方波信号f(t)展开为傅里叶级数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,图4.2 方波信号的傅里叶级数,例41 试将图4.2所示的方波信号,f(t),展开为傅里叶级数。,方波信号,f(t),展开为傅里叶级数,解 我们将信号按式(46)分解成傅里叶级数,并按式(4,7)、(48)、(49)分别计算,a,n,b,n,及,c。,例 3.3-1,试画出,f,(,t,),的振幅谱,和相位谱。,解,f,(,t,),为周期信号，题中所给的,f,(,t,),表达式可视为,f,(,t,),的傅里叶级数展开,式。据,可知，其基波频率,=,(,rad,/s)，,基本周期,T,=2 s，,=2、3、6,分别为二、三、六次谐波频率。且有,振幅谱,和相位谱例题,其余,图 3.3-1 例 3.3-1 信号的频谱,振幅谱；,(,b),相位谱,图 3.3-2 例 3.3-1 信号的双边频谱,(,a,),振幅谱；(,b,),相位谱,例 3.4-2,求指数函数,f,(,t,),的频谱函数。,图 3.4-2 单边指数函数,e,-t,及其频谱,(,a,),单边指数函数,e,-t,;(,b,)e,-t,的幅度谱,单边指数函数,f,(,t,),的频谱函数,其振幅频谱及相位频谱分别为,解,(441),(440),单边指数信号的频谱,例44 求单边指数信号的频谱。,解 单边指数信号是指,图4.7 单边指数信号及其频谱,例 3.4-3,求图 3.4-3(,a,),所示双边指数函数的频谱,函数。,偶对称双边指数函数的频谱,函数,图 3.4-3 双边指数函数及其频谱,(,a,),双边指数函数；(,b,),频谱,(442),从频谱函数的定义式出发,(443),例45 求双边指数信号的频谱。,解 双边指数信号是指,偶对称双边指数信号的频谱,图4.8 双边指数信号及其频谱,例 3.4-4,求图 3.4-4(,a,),所示信号,f,(,t,),的频谱函数。,图 3.4-4 例 3.4-4 图,(,a,),信号,f,(,t,);(,b,),频谱,奇对称双边指数函数的频谱,函数,(a,0),解,图示信号,f,(,t,),可表示为,例 3.4-1,图 3.4-1(,a,),所示矩形脉冲一般称为门函数,。,其宽度为,，,高度为1，通常用符号,g,(,t,),来表示。试求其频谱函数,。,解,门函数,g,(,t,),可表示为,门函数的频谱函数,图 3.4-1 门函数及其频谱,(,a,),门函数；(,b),门函数的频谱；(,c),幅度谱；(,d),相位谱,图4.6 矩形脉冲信号及其频谱,矩形脉冲信号,g(t),的频谱,例43 求矩形脉冲信号,g(t),的频谱。,(436),g,(t),的傅里叶变换为,(437),(438),(439),解 矩形脉冲信号,g(t),是一个如图4.6（,a）,所示的门函数。其定义为,例 3.4-5,求单位冲激函数,(,t,),的频谱函数。,图 3.4-5 信号,(,t,),及其频谱,(,a,),单位冲激信号,(,t,);(,b,),(,t,),的频谱,(,t,),的频谱函数,解,可见，冲激函数,(,t,),的频谱是常数1。也就是说，,(,t,),中包含了所有的频率分量，而,各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号,(,t,),实际上是无法实现的。,根据分配函数关于,(,t,),的定义，有,(434),(435),冲激信号,(t),的频谱,例42求冲激信号,(t),的频谱。,解 由频谱函数的定义式有,图4.5 冲激信号及其频谱,(475),移位冲激函数,(t-t,0,),的频谱函数,例412求移位冲激函数,(t-t,0,),的频谱函数。,解 由于已知冲激函数,(t),的频谱函数为1,求移位冲激函数,(t-t,0,),的频,谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式(474)。,例 3.4-6,求直流信号1的频谱函数。,图 3.4-6,直流信号,f,(,t,),及其频谱,(,a,),直流信号,f,(,t,);(,b,),频谱,直流信号1的频谱函数,解,直流信号1可表示为,(445),(446),例46 求单位直流信号的频谱。,解 幅度为1的单位直流信号可表示为,f(t)=1,-t0),(,4-51),符号函数,sgn,(t),也可看作是下述函数在,取极限趋近0时的一个特例:,例 3.4-8,求阶跃函数,(,t,),的频谱函数。,由阶跃函数,(,t,),的波形容易得到,解,从而就可更为方便地求出,(,t,),的频谱函数，即,阶跃函数,(,t,),的频谱函数,图 3.4-8 阶跃函数及其频谱,(,a,),(,t,),的波形；(,b,),频谱,例 3.5-1,求图 3.5-1(,a,),所示信号的频谱,函数。,图 3.5-1 例 3.5-1 的图,(,a,),f,(,t,),的波形；(,b,),相位谱,门(平移后)信号的频谱,函数,解,例411 已知,求,g(2t),的频谱函数,解 根据傅里叶变换的尺度变换性质,g(2t),的频谱函数为,尺度变换求,频谱,图4.13 尺度变换,图4.11 单边指数信号及其频谱,例49利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信号,f(t),=2e,-t,u(t),的频谱。