零状态响应为,式中,A,k,，,B,k,常数,。,由于,s,i,只是,G（s）,的极点,，,所以式（3-14）等号右侧第一项与输入无关，即为系统零状态响应中的,暂态响应分量。,s,k,只与外部输入,r（t）,有关,，,所以式（3-14）等号右侧第二项即为系统零状态响应中的,稳态响应分量。,可从暂态响应和稳态响应中求取系统的性能指标。,二.动态过程和稳态过程,1.瞬时响应和稳态响应,Transient Response&Steady_state Response,在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。,瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。,稳态响应 是指当,t,趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。,2.绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差,Absolute Stability,Relative Stability,Steady_state Error,在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。,3.系统不稳定产生的后果实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。非线性系统的稳定性在第六章。,4.相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为,阻尼振荡过程,。,称动态过程。,5.稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。,5.稳态特性：稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。,三.动态性能指标：,在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。,在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。,实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。,延迟时间 （,Delay Time）,响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。,峰值时间 （,Peak Time）：,响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。,上升时间（,Rise Time）,响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。,或,评价系统的响应速度；,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,评价系统的阻尼程度。,调节,时间 ：,（,Settling Time）,响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作，,超调量,（,MaximumOvershoot,）,：,指响应的最大偏离量,h(,tp,),于终值之差的百分比，即,一、系统稳定性的定义,二、线性定常系统稳定的充要条件:,3.4 控制系统的稳定性和稳定判据,稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。,系统稳定性：如系统处于初始平衡状态，在,受到外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰动作用消失后，若系统在有限时间内能恢复到原平衡状态，则,系统稳定,；否则，,系统不稳定。,系统不稳定情况：离初始状态越来越远；达到另一个平衡状态。,根据稳定性定义，系统稳定性应当决定于系统响应中的暂态分量。而暂态分量与系统的参数、结构和初始条件有关，与外作用无关，因此，分析系统响应中暂态分量的运动形式，即可找出系统稳定的充分必要条件。,设线性定常系统闭环传递函数为：,特征方程为：,为阐述简单起见，设前述特征方程不存在重极点（对有重极点的情况，以下结论也是成立的），则在扰动作用下系统响应的暂态分量为：,但系统阶次较高时，所有极点不易求出。,从,c,1,(t),的表达式可知，只有当特征方程的,所有根（闭环极点）,都具有,负的实部,时，随着时间的推移，,c,1,(t),才能趋于零，即回到初始状态。