高考数学复习：题型解法训练之立体几何解答题的解法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二部分高考题型解法训练,专题七 立体几何解答题的解法,试题特点,专题七 立体几何解答题的解法,1,.,近三年高考各试卷立体几何考查情况统计,立体几何在每一年高考中都有一个解答题，这是不变的，主要考查空间位置关系（线线、线面及面面的平行与垂直）及空间量（线线角、线面角、面面角、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离），一般以三棱柱、四棱柱、三棱 锥、四棱锥作为考查的载体，当然，也有不规则几何体，如,2006,湖南卷的八面体，,2007,江西卷的不规则体,.,试题特点,专题七 立体几何解答题的解法,2,.,主要特点,(1),解答题的考查稳中求新，稳中求活,.,解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：,证明“平行”和,“垂直”，,求多面体的体积，,三种角的计算，,有关距离的,计算，,多面体表面积的计算,.,这类问题的解法主要是化归思,想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面,面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等,.,但近几年来，,也推出了一些新题型，就是开放性试题，也是探索性的问题，,如,2000,年的第,18,题,.,试题特点,专题七 立体几何解答题的解法,(2),依托知识，考查能力,.,由于近几年加强了对能力的考查，因此应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养，因高考数学是通过知识考能力，本章尤其突出的是空间想象能力，而空间想象能力并不是漫无边际的胡想，而应以题设为根据，以某一几何体为依托，这样会更好的帮助你解决实际问题，提高解题能力,.,(3),一题两法，支持新课程改革,.,立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,1,.,平行、垂直位置关系的论证,证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点：,(1),理清平行、垂直位置关系的相互转化,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,(2),由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻,找证题思路,.,(3),立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅,助线,(,或面,),是解题的常用方法之一,.,(4),三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明,线线垂直时应优先考虑，应用时需要先认清所观察的平面,及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根,据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直,.,另外通过,计算证明线线垂直也是常用方法之一,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,2,.,空间角的计算,主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算,.,(1),两条异面直线所成的角,平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一,条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线,.,补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方,体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面,直线间的关系,.,向量法：直接利用向量的数量积公式,cos,=,（注意向量的方向）,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,(2),直线和平面所成的角,作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到,同一三角形中计算，或用向量计算,.,用公式计算,sin,=(,PM,直线,l,，,M,面,是,l,与,所成的角，,n,是面,的法向量）,.,(3),二面角,平面角的作法：,(,),定义法；,(,),三垂线定理及其逆定理法；,(,),垂面法,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,平面角计算法：,(),找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量,计算；,(),射影面积法：,cos,=,；,(),向量夹角公式：,|,cos,|=,，,n,1,n,2,是两面的法向量,.,(,是锐角还是钝角，注意图形和题意取舍）,.,*,求平面的法向量：,找；,求：设,a,b,为平面,内的任意两个,向量，,n,=(,x,y,1),为,的法向量,则由方程组 ，可求得法向量,n,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,3,.,空间距离的计算,(1),两点间距离公式（线段的长度）,|,AB,|=(,A,(,x,A,y,A,z,A,),B,(,x,B,y,B,z,B,）,),(2),求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂,线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点,到直线的距离,.(,可用向量法来计算,),应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,(3),求两条异面直线间距离，一般先找出其公垂线，然后求其,公垂线段的长,.,在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为,线面距离求解（这种情形高考不作要求）,.,(4),求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平,面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂,线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；,有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到,平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一,点上去求“点到平面的距离”,.,求直线与平面的距离及平面与,平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解,.,（向量,法：,(,N,为,P,在面,内的射影，,M,n,是