高中数学全程复习方略3.3.2 函数的极值与导数(共65张PPT).ppt

3.3.2,函数的极值与导数,1.,了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用,.,2.,结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件,.,3.,会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,.,1.,本课重点是利用导数求函数的极大值、极小值,.,2.,本课难点是极值的综合应用,.,3.,本课易混点是导数等于,0,的点与极值点的关系,.,1.,极小值点与极小值的定义,(1),特征：函数,y=f(x),在点,x=a,的函数值,f(a),比它在点,x=a,附近,其他点的函数值,_,，且,_.,(2),实质：在点,x=a,附近的左侧,_,，右侧,_.,(3),极小值点是：,_,极小值是,:_.,2.,极大值点与极大值的定义,(1),特征：函数,y=f(x),在点,x=b,的函数值,f(b),比它在点,x=b,附近,其他点的函数值,_,，且,_.,都小,f(a)=0,f(x),0,f(x),0,f(a),点,a,都大,f(b)=0,(2),实质：在点,x=b,附近的左侧,_,，右侧,_.,(3),极大值点是：,_,极大值是,:_.,3.,极值的定义,(1),极大值与极小值统称,_.,(2),极值反映了函数在某一点附近的,_,，刻画的是函数,的,_.,4.,函数在某点取得极值的必要条件,函数,y=f(x),在点,x=x0,处取得极值的必要条件是,_.,f(x),0,f(x),0,点,b,f(b),极值,大小情况,局部性质,f(x,0,)=0,5.,求函数,y=f(x),的极值的方法,解方程,f(x,0,)=0,，当,f(x,0,)=0,时：,(1),如果在,x,0,附近的左侧,_,，右侧,_,，那么,f(x,0,),是极大值；,(2),如果在,x,0,附近的左侧,_,，右侧,_,，那么,f(x,0,),是极小值,.,f(x),0,f(x),0,f(x),0,f(x),0,1.,函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内函数的极大值和极小值是唯一的吗？,提示：,不一定,;,不一定唯一,.,2.,已知函数,y=f(x),的导函数,y=f(x),的图象如图所示，则函数,f(x),有,_,个极大值点，,_,个极小值点,.,【,解析,】,由图象得在,x=x,2,时导数值为,0,，且左侧,f(x),0,，右侧,f(x),0,，故,x=x,2,为极大值点；在,x=x,3,时导数值为,0,，且左侧,f(x),0,右侧,f(x),0,，故,x=x,3,为极小值点,.,答案：,1 1,3.,函数,f(x)=x,3,-3x,2,+7,的极大值为,_.,【,解析,】,f(x)=3x,2,-6x,解,3x,2,-6x=0,得,x=0,或,x=2,，,f(x),的增区间为,(2,+),和,(-,0),，,f(x),的减区间为,(0,2),，当,x=0,时，函数取得极大值,f(0)=7.,答案：,7,1.,极值概念的理解,在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值,.,请注意以下几点：,(1),极值是一个局部概念,.,由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小,.,(2),函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个,.,(3),极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，,x,1,是极大值点，,x,4,是极小值点，而,f(x,4,),f(x,1,).,(4),函数,f(x),在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,.,一般地,当函数,f(x),在某区间上连续且有有限个极值点时,函数,f(x),在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的,.,2.,极值点与导数为零的点的辨析,(1),可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点,x,0,是可导函数,f(x),的极值点”是“,f(x,0,)=0”,的充分不必要条件；,(2),可导函数,f(x),在点,x,0,处取得极值的充要条件是,f(x,0,)=0,，且在,x,0,左侧和右侧,f(x),的符号不同,.,(3),如果在,x,0,的两侧,f(x),的符号相同，则,x,0,不是,f(x),的极值点,.,求已知函数的