,线性定常系统稳定的充分必要条件为：,系统特征方程的所有根（即闭环传递函数的所有极点）,均具有负的实部。（或特征方程的所有根均在,S,平面的,左半部）,。,根据充要条件，如果能将系统所有极点求出，即可立即判断稳定性。,1.,系统特征方程如下：,三、劳斯判据,利用特征方程的系数构成劳斯表：,表中，除第一、二行外需要按照下列规律进行计算。,劳斯判据：(,a,i,0),劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于,特征方程正实部根的数目。,注意,：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为,n+1;,如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于,a,n,；,可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。,例题,1,例1,：,系统特征方程为,S,4,2S,3,3S,2,4S5=0，,试用劳斯判据判别,因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。,如题意只要求判别稳定性,则计算至出现符号改变即可结束。否则应计算到,n+1,行。,解 根据特征方程系数计算劳斯表,例题2,例2,：,某系统特征方程为,S,4,3S,3,3S,2,2S2=O，,试用劳斯判据判断系统的稳定性。,解 根据特征方程系数计算劳斯表,因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。,2.两种特殊情况,特殊情况一,：,劳斯表的某一行中，出现第一列为零，而其各项不全为零。,这时可用,一个,足够小,的正数,代替为零的项，然后继续计算劳斯表余下系数。,例3:系统的特征方程为,S,4,2S,3,+s,2,+2s1=0,试判别系统的稳定性。,解 :列劳斯表，因第三行符号变为负，系统不稳定，且有两个正实部根。,特殊情况二,：,计算劳斯表时,某一行各项全为零。,这表明特征方程具有对称于原点的根。,这些对称于原点的根可由令,辅助多项式,等于零,构成的,辅助方程,求得,这时可将不为零的最后一行(即全为零行的一行)的各项构成一个,辅助多项式,。用对辅助多项式各项对,s,求导,后所得的系数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。,例题,3,例3:系统特征方程为,S,5,S,4,十3,s,3,十3,s,2,2S2=0，,试判别系统的,稳定性。,解:列劳斯表,构成辅助方程：,Q,（,s,）,=S,4,3S,2,2=0,求导后得,4,S,3,十 6,S=0，,用其系数构成全为零的行，继续计算余下各行,可知，系统不稳定，但第一列元素未改变符号，所以系统没有位于,S,右半平面的根，有位于虚轴上的根。,虚轴上根的求取,由辅助方程求得,S,4,3s,2,2=0,则有,（,S,2,1,）（,S,2,2,）,=0,故,S,1,、,2,=,j,S,3,、,4,=,j,四、赫尔维茨（,Hurwitz,）,判据,由赫尔维茨1895年提出的常用代数判据。,设系统特征方程为：,用特征方程的系数构成赫尔维茨行列式,：,系统稳定的充分必要条件是：在,a,0,0,的情况下，赫尔维茨行列式的各阶主子式均大于零，否则系统不稳定。,(林纳德-奇帕特证明的推论：在,a,i,0,的条件下,系统稳定的充分必要条件是：所有奇数次赫尔维茨行列式均大于零,或者是所有偶数次赫尔维茨行列式均大于零。),对稳定系统来说要求,例题,4,例4:,系统特征方程为,S,4,2S,3,8S,2,十4,s,十2=0，,试判别系统是否稳定,解 因,a,i,0,，,故可使用林纳德-奇帕特证明的推论进行判断。因为,故系统稳定,五、稳定判据的应用,1判别系统的稳定性,2分析系统参数变化对稳定性影响,利用代数稳定判据可以确定个别参数变化对系统稳定性的影响，给出使系统稳定的参数范围。,例5:,设控制系统结构图如图,3-6,所示，试确定满足稳定要求时,K,1,的临界值和开环放大系数的稳定临界值,K,c,。,例题,5,解 系统的闭环传递函数为,特征方称为：,为使系统稳定，必须有,（1）,K,1,0,（2）a,1,a,2,-a,0,a,3,0,得,K,1,6,综合考虑，使系统稳定的,K,1,取值范围应为：,0,K,1,0,系统稳定。,（2）令,s=z-,=z-1,代入特征方程得,：2,z,3,+4z,2,-z-1=0，,（3）利用劳斯判据对新系统进行判断,第一列符号变化一次,系统不稳定。原系统达不到,=1的稳定裕度。,例6:,系统特征方程为 2,S,3,10s,2,13s4=0，,设,=1，试检验系统的稳定裕量。