北大随机过程课件：泊松过程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,泊松过程,第七讲,2026/6/9 周二,2026/6/9 周二,内容,基本概念,泊松过程的分布特征,泊松过程的统计特征,泊松分布的相关问题,2026/6/9 周二,基本概念,计数过程,独立增量过程,平稳增量计数过程,泊松过程,2026/6/9 周二,基本概念,-,计数过程,计数过程,定义：计数过程,在,(0,t),内出现事件,A,的总数所组成的过,程,N(t),t0,称为,计数过程,.,2026/6/9 周二,基本概念,-,计数过程,独立增量过程,定义：独立增量过程,如果在不相交的时间间隔内出现事件,A,的次数是相互统计独立的则,A,事件的计数,过程为,独立增量过程,.,2026/6/9 周二,基本概念,-,计数过程,平稳增量计数过程,定义：平稳（齐次）增量计数过程,在时间间隔,(t,t+s),内出现事件,A,的次数,N(t+s)-N(t),仅与,s,有关而与,t,无关，则称,N(t),为,平稳增量计数过程,.,2026/6/9 周二,基本概念,-,泊松过程,泊松过程为满足下列假设的计数过程,:,1.,从,t=0,起开始观察事件，即,N(0)=0,；,2.,该过程是独立增量过程；,3.,该过程为平稳增量过程；,4.,在,(t,，,t+,t,),内出现一个事件的概率为,t,+,o(,t,)(,当,t0,时,),，,为一常数；在,(t,，,t+,t,),内出现事件二次以及二次以上的概率为,o(,t,),即,PN(t+,t,)-N(t),2=o(,t,),；,2026/6/9 周二,泊松过程,泊松过程,泊松过程递推微分方程,泊松过程母函数,泊松分布的几个问题,非齐次泊松过程,复合泊松过程,过滤泊松过程,2026/6/9 周二,齐次泊松过程的递推微分方程,泊松过程的分布特征,2026/6/9 周二,泊松过程的分布特征,齐次泊松过程的递推微分方程,其中,2026/6/9 周二,泊松过程的分布特征,齐次泊松过程的递推微分方程,方程的解,2026/6/9 周二,泊松过程的分布特征,泊松分布的母函数,2026/6/9 周二,泊松过程的统计特征,泊松过程的均值,:,2026/6/9 周二,泊松过程的统计特征,泊松过程的均值,:,2026/6/9 周二,泊松分布相关的问题,(1).,泊松过程,N(t),t0,的第一个事件到达时间,t,的概率密度分布,.,即：内无到达，内有一个到达。,2026/6/9 周二,泊松分布相关的问题,(2).,泊松过程,N(t),t0,的各次事件间的时间间隔分布,.,设各次事件间的时间间隔记为,则,2026/6/9 周二,泊松分布相关的问题,(3).,泊松过程,N(t),t0,的第,n,个事件到达时间,t,的概率密度分布,.,即：到达,n-1,个，内有一个到达。,2026/6/9 周二,泊松分布相关的问题,(4).,泊松过程,N(t),t0,在（,0,t,）内有一个事件出现，它的到达时间,s,的概率密度分布,.,2026/6/9 周二,泊松分布相关的问题,(5).,有两个相互独立的泊松过程,N1(t),t0,及,N2(t),t0,，它们在单位时间内出现事件的平,均数分别是,1,、,2,，设,x,，,y,分别是两个过程出,现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个,事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即,P,r,x0,及,N2(t),t0,，它们在单位时间内出现事件的平,均数分别是,1,、,2,，设,t,1k,是第一过程出现第,k,次事件的时刻，,t,21,是第二过程出现第一次事件,的时刻，求第一个过程的第,k,个事件先于第二,个过程的第一个事件的概率，即,Pr t,1k,t,21,。,2026/6/9 周二,泊松分布相关的问题,(5).(,续,),2026/6/9 周二,泊松分布相关的问题,(6).,泊松过程的和,如果,是参数分别为,的相互的独立泊松过程，则他们的和,是参数为,的泊松过程,2026/6/9 周二,泊松分布相关的问题,(7).,泊松过程的差,如果,是参数分别为,的相互的独立泊松过程，则他们的和,是否为泊松过程,?,2026/6/9 周二,非齐次泊松过程,定义：,设有一随机的计数过程,N(t),t 0,满足下列假设：,1.N(0)=0,2.N(t),t 0,是一独立增量过程,3.PN(t+,t,)-N(t)2=o(,t,),4.PN(t+,t,)-N(t)=1=,(t)t+o(t),则称它为,非齐次泊松过程,.,2026/6/9 周二,非齐次泊松过程举例,一酒店，每日,8,点开始营业，从早,8:00,到,11:00,平均顾客到达率线性增加，在,8:00,顾客平均到达率为,5,人,/,小时，,11:00,到达率,最高峰,20,人,/,小时，从上午,11:00,到下午,1:00,平均顾客到达率不变，为,20,人,/,小时。从下,午,1:00,到,5:00,顾客到达率线性下降，到下午,5:00,顾客到达率为,12,人,/,小时。,2026/6/9 周二,非齐次泊松过程举例,2026/6/9 周二,非齐次泊松过程举例,假设不相交叠的时间间隔内到达商店的,顾客数是相互统计独立的,，问在上午,8:30,9:30,间无顾客到达商店的概率是多少？,在这段时间内到达商店顾客数学期望是多,少？,2026/6/9 周二,复合泊松过程,定义：,设有泊松过程,N(t),t 0,和一族独立同分布,随机变量,Y,n,，,n=1,，,2,，,3,，,，且,N(t),和,Y,n,也是相互统计独立的,.,设随机过程,则称,X(t),是,复合泊松过程,.,2026/6/9 周二,复合泊松过程举例,设移民到某地区的户数是一泊松过程，平,均每周有两户定居，即,2,。如果每户的人,口是一个随机变量，一户,4,人的概率是,1/6,，一,户,3,人的概率是,1/3,，一户,2,人的的概率是,1/3,，,一户,1,人的概率是,1/6,。并设每户的人口数是相,互独立的随机变量。求在五周内移民到该地区,的人口数的数学期望及其方差。,