概率统计2.3.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,随机变量的数字特征,一、数学期望,(,Mathematical Expectation),二、方差,(,Variance),三、,切比雪夫,(,a,),不等式,四、矩,（,Moment).,1,在许多实际问题中,随机变量分布规律不易求得或不需求得，而只需了解其某些数字特征，而数字特征常常容易通过,数理统计,的方法得到,.,本节要讨论三个数字特征：,数学期望，方差（,涉及,切比雪夫不等式,）,与,矩,.,2,一、,数学期望,(,Mathematical Expectation),1.,序：对数学期望的理解,3,有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：,1）离散型随机变量的数学期望,例1,甲：,击中环数,8,9,10,30,%,10,%,60,%,频率,乙：,击中环数,8,9,10,20,%,50,%,30,%,频率,问哪一个射手水平较高？,解,假定各射,N,枪，则平均每枪所得环数约为,甲：,4,问哪一个射手水平较高？,解,假定各射,N,枪，则平均每枪所得环数约为,甲：,乙：,可见甲的水平高些,.,甲：,击中环数,8,9,10,30,%,10,%,60,%,频率,乙：,击中环数,8,9,10,20,%,50,%,30,%,频率,5,0-1分布,例2,设随机变量,X,服从参数为,p,的,0-1分布,求,EX,.,6,例3,面额为,1,元的彩票共发行,1,万张，其中可得奖金,1000,元、,20,元、,5,元的彩票分别有,2,张、,50,张和,500,张,.,若某人购买,1,张彩票，则他获奖金额,X,的数学期望,E,(,X,),为多少？,解,1000,20,5,0.0002,X,P,0,0.005,0.05,0.9448,则,7,首先要对未来市场作出适当估计,.,假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是,2,对,1,之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为,2/3,和,1/3,因此,如果立即扩展，则利润的期望值是,例4,假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题，根据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进行扩展经营，则一年内可以获利,328,(万元)；如果未来市场萧条，则将损失,80,(万元),.,如果这个企业等待下一年再扩展，在市场繁荣的情况下，将获利,160,(万元),而在市场萧条的情况下，则仅能获利,16,(万元),.,现在的问题是，这个企业的领导人将怎样作出决策？,数学期望在经济管理中经常用到，特别是在决策问题中,.,解,8,市场萧条和繁荣的概率分别为,2/3,和,1/3,如果立即扩展，则利润的期望值是,如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为,按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利,.,如果领导人对未来市场的估计不是,2:1,，而是,3:2,，那么，他立即扩展所期望的利润为,9,如果领导人对未来市场的估计不是,2:1,，而是,3:2,，那么，他立即扩展所期望的利润为,而推迟扩展所期望的利润为,按此计算结果，则立即扩展较为有利,.,10,例5,(一种验血新技术)在一个人数很多的单位中普查某种疾病,N,个人去验血,有两种方法:(1)每个人的血分别化验,共需,N,次,;(2),把,k,个人的血样混在一起化验,如果结果是阴性,那么一次就够了；如果呈阳性,那么对这,k,个人的血样再逐次化验,共需,k,+1,次.假定对所有人来说,呈阳性的概率为,p,且相互独立,下面说明当,p,较小时,方法(2)能减少化验的次数.,解,用方法(2)验血时,每个人需化验的次数,X,的概率分布为,11,用方法(2)验血时,每个人需化验的次数,X,的概率分布为,因此，,N,个人需化验的次数的数学期望为,例如，,2）连续型随机变量的数学期望,12,例6,设随机变量,X,服从区间,a,b,上,的均匀分布,求,EX,.,解,X,的概率密度为,区间中点,13,解,例7,设随机变量,X,的概率密度函数为,求,X,的数学期望,.,14,解,例8,某种电子元器件的使用寿命,X,是个随机变量，其概率密度为,若规定使用寿命在500小时以下为废品，产值为0；在500到1000小时之间为次品，产值为10元；在1000到1500小时之间为二等品，产值为30元；1500小时以上者为一等品，产值为40元，求该种产品的平均产值,.,设该种产品的产值为,Y,元，,15,所以,16,解,例9,设随机变量,X,的概率密度函数为,由规范性，,而,17,2.,数学期望的性质,1,）线性性质,其中,a,，,b,，,C,是常数,.,特例：,2,）乘积的性质,18,18,2,）,的证明,