面,的,法向量）,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,1.,（,2007,南通市模拟题）如图，已知矩形,ABCD,，,PA,平面,ABCD,，,M,、,N,分别是,AB,、,PC,的中点，设,AB,=,a,，,BC,=,b,，,PA,=,c,（,1,）建立适当的空间直角坐标系，写出,A,、,B,、,M,、,N,点的坐标，并证明,MN,AB,；,（,2,）平面,PDC,和平面,ABCD,所成的二面角为,，当,为何值时（与,a,、,b,、,c,无关），,MN,是直线,AB,和,PC,的公垂线段,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解析,（,1,）证明：以,A,为原点，分别以,AB,、,AD,、,AP,为,x,轴、,y,轴、,z,轴，建立空间,直角坐标系,.,则,A,（,0,，,0,，,0,），,B,（,a,，,0,，,0,），,M,（，,0,，,0,），,N,（，）,.,=,（,a,，,0,，,0,），,=,（,0,，）,.,=0,AB,MN,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,（,2,）,P,（,0,，,0,，,c,），,C,（,a,，,b,，,0,），,=,（,a,，,b,，,c,），,若,MN,是,PC,、,AB,的公垂线段，则,=0,，,即 ,=0,b,=,c,.,PDA,是二面角,P,CD,A,的平面角,.,PDA,=45,，,即二面角,P,CD,A,是,45,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,点评,在高考立体几何题中，利用向量法解题，正确建立空间,直角坐标系是解题的前提，同时也要熟悉向量法处理这,些问题的方法,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,2,.,（,2007,东北三校质检题）如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AD,=,AA,1,=1,，,AB,=2,，点,E,是棱,AB,上的动点,.,（,1,）证明,D,1,E,A,1,D,；,（,2,）若二面角,D,1,EC,D,为,45,时，求,EB,的长,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解析,解法,1,：（,1,）证明：对长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,，,有,AB,平面,AA,1,D,1,D,，,A,1,D,平面,AA,1,D,1,D,AB,A,1,D,由侧面,AA,1,D,1,D,是矩形且,AD,=,AA,1,=1,，,A,1,D,AD,1,，,AD,1,AB,=,A,，,A,1,D,平面,ABD,1,，,又,D,1,E,平面,ABD,1,D,1,E,A,1,D,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,（,2,）过,D,作,DG,EC,，垂足为,G,，连结,D,1,G,对长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,，有,D,1,D,平面,ABCD,根据三垂线定理有,D,1,G,EC,，,D,1,GD,是二面角,D,1,EC,D,的平面角,二面角,D,1,EC,D,为,45,，则,D,1,GD,=45,，,又,D,1,D,=,A,1,A,=1,DG,=1,在矩形,ABCD,中,AB,=2,，,AD,=1,由,S,DEC,=,EC,DG,=1,得,EC,=2,EB,=,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解法,2,：（,1,）证明：对长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,，,以,D,为坐标原点，,AD,、,DC,、,DD,1,所在直线为,x,、,y,、,z,轴建立,空间直角坐标系（如图所示）,.,由,AD,=,AA,1,=1,，,AB,=2,，,点,E,是棱,AB,上的动点，设,BE,=,m,.,D,（,0,，,0,，,0,），,D,1,（,0,，,0,，,1,）,A,1,（,1,，,0,，,1,），,E,（,1,，,2,m,，,0,），,C,（,0,，,2,，,0,）,（,1,）,=(1,2,m,1),=(,1,0,1),=,1+1=0,即,D,1,E,A,1,D,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,（,2,）,D,1,D,平面,ABCD,，,平面,ABCD,的法向量,=(0,0,1),设平面,D,1,EC,的法向量为,n,=(,x,y,z,),由,n,得,n,=0,又,=(0,2,1),2,y,z,=0,又,=(1,2,m,1),x,+(2,m,),y,z,=0,取,y,=1,，,z,=2,，,x,=,m,n,=(,m,1,2),二面角,D,1,EC,D,为,45,n,=|,|,n,|,cos45,即,2=,解得,m,=,即,EB,=,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,点评,本题第,1,问事实上是考查三垂线定理，当然也可用线,面垂直来证，在第二问的处理中，如果用非向量的方法，,画分图是一个常用的方法，这样由于空间位置关系的失真,可以避免出错,.,画分图就是将空间图形中的某一个平面画,出来，然后用平面几何的相关知识来求边与角的信息,.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,3,.,（,2007,岳阳市模拟题）如图,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AC,=3,，,BC,=4,，,AB,=5,，,AA,1,=4,，点,D,是,AB,的中点，,（,1,）求证：,AC,BC,1,；,（,2,）求证：,AC,1,平面,CDB,1,.,证明,解法,1,：,（,1,）直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,，底面三边长,AC,=3,，,BC,=4,，,AB,=5,，,AC,BC,，且,BC,1,在平面,ABC,内的,射影为,BC,，,AC,BC,1,；,（,2,）设,CB,1,与,C,1,B,的交点为,E,，连结,DE,，,D,是,AB,的中点，,E,是,BC,1,的中点，,DE,AC,1,，,DE,平面,CDB,1,，,AC,1,平面,CDB,1,，,AC,1,平面,CDB,1,；,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解法,2,：,直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,底面三边长,AC,=3,，,BC,=4,，,AB,=5,，,AC,、,BC,、,C,1,C,两两垂直，如图，以,C,为坐标原点，直,线,CA,、,CB,、,CC,1,分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴，建立空间直角坐标系，,则,C,（,0,0,，,0,