,利用奇偶虚实性求,频谱,解 从波形图（,a）,上可见,单边指数信号,f(t),是非偶非奇函数,但可分解为如图（,b）,（c）,所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。,f(t)=2e,-t,u(t)=,f,e,(t)+,f,o,(t),其中,例 3.5-2,求高频脉冲信号,f,(,t,)(,图 3.5-2(,a,),的频谱。,图 3.5-2 高频脉冲信号及其频谱,(,a,),f,(,t,),的波形；(,b,),频谱,高频脉冲信号,f,(,t,),的频谱,解,图3.5-2(,a,),所示高频脉冲信号,f,(,t,),可以表述为门函数,g,(,t,),与,cos,0,t,相乘，即,例413 求高频脉冲信号,p(t)=g,(t),cos,0t,的频谱函数,解 由于,高频脉冲信号的频谱函数,故有,根据频移特性有,图4.14 频移特性,例 3.5-4,求图 3.5-5(,a,),所示梯形信号,f,(,t,),的频谱函数。,解,若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如,t,e,-jt,的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。,将,f,(,t,),求导，得到图 3.5-5(,b,),所示的波形,f,1,(,t,)，,将,f,1,(,t,),再求导，得,到图 3.5-5(,c,),所示的,f,2,(,t,)，,显然有,梯形信号,f,(,t,),的频谱函数,图 3.5-5 梯形信号及其求导的波形,据时移,性质有,图 3.5-6 另一种梯形信号,图4.15 梯形脉冲的傅里叶变换,梯形脉冲的傅里叶变换,例414 求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。,解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲,f,1,(t),与,f,2,(t),的卷积，如,图4.15所示。,f(t)=f,1,(t)*f,2,(t),而矩形脉冲的傅里叶变换已在例43中求出,具体来说,图4.16 半波正弦脉冲,图,4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形,例 3.6-1,求图 3.6-1(,a,),所示周期矩形脉冲,f,(,t,),的频谱函数,F,(,j,)。,图 3.6-1,周期矩形脉冲信号及其频谱,(,a,)f(t),的波形；(,b,),复振幅,F,n,;(,c,),频谱函数,F,(j),周期矩形脉冲,f,(,t,),的频谱函数,解,周期矩形脉冲,f,(,t,),的复振幅,F,n,为,例 3.6-2,图3.6-2(,a,),为周期冲激函数序列,T,(,t,)，,其周期为,T,，,T,(,t,),可表示为,m,为整数,图 3.6-2 周期冲激序列及其频谱,周期冲激函数序列,T,(,t,),的频谱,解,先求,T,(,t,),的复振幅,F,n,：,设一周期信号,f,T,(,t,)，,其周期为,T,，,f,T,(,t,),中位于第一个周期的信号若为,f,a,(,t,),，,则不难得到,已经知道,例 3.8-1,已知激励信号,f,(,t,)=(3e,-2,t,-2)(,t,)，,试求图 3.8-1 所示电路中电容电压的零状态响应,u,Cf,(,t,)。,图 3.8-1 例 3.8-1 的图,用频域分析法求响应,注意到,(,),的取样性质，并为了较方便地求得,U,Cf,(j),的逆变换,，将,U,Cf,(j),按如下形式整理:,图 4.19,例420如图4.19所示,试分析单位阶跃,信号,u(t),通过,RC,高通网络传输后的波形。,用频域法求响应,则按,H(),的定义有,对于单位阶跃信号,u(t),而言,此时,解 显然,当输入信号,u,S,(t),为复指数信号,e,jt,时,如图有,最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此,例 3.8-2 如图 3.8-2(,a,),所示系统，已知乘,法器的输入,s,(,t,),的波形如图 3.8-2,(,b,),所示，系统函数,用频域分析法求响应,图 3.8-2 例 3.8-2 图,(,a,),系统组成；(,b,)s(t),的波形,先求,f,(,t,),的傅里叶变换,F,(j)，,由于,再求,s,(,t,),的傅里叶变换,S,(j)。,由于,s,(,t,),为周期信号，,T,=1ms，,则,因而有,图 3.8-3,y,(,t,),的求解,例 3.8-3,已知系统函数,H,(j),如图3.8-,4(,a),所示，试求在,f,(,t,)(,图3.8-4(,b,),作用下系统的输出,y,(,t,)。,解,周期信号,f,(,t,),可以表示为傅里叶级数：,由,T,=4s,可知，。,考虑到,H,(j),的低通特性，当|,n|,时,H(,jn,)=0，,即|,n,|2,时,H,(,jn,)=0，,则,用频域分析法求响应,图 3.8-4 例 3.8-3 图,