,3.5 控制系统的稳态误差,系统响应,由,稳态响应,和,暂态响应,两部分组成。从稳态响应可以分析系统的,稳态误差,，从而定量分析系统的稳态性能。稳态误差反映了控制系统的稳态精度。,因此,稳态误差分析,是控制系统分析的一项基本内容。,一、稳态误差和误差传递函数,系统,误差,：,指系统响应的期望值,C,o,（t）,和实际值,C（t）,之差，即,（,t）=C,o,（t）-C（t）,系统,稳态误差：,当,t,时系统误差称为稳态误差，用,e,ss,表示，即,稳态误差是在,初始平衡条件,下加入输入信号，经过足够长的时间，其,暂态响应部分,已经,衰减到微不足道,时，系统响应的,期望值与实际值之差,。因此，只有,稳定的系统,，讨论稳态误差才有意义。,单位反馈系统,图3-7,（,a,图）,偏差,e(t),：,e(t)=r(t)-c(t)=c,o,(t)-c(t),即偏差,e(t),等于误差,(,t),，,偏差的稳态值等于系统的稳态误差。,下一张,最后一张,结束授课,非单位反馈系统,图3-7,（,b,图）,偏差,e(t)：e(t)=r(t)-b(t)，,与误差,(,t)=c,0,(t)-c(t),不相等，但具有确定的关系,：,故在系统稳态性能分析中，通常使用偏差代替误差进行研究，即用,表示系统稳态误差,稳态误差的一般计算式：,误差及稳态误差与系统的开环传递函数,G(s)H(s),和输入信号,R(s),有关。,系统开环传递函数记为,稳态误差计算式为,表明，影响稳态误差的因素有开环增益、输入信号和开环传递函数中积分环节的数目。,因此按系统开环传递函数中积分环节的个数对系统进行分类，即当,=0,，,1,，,2,，时，分别称相应系统为,0,型，,I,型，,II,型，型系统,。,二、给定输入信号作用下的稳态误差,1阶跃输入信号下的稳态误差与静态位置误差系数,K,p,设,r(t)=A.1(t)，,则,R(s)=A/s，,则,令,下一张,最后一张,结束授课,定义,K,p,为静态位置误差系数，则有,对0型系统，有,则,为有限值。,则,e,ss,=0,由于0型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与,K,有关的一定值，因此常称为有差系统,。,对,I,型及,I,型以上系统,有：,为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下增大,K,值,。,若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于,I,型。,2.斜坡输入信号下的稳态误差与静态速度误差系统,K,v,设,r(t)=At，,则,R(s)=A/s,2,，,则有,令,定义,K,v,为,静态速度误差系数,，则有,下一张,最后一张,结束授课,对0型系统，有,此时，,e,ss,=,对,I,型系统，有,此时，,对,II,型及以上系统,有,此时，,e,ss,=,0,可见,0型系统,不能跟踪斜坡输入信号,随时间的推移,误差越来越大；,I,型系统,可以跟踪斜坡输入信号,。但具有与,K,有关的稳态误差，可用增加,K,的方法提高稳态精度；,II,型及以上系统,可完全跟踪斜坡输入信号,，即稳态误差为零。,下一张,最后一张,结束授课,设,r(t)=(A/2)t,2,，,则,R(s)=A/s,3,，,则有,定义,K,a,为,静态加速度误差系数,有,3.抛物线输入信号下的稳态误差与静态加速度误差系数,K,a,令,对于0型系统，,=0，,K,a,=0,e,ss,=,;,对于,I,型系统，,=1，,K,a,=0,e,ss,=,;,对于,II,型系统，,=2，,K,a,=K,e,ss,=A/K;,对于,III,型及以上系统，,=3，,K,a,=,ess,=0。,可见，,I,型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大；,II,型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与,K,有关的稳态误差，可 用增加,K,的方法提高稳态精度；,III,型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。,4.有限个典型信号构成的组合信号作用下的稳态误差计算,设给定组合信号为：,利用线性系统的叠加原理，可得,显然，只有,II,型以上系统才能跟踪上述给定信号。,各静态误差系数的大小反映了系统限制或消除稳态误差的能力，系数值越大，则给定输入时的稳态误差越小。,各种不同输入信号作用下的稳态误差见表,例题,7,例7,：,已知两控制系统如,右,图,所示。