），,A,（,3,0,，,0,），,C,1,（,0,0,，,4,），,B,（,0,4,，,0,），,B,1,（,0,4,，,4,），,D,（，,2,0,）,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,（,1,）,=,（,3,0,，,0,），,=,（,0,，,4,0,），,=0,，,AC,BC,1,.,（,2,）设,CB,1,与,C,1,B,的交点为,E,，则,E,（,0,2,，,2,）,.,=,（，,0,2,），,=,（,3,0,，,4,），,=,，,DE,AC,1,.,DE,平面,CDB,1,，,AC,1,平面,CDB,1,，,AC,1,平面,CDB,1,.,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,点评,（,1,）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理,或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；,（,2,）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到,线面平行，二是通过面面平行得到线面平行,.,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,4,.,（,2007,上海黄浦区模拟题）已知正方形,ABCD.E,、,F,分别是,AB,、,CD,的中点,将,ADE,沿,DE,折起,如图所示,记二,面角,A,DE,C,的大小为,(0,).,（,1,）证明,BF,平面,ADE,;,（,2,）若,ACD,为正三角形,试判断,点,A,在 平面,BCDE,内的射影,G,是否在,直线,EF,上,证明你的结论,并求角,的余弦值,.,解析,(1),证明：,EF,分别为正方形,ABCD,的边,AB,、,CD,的中点,EB,FD,且,EB,=,FD,四边形,EBFD,为平行四边形,.,BF,ED,ED,平面,AED,而,BF,平面,AED,BF,平面,ADE,.,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,（,2,）解法,1,：如右图,点,A,在平面,BCDE,内的射影,G,在直线,EF,上,过点,A,作,AG,垂直于平面,BCDE,垂足为,G,连结,GC,GD,.,ACD,为正三角形,AC,=,AD,CG,=,GD,G,在,CD,的垂直平分线上,点,A,在平面,BCDE,内的射影,G,在直线,EF,上,过,G,作,GH,垂直于,ED,于,H,连结,AH,则,AH,DE,所以,AHG,为二面角,A,DE,C,的平面角,.,即,AHG,=,.,设原正方体的边长为,2,a,连结,AF,在折后图的,AEF,中,AF,=,a,EF,=2,AE,=2,a,即,AEF,为直角三角形,AG,EF,=,AE,AF,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,AG,=,a,在,Rt,ADE,中,AH,DE,=,AE,AD,AH,=,a,GH,=,，,cos,=.,解法,2,：点,A,在平面,BCDE,内的射影,G,在直线,EF,上,.,连结,AF,在平面,AEF,内过点,A,作,AG,EF,垂足为,G,.,ACD,为正三角形,F,为,CD,的中点,AF,CD,又因,EF,CD,所以,CD,平面,AEF,AG,平面,AEF,AG,CD,又,AG,EF,且,CD,EF,=,F,CD,平面,BCDE,EF,平面,BCDE,AG,平面,BCDE,G,为,A,在平面,BCDE,内的射影,G,.,即点,A,在平面,BCDE,内的射影在直线,EF,上,.,下同解法,1.,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解法,3,：点,A,在平面,BCDE,内的射影,G,在直线,EF,上,.,连结,AF,在平面,AEF,内过点,A,作,AG,EF,垂足为,G,.,ACD,为正三角形,F,为,CD,的中点,AF,CD,又因,EF,CD,所以,CD,平面,AEF,CD,平面,BCDE,平面,AEF,平面,BCDE,又,平面,AEF,平面,BCDE,=,EF,AG,EF,AG,平面,BCDE,G,为,A,在平面,BCDE,内的射影,G,.,即点,A,在平面,BCDE,内的射影在直线,EF,上,下同解法,1.,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,点评,折叠问题一直以来是立体几何解答题中的热门问题，这类问,题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面考查空间点线,面关系的推理能力，解决这类问题时，要注意到折叠前与折,叠后空间关系与空间量的变化情况，一般来说，在拆线的同,一侧，空间关系与空间量是没有变化的，在拆线的异侧，空,间关系与空间量是可能变化的,.,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,5.(,四川成都市模拟题,),如图，在各棱长均为,2,的三,棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，点,A,1,在底面,ABC,内的射影,O,恰好是线段,AC,的中点,.,(,),求侧棱,AA,1,与平面,AB,1,C,所成角的正弦值；,(,),已知点,D,为点,B,关于点,O,的对称点，在直,线,AA,1,上是否存在点,P,，使,DP,平面,AB,1,C,？,若存在，请确定点,P,的位置；若不存在，请,说明理由,.,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解析,(,),连结,A,1,O,，则,A,1,O,平面,ABC,.,三棱柱各棱长都相等，,AO,=1,，,OA,1,=,OB,=,，,BO,AC,.,故以,O,为坐标原点，建立如图所示的空间直角,坐标系,O,xyz,则,A,(0,，,1,，,0),，,B,(,，,0,，,0),，,A,1,(0,，,0,，,),，,C,(0,，,1,，,0),，,=(0,1,).,=(,2,),=(0,2,0).,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,设平面,AB,1,C,的法向量为,n,=(,x,y,1),则,解得,n,=(,1,0,1).,由,cos,n,=.,而侧棱,AA,1,与平面,AB,1,C,所成角，即是向量 与平面,AB,1,C,的法向量所成锐角的余角，,侧棱,AA,1,与平面,AB,1,C,所成角的正弦值为,.,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,(,),BO,AC,，点,D,为点,B,关于点,O,的对称点，,点,D,的坐标为,D,(,，,0,0),假设存在点,P,符合题意，则点,P,的坐标可设为,P,(0,，,y,，,z,).,=(,y,z,),，,=(0,y,+1,z,),DP,平面,AB,1,C,，,n,=(,1,，,0,，,1),为平面,AB,1,C,的法向量，,n,=0,即,z,=.,由,=,，得,y,=0.,又,DP,平面,AB,1,C,，故存在点,P,，使,DP,平面,AB,1,C,，,其坐标为,(0,，,0,，,),，即恰好为,A,1,点,.,