19,关于推论：独立条件下，协方差等于零的证明,20,3,）随机变量的函数的数学期望,21,解,X,-,2,-,1,0,0.1,P,1,0.2,0.3,0.4,例10,设随机变量,X,的概率分布如下：,或利用性质：,22,解,例11,设随机变量,X,的概率密度为,拉普拉斯分布,23,例12,设随机变量,X,服从区间,a,b,上,的均匀分布，,求,E(X,2,),及,E,(,X,-,EX,),2,.,解,X,的概率密度为,24,解,例13,游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第,5,分钟、,25,分钟和,55,分钟从底层起行假设有一游客在早上,8,点的第,X,分钟到达底层等候电梯，且,X,在0,60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望,以,Y,表示游客的等候时间，则,故,25,二、,方差,(,Variance),随机变量,X,的数学期望，描述了随机变量,X,取值的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道,X,的数学期望有时还不能完全刻划随机变量,X,的统计特征,.,1.,引例,引例,现有两个单位，甲单位共三人，工资结构为：,1500,，,2000,，,2500,。乙单位共,7,人，工资结构为：,500,，,500,，,500,，,500,，,1000,，,1000,，,10000.,乙单位领导对外宣称，其单位工人收入不比甲单位低，平均收入也是,2000,，但不读书的人都能看出：除了个别人外，该单位工人的收入远没有那么高。由此看出“平均值”往往是某些人糊弄别人的伎俩,要全面的了解工人的收入，还需了解工资的偏差，即分散程度。,26,27,28,上面我们得到了方差的公式，但是显然不能用定义去计算方差，有什么好方法吗？,事实上，我们有如下推导：,二、方差的性质,29,性质,1.,推论,1,.,推论,2,.,性质的证明,30,性质,1,证明如下：,31,补充命题,1.,补充命题,2.,32,例14,设,X,表示机床,A,一天生产的产品废品数，,Y,表示机床,B,一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：,X,0,1,2,0.5,P,3,0.3,0.1,0.1,解,Y,0,1,2,0.6,P,3,0.1,0.2,0.1,问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等,.,均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.,例,33,X,0,1,2,0.5,P,3,0.3,0.1,0.1,Y,0,1,2,0.6,P,3,0.1,0.2,0.1,均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.,由于,D,(,X,),D,(,Y,),因此机床,A,的波动较机床,B,的波动小,质量较稳定.,34,解,例15,设随机变量,X,的概率密度函数,求,：,EX,DX,.,35,0-1分布,例16,设随机变量,X,服从参数为,p,的,0-1分布,求,DX,.,解,36,例17,设随机变量,X,服从区间,a,b,上,的均匀分布，,求,EX,和,DX,.,解,X,的概率密度为,37,*三,、,有时我们并不知道随机变量的分布，但却希望对随机变量的偏差大小进行概率估计，在知道方差的前提下这是可行的，事实上，我们有：,定理,成立.,切比雪夫不等式,38,证,设,X,是连续型随机变量，其概率密度为,f,(,x,),则,定理,成立.,39,上式可改写为,切,比雪夫不等式具体地估算了随机变量,X,取值时，以数学期望,E,(,X,),为中心的分散程度,.,不难看出，方差,D,(,X,),越小，则随机变量,X,的取值越集中在数学期望,E,(,X,),的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度,.,如取,40,例18,已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是 7300，均方差是 700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 52009400 之间的概率.,设每毫升白细胞数为,X,，,依题意，,E,(,X,)=7300,D,(,X,)=700,2,，,解,由切比雪夫不等式，,41,四、,矩,(,Moment),其中,k,是正整数.,42,练习：,习题二,(P77),1,、,2,、,3,、,4,、,9,、,13,、,14,、,15,、,16,、,18,、,19,、,20,、,22,、,23,、,26,、,27,、,29,、,31,、,34,、,40,、,41,、,47,、,52,、,53,、,55,、,62,、,63,、,66,、,68,、,69,、,70,、,72,*,一、,16,；三、,1,、,2,、,3,