弹性力学圆形薄板.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆形薄板轴对称弯曲问题,主要内容,：,一、有关概念及假定,四、,Mathcad,解题应用,三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解,二、,弹性曲面的基本公式,一、,基本概念及假设,1、基本概念,中面,平分板厚度,t,的平面简称为中面。,薄板,板的厚度,t,远小于中面的最小尺寸,b,，,这样的板称为薄板。,2、假设,薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假设为基础的。,（1）、垂直于中面方向的正应变可以不计。即,也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。,由几何方程可得,与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。,（2）、应力分量 和 远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有：,这里与梁的弯曲相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应力。,结合第一假设，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。,由于不计 所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同的。,（3）、薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：,也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在,xy,面上投影的形状却保持不变。,所以由几何方程可以得出：,二、弹性曲面的基本公式,1、弹性曲面的微分方程。,薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄板的挠度,。,因此把其它所有物理量都用,来表示，即可得弹性曲面的微分方程。,其中,由假设,可得,即,积分得,下面对,弹性曲面的微分方程进行推导。,根据薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即：,可得,由几何方程可得,由物理方程可得,另由平衡方程可得,即,积分得,x,y,),根据薄板上下面内的边界条件：,可求得,F,1,(,x,y,),F,2,(,x,y,),最后得到：,另由平衡方程可得,即,积分得,根据薄板下面内的边界条件：,可求得,F,3,(,x,y,),最后得到：,根据薄板上面内的边界条件：,最后得到：,可记为,其中,代入,截面上的内力：弯矩,可得,同样可得,M,y,M,x,由,由,可得,截面上的内力：扭矩,可得,由,截面上的内力：剪力,同样可得,Q,y,记,可得,如果用截面内力表示截面上的应力，可得,截面上的最大应力，正应力发生在板的上下面上，切应力发生在板的中面上，其值为,3、边界条件,边界上的应力边界条件，一般难于精确满足，一般只要求满足边界内力条件。,情况一,：,以矩形薄板为例，说明各种边界处的边界条件。假设,OA,边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即,情况二,：,OC,具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：,后者可表示为,0,由于沿边界的挠度为常值0，故沿,x,后的导数恒为零，边界条件又可表示为,0,情况三,：假设薄板具有简支边界。边界上具有力矩载荷,M,。,这时，边界处的挠度等于零，而弯矩等于力矩载荷。即：,情况四,：假设薄板具有自由边界。边界上具有力矩载荷,M,x,或,M,y,、,M,xy,及分布剪力,Q,x,或,Q,y,。,这时，弯矩等于边界力矩载荷,扭矩,M,xy,应转换为等效剪力与原有分布剪力,Q,x,或,Q,y,合并为一个条件，分析如下。,边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力,边界上的总的分布剪力为,除此之外，在,A,和,B,还有未被抵消的集中剪力（也就是有集中反力）,2、板弯曲的解题思路,曲面微分方程,边界条件,挠度,应力分量方程,应力分量方程,三、圆形薄板弯曲问题,1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标,和,的函数。即：,=,(,)，,q,=,q,(,),进行坐标变换可得：,则弹性曲面的微分方程可以变换为：,D,为板的抗弯刚度,2、如果圆形薄板的边界是绕,z,轴对称的，它所受的横向载荷也是绕,z,轴对称的，,q,只是,的函数，则该薄板的弹性曲面也是绕,z,轴对称的，即,只是,的函数，这时，弹性曲面的微分方程将简化为：,这个常微分方程的解答是：,此时，从板中取出一单元体，则单元体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力分别为：,应力分别为：,在弹性曲面微分方程解答中的,1,是任意一个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微分方程的要求来选择；,A、B、C、K,任意常数，由边界条件来决定。,对于均布载荷,q,，,取特解,1,=,N,4,代入微分方程，可解得,N,=,q,/64,D,。,得特解,1,=,q,4,/64,D,所以轴对称载荷的圆板弯曲的一般解为：（解题思路,A、B、C、K,）,3、典型问题的边界分析,对于无孔圆板受均布载荷的问题,由于薄板中心无孔，所以,B,和,C,应当等于零。否则板中心（,R,=0,）,处内力及挠度将无限大（参考前内力公式）。而,A,、,K,则由边界条件求解,。,情况一,：,假设半径为,a,的薄板具有固支边界。则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即,将二式联立解方程组，可得,A,，,K,。,情况二,：假设半径为,a,的薄板具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：,联立二式解方程组，可得,A,，,K,。,联立二式解方程组，可得,A,，,K,。,情况三,：假设半径为,a,的薄板具有简支边界。但无横向载荷,q,，,边界上具有均布力矩载荷,M,。,这时，,q,等于零，因而特解可以取零。则边界处的挠度等于零，而弯矩等于均布力矩载荷。即：,对于圆环形薄板。,条件：内外半径分别为,a,，,b,的,圆环薄板，内边界简支，外边界自由。薄板不受均布横向载荷,q,，,边界上受均布力矩载荷,M,。,由于薄板,不受横向载荷,，所以,特解可取零。,内外两边界处有四个边界条件。内边界处挠度和弯矩等于零，外边界处弯矩等于均布力矩载荷,M,，,总剪力等于零。即,其中，扭矩,M,可以变换成等效剪力,联立四式解方程组，可得,A,，,B,，,C,，,K,。,与横向剪力,Q,r,合并而成总的剪力即：,对于载荷径向不连续的圆板,若圆板所受的载荷沿径向不连续，有间断，则必需将该板划分为,N,个区段，每一区段内载荷沿径向连续。,在每个区段内写出挠度的表达式，其特解项可根据载荷的分布特点选取。每个区段挠度表达式中都有四个待定常数，因此共有4,N,个待定常数，需要联立4,N,个方程来求解。,因此，,求解的关键还是在于寻求能够列出4,N,个方程的条件。,小结,对于无孔圆板：,1、无论圆板中心处的情况如何，该处的挠度都不应该无限大。由此可确定常数,C,等于零。,2、圆板中心处的支承和载荷情况。如果中心处既无支座又无集中载荷，则该处的弯矩和剪力应有限。,3、如果中心处无支座但有集中载荷，则有剪力条件可转化为挠度的条件。,四、,Mathcad,解题应用。,例题：半径为,a,的圆板在,=,b,处简支（,a,b,），,承受均布载荷,q,，,求圆板的最大挠度。,请看,Mathcad,中的例题解析过程,谢 谢！,