当给定输入为,r,（,t,）=,4,6t,3t,2,解 （1）,右,图(,a),的开环传递函数为：,这是一个,I,型系统，,K=2.5,，,K,p,=,K,v,=K=2.5，K,a,=0,不能跟踪抛物线输入，所以,e,ss,=,（2）图3-36（,b）,系统的开环传递函数为：,这是一个,II,型系统，,K=2.5,，,Kp,=,Kv,=,Ka=,K=2.5,能跟踪抛物线输入，所以,三、扰动输入引起的稳态误差,根据式,以及终值定理得扰动输入时的稳态误差为,1阶跃扰动信号下的稳态误差,因,则有,当开环增益足够大时，则有,当,G,1,(s),为比例环节时,当,G,1,(s),为积分环节时,为使阶跃扰动下的稳态误差为零，则应在误差信号与扰动作用点之间至少应设置一个积分环节。实际系统所受到的干扰以阶跃信号居多,此结论很有意义。,2,、斜坡扰动信号下的稳态误差,因,则有,为使斜坡扰动下的稳态误差为零，应在误差信号与扰动作用点之间，至少应设置两个积分环节。但积分环节的增多，会使系统的阶数升高，将会降低系统的稳定性。,实际系统一般总是同时受到给定信号和扰动作用,因此系统总的稳态误差应等于给定信号和扰动信号分别作用于系统时,其稳态误差的代数和，即,四、用动态误差系数法计算系统的稳态误差,利用静态误差系数求稳态误差，实际上是计算在,t,时系统误差的极限值。它不能反映误差随时间变化的规律。,为此,引入动态误差系数的概念,用于分析误差随时间变化的规律,由,前面所学,可知，系统在给定信号下的误差传递函数为,将,e,（,s,）,在,s=0,的邻域内展开成泰勒级数，即,误差,E(s)=,e,(S)R(s),也可表示为如下级数,上述无穷级数称为误差级数,它的收敛域是,s=0,的邻域,相当于,t,。,所以当初始条件为零时,对上式求拉氏反变换,可得到稳态误差的时域表达式为,令,则稳态误差可以写成,其中,C,0,，C,1,，C,2,，,称为动态误差系数,。,C,0,为动态位置误差系数；,C,1,为动态速度误差系数,；,C,2,为动态加速度误差系数.。,（1）,将已知开环传递函数写成分子、分母多项式的比值形式,（2）写出多项式比值形式的误差传递函数（按,s,的升幂排列写）,通常使用的求动态误差系数的方法：,（3）使用多项式除法，得到一个,S,的升幂级数,（4）,得到用动态误差系数表示的,E(s),例8：已知两系统的开环传递函数分别为,试比较两系统的静态误差系数和动态误差系数。若输入信号为,其中,A,0,、,A,1,、,A,2,、,A,3,均为正常数,试写出两个系统的稳态误差表达式,例8,解,由于两个系统都是,I,型系统，且具有相同的开环放大倍数，因此有完全相同的静态误差系数，即,对系统1有,用长除法可求得,可得动态误差系数为,对系统2有,用长除法可求得,可得动态误差系数为,两系统虽有相同的静态误差系数，但动态误差系数却不相同,最后一张,系统1,系统2,当,A,2,0,时，尽管在,t,时，两系统的稳态误差都将趋于无穷大，但在趋向无穷大的过程之中，两者的稳态误差是不同的。,在组合信号作用下，两系统的稳态误差分别为。,五、减小稳态误差的措施,从前述可知,在系统中,增加前向通道积分环节,的个数或,增大开环增益,可减小系统的给定稳态误差；,增加误差信号到扰动作用点之间的积分环节个数,或,放大系数,，可,减小系统的扰动稳态误差。,但一般系统的积分环节不能超过两个，放大倍数也不能随意增大，否则将使系统暂态性能变坏，甚至造成系统不稳定。因此稳态精度与暂态性能、稳定性始终存在矛盾。在保证系统稳定的前提下，为实现提高稳态精度的目的，可采用以下措施,（,1,）在增大开环增益和扰动作用点前系统前向通道增益,K,1,的同时，附加校正装置，以确保稳定性。,（2）,增加系统前向通道积分环节个数,的同时，也要,对系统进行校正,，以防止系统失去,稳定，并保证具有一定的瞬态响应速度。,（,3,）采用复合控制。在按输出反馈控制的基础上，再增加按给定作用或主要扰动而进行的补偿控制，构成复合控制系统。,1.按,给定补偿的复合控制,。,如下图所示，系统传递函数为,给定信号产生的误差为,：,当满足,G,c,(s)=1/G,2,(s),时,则,E(S)=0，,即系统完全复现给定输入作用。这种将误差完全补偿的作用称为全补偿。,2.按扰动补偿的复合控制,3.6 控制系统暂态响应,一,一阶,系统的时域分析,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图,3,-10（,a）,所示的,RC,电路,i,(,t,),+,r,(,t,),c,(,t,),+,（,a,）,电,路,图,R,C,其中,C(t),为电路输出电压，,r(t),为电路输入电压，,T=RC,为时间常数。,当初使条件为零时，其传递函数为,这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。,下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。,其微分方程为,R,(,s,),C,(,s,),（,b,）,方,块,图,I,(,s,),R,(,s,),C,(,s,),（,c,）,等,效,方,块,图,图3-10,1,单位阶跃响应,Unit-Step Response of First-order System,因为,单位阶跃函数,的拉氏变换为,，则系统的输出由下式可知为,对上式取拉氏反变换，得,注,*,：,R(s),的极点,形成系统响应的,稳态分量,。,传递函数的极点,是产生系统响应的,瞬态分量,。这一个结论不仅适用于,一阶线性定常系统,，而且也适用于,高阶线性定常,系统。,响应曲线在,时的斜率为,，如果系统输出响应的速度恒为,，则只要,tT,时，输出,c(t),就能达到其终值。,由于,c(t),的终值为,1,，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标：,2,一阶系统的单位脉冲响应,当,输入信号为理想单位脉冲函数时，,R(s)1，,输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,这时相同的输出称为脉冲响应记作,g(t)，,因为,其表达式为,(Unit-impulse response of first-order systems),3,一阶,系统的单位斜坡响应,当,对上式求拉氏反变换，得：,因为,所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为,(Unit-ramp Response of first-order Systems),上式表明：,一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同,由于,系统,存在惯性，,从,0,上升到,1,时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量,T,，这就是稳态误差产生的原因。,减少时间常数,T,不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。,4,一阶系统的单位加速度响应,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,表,1:一阶系统对典型输入信号的响应,输入信号,时域,输入信号,频域,输出响应,传递函数,1,1(t),t,微,分,微,分,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；,系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,二 二阶系统的时域分析,1.,二阶系统的数学模型,随动系统,A Servo System,（位置控制系统）如下图所示。,(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems),二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。,该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。,工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。,输入电位计电刷臂的角位置，由控制输入信号确定,角位置,就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置，由输出轴的位置确定。,电位差,就是误差信号。,桥式电位器的传递函数,该信号被增益常数 为的放大器放大，（)应具有很高的输入阻抗和很低的,输出阻抗）,放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。,电动机激磁绕组上加有固定电压。,如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。,(3),当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：,电动机的转矩系数,为电枢电流,对于电枢电路,电动机电枢绕组的电感和电阻。,电动机的反电势常数，,电动机的轴的角位移。,电动机的力矩平衡方程为：,(,1),(,2),(,3),J:,为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。,f:,为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。,(4),据方程(1)(2)(3)(4)可画出系统方框图如下:,(,5),如略去电枢电感,(,6),(,6),增益,阻尼系数，由于电动机反电势 的存在，增大了系统的粘性摩擦。,开环增益,机电时间常数,不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：,(7),相应的闭环传递函数,为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（7）表示为如下标准形式,（9）,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,(,8),二阶系统的标准形式，相应的方块图如,右,图所示,二阶系统的动态特性，可以用 和 加以描述,二阶系统的特征方程：,(10),(,11),临界阻尼系数，,时，阻尼系数,阻尼比 是实际阻尼系数,F,与临界阻尼系数 的比值,二阶系统的单位阶跃响应(,Unit-Step Response of Second-Order Systems),两个正实部的特征根,发散,，闭环极点为共扼复根，位于右半,S,平面，欠阻尼系统,，为两个相等的根,，两个不相等的根,，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡,令,衰减系数,阻尼振荡频率,，由式（9）得,对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为,瞬态分量,稳态分量,(1),欠阻尼,(),二阶系统的单位阶跃响应,1,x,b,图3-17,稳态分量为,1,，表明图,3,系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为,包络线,决定收敛速度,(,14),(,13),时,这是一条平均值为,1,的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率 为,由系统本身的结构参数确定,故称为无阻尼振荡频率。,临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,（15,）,当 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为,1,的无超调单调上升过程，,响应曲线,如右图,：,响应过程单调上升，与过阻尼一样，无超调，但它是这一类响应中最快的，调节时间为：,(2),临界阻尼,(,),(3),过阻尼,(),（16）,响应曲线：,1,时的近似处理,：此时,可近似地等效为具有时间常数,为,的一阶系统。时域响应式为：,调节时间为：,（,4,）,=0,（零阻尼）,单位阶跃响应拉氏变换式：,时域响应式：,系统处于,无阻尼振荡状态,，,暂态响应为恒定振幅的周期函数，频率为,n,(,也称为,无阻尼自然振荡角频率,)。,取不同值（,0）时二阶系统的位阶跃响应的曲线,几个特征：,1、,=0时，等幅振荡；,2、0,1时，,越大，曲线单调上升过程越缓慢；,5、-1,0时，振荡发散，系统不稳定。,6、,-1时，单调发散，系统不稳定。,不同,时典型二阶系统特征方程根、特征根在,S,平面上的位置及单位阶跃响应曲线。,3,二阶系统欠阻尼情况的阶跃响应性能指标,在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。,二阶系统一般取,在,（,12,）中，即,令,在较大的 值范围内，近似有,（17）,时，亦可用,（18）,（1）延迟时间,，求得,（19,）,一定，即,一定，,响应速度越快,（2）上升时间,（12）,因为,根据峰值时间定义，应取,),(,峰值时间,p,t,对式（12）求导，并令其为零，求得,（12）,（3）,（,20）,p,t,（闭环极点离负实轴的距离越远）,一定时，,n,w,x,（4）超调量,%,将,t,p,带入二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应表达式，可得：,超调量,%仅与,有关。,（,5,）,调节时间,根据,t,s,的定义，并借助,二阶系统欠阻尼,衰减正弦包络线图进行近似计算，可得：,当0,0.8时，通常使用以下近似式：,例题9,例9:设控制系统的方框图如3-26图所示，当有单位阶跃信号作用于系统时，试求系统的暂态性能指标,t,r,、,t,p,、,t,s,和,%。,解 求出系统的闭环传递函数为：,因此有,上升时间,t,r,：,峰值时间,t,p,：,调节时间,%：超调量,t,s,：,例,10,解 （1）求出系统闭环传递函数为：,因此有：,如,3-27,图所示的单位反馈随动系统，,K=16s,-1,T=0.25s,试求：（1）特征参数,和,n,；（2）,计算,%和,t,s,;（3),若要求,%=16%，当,T,不变时,K,应当取何值？,(2)则,（3）为使,%=16%，由式,得,=0.5,当,T=0.25,不变时，,因,则有,4 使用速度反馈，在不改变,K,的情况下提高阻尼比,（四）使用速度反馈，不改变,K,的情况下提高阻尼比,等效闭环传递函数为：,等效系统的特征参数为：,结论：加入速度反馈后不改变,K,和,n,；,增大了，可减少超调量。,例11,同例10，现采用速度反馈改善系统指标，要求,=0.5,求,，并计算采用速度反馈后的性能指标。,解 由于,K=16s,-1,T=0.25s,由,上一页可知,于是有：,5.二阶系统的单位脉冲响应,结论,：如果脉冲响应,g(t),不改变符号，则系统的,=1，即为临界阻尼或过阻尼；,单位脉冲响应曲线第一次与时间轴交点的时间为峰值时间,t,p,;,单位脉冲响应曲线于时间轴包围的面积为1。,利用线性定常系统的齐次性，将二阶系统单位阶跃响应对时间求导数，即可得到二阶系统的单位脉冲响应。或对系统闭环传递函数直接进行拉氏反变换，得不同,值时二阶系统的单位脉冲响应,6.具有零点的二阶系统分析,(1)在典型二阶系统的闭环传递函数中增加一个闭环零点，构成一类具有零点的二阶系统。它的阶跃响应与典型二阶系统明显不同。此时系统的闭环传递函数为：,写成零、极点形式时：,设典型二阶系统的单位阶跃响应为,c,1,(t)，c,2,(t),为增加零点引起的响应分量,则上述具有零点的二阶系统单位阶跃响应,c(t),与,c,1,(t)、c,2,(t),具有以下关系：,求拉氏反变换，得：,不同,a,时的单位阶跃响应曲线,%与,a,的关系,为定量说明引入的零点对典型二阶系统性能的影响，引入,几点结论：,当其它条件不变时，附加一个零点，将使,%增大，,t,r,和,t,p,减小;,a,减小时，明显加大上述影响；,a,加大时，对系统的影响变小，增大到一定程度时，可以忽略该零点的影响；,采用在系统闭环外增加一阶微分环节的方法实现附加零点，该方法不改变原系统的闭环极点。,微分顺馈-另一类增加零点的方法,本方法在增加一个闭环零点的同时，也改变了原系统的阻尼系数。,加入微分顺馈后系统的闭环传递函数为：,无阻尼振荡角频率和阻尼比分别为：,结论,：附加这类零点可引起阻尼比,增大。可见，引入微分顺馈后将使超调量,%减小，调节时间也有所减小，因此使系统暂态性能得到改善。,例,12 同例2的典型系统，,=0.25,n,=8s,-1,。,现采用微分顺馈如,上一页,图所示。为使,l,=0.5,，,试确定,值并讨论微分顺馈对系统,和,t,s,的影响,。,例12,解 根据,前页,式可得：,附加的零点为：,从,前面分析,知，附加上述零点对,的影响很小,，,=16%,由,计算,t,s,:,原系统的,t,s,则为:,加入微分顺馈后，系统,几乎无变化，而,t,s,减小了，加速了系统的过渡过程，改善了系统的暂态性能。,可见，采用速度反馈和微分顺馈都能提高系统暂态性能。,三 高阶系统的暂态响应,可改写为：,设 0,1）时，其影响逐渐减小。如果增加的极点位于共轭复数极点的右侧（即,1），则系统响应趋于平缓，响应特性类似于过阻尼情况的二阶系统。,2.高阶系统暂态响应分析,(1),高阶系统的单位阶跃响应,一般高阶系统的传递函数为：,改写为零、极点形式：,当单位阶跃信号输人时，其系统的阶跃,响应拉氏变换式为:,对上式进行拉氏反变换，得,高阶系统的单位阶跃响应是由,n+1,项（每一项称为高阶系统单位阶跃响应的一个分量）组成，每个分量对应于,C(s),的一个极点,。,每个单极点对应一阶系统响应分量，一对共轭复数极点对应一个二阶振荡系统的响应分量。,如果系统所有的闭环极点都具有负的实部，即所有闭环,极点都在,S,平面的左半部，那么随着时间的增长，,c(t),中除第一项外的项都趋于零，且闭环极点距虚轴越远，对应的响应分量衰减得越快。稳态响应为,A,o,1(t)。,(2)高阶系统的近似分析。,常见高阶系统的单位阶跃响应见,下,图所示。,在工程实践中，通常利用,主导极点,的概念，对高阶系统进行近似处理，简化为一阶系统或二阶振荡系统，再进行性能指标的计算和分析。,高阶系统的,主导极点,应满足：,（1）,离虚轴最近,，小于其它极点到虚轴距离的1/5。该极点的响应的分量衰减最慢；,（2）,附近无闭环零点,，相应的响应分量系数,A,i,最大。,主导极点可能是单个实数极点，也可能是共轭复数极点。前者可用一阶系统近似代替，后者可用二阶振荡系统近似代替。,