极值,【,技法点拨,】,求函数极值的步骤,确定函数,f(x),的定义域,求导函数,f(x),求定义域,求导数,用,f(x)=0,的根将定义域分成若干区间，列表,求,f(x),在定义域内的所有根,求方程的根,列表,由各个区间内,f(x),的符号，判断极值情况,求极值,【,典例训练,】,(,建议教师以第,2,题为例题重点讲解,),1.,已知函数,f(x)=x,3,-px,2,-qx,的图象与,x,轴切于,(1,0),点，则,f(x),的极大值为,_,，极小值为,_.,2.,求函数,f(x)=x,4,-x,3,的极值,.,【,解析,】,1.f(x),与,x,轴切于,(1,0),点，,f(x)=3x,2,-2px-q,，,f(1)=3-2p-q=0.,又,f(1)=1-p-q=0,，,p=2,q=-1.,f(x)=3x,2,-4x+1.,由,f(x)=0,得,x,1,=,x,2,=1.,当,x,变化时，,f(x),f(x),的变化情况如下表：,x,(-,),(,1),1,(1,+),f(x),f(x),+,0,0,+,-,0,f(x),极大值,=f()=,f(x),极小值,=f(1)=0.,答案：,0,2.f(x)=x,4,-x,3,f(x)=4x,3,-3x,2,.,令,f(x)=0,即,4x,3,-3x,2,=0,得,x,2,(4x-3)=0.,x=0,或,x=.,当,x,变化时，,f(x),f(x),的变化情况如下表：,由上表可知,函数,f(x),在区间,(-,0),上是减函数,在区间,(0,),上还是减函数,因此,x=0,不是函数的极值点,;,而函数,f(x),在区间,(0,),上是减函数，在区间,(,+),上是增函数，因此在,x=,处取得极小值，其值为,.,x,(-,0),0,(0,),(,+),f(x),f(x),-,0,-,0,+,不是,极值,【,总结,】,解答题,1,的关键点及解答题,2,时的注意点,.,提示：,(1),解答题,1,的关键点是函数,f(x),的图象与,x,轴切于,(1,0),点所隐含的两个条件的挖掘，即,f(1)=0,与,f(1)=0.,(2),解答题,2,时的注意点是,f(x)=0,的点左右两侧,f(x),异号，解题时极易忽视,.,已知函数的极值求参数,【,技法点拨,】,已知函数极值点或极值求参数的两个注意点,(1),常根据极值点处导数为,0,和极值的两个条件列方程组，利用待定系数法求解,.,(2),因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性,.,【,典例训练,】,(,建议教师以第,2,题为例题重点讲解,),1.,若函数,f(x)=x,3,+ax,2,+bx+a,2,在,x=1,处取得极值,10,，则,a=_,，,b=_.,2.,已知,f(x)=x,3,+ax,2,+bx+c,在,x=1,与,x=-,时都取得极值,.,(1),求,a,b,的值；,(2),若,f(-1)=,，求,f(x),的单调区间和极值,.,【,解析,】,1.f(x)=3x,2,+2ax+b,依题意得,即 解得 或,但由于当,a=-3,b=3,时,f(x)=3x,2,-6x+30,故,f(x),在,R,上单调递增,不可能在,x,1,处取得极值,不合题意,舍去,;,而当 时,经检验知，符合题意,故,a,b,的值分别为,4,11.,答案：,4,11,2.(1)f(x)=3x,2,+2ax+b,，,令,f(x)=0,，由题设知,x=1,与,x=-,为,f(x)=0,的解,.,a=-,b=-2.,(2),由,(1),知,f(x)=x,3,-x,2,-2x+c,，,由,f(-1)=-1-+2+c=,，得,c=1.,f(x)=x,3,-x,2,-2x+1.,f(x)=3x,2,-x-2.,当,x,变化时，,f(x),f(x),的变化情况如下表：,f(x),的递增区间为,(-,-),和,(1,+),，递减区间为,(-,1).,当,x=-,时，,f(x),有极大值为,f(-)=,；,当,x=1,时，,f(x),有极小值为,f(1)=-.,x,(-,-),-,(-,1),1,(1,+),f(x),f(x),+,0,-,0,+,-,【,互动探究,】,若题,2,变为：已知,f(x)=x,3,+ax,2,+bx+c,在,x=1,与,x=,-,时都取得极值，且函数的极小值为,-,，求,f(-1),如何求解,.,【,解题指南,】,解答本题，需确定函数的解析式,.,先对函数进行,求导，由题意可得,x=1,与,x=-,为,f(x)=0,的解，进而可求出,a,b,的值,.,函数的极值可用,c,表示出来，由函数的极小值为,-,，,可求出,c,值,.,【,解析,】,f(x)=3x,2,+2ax+b,令,f(x)=0,，由题设知,x=1,与,x=-,为,f(x)=0,的解,.,a=-,b=-2.,f(x)=x,3,-x,2,-2x+c,，,f(x)=3x,2,-x-2.,当,x,变化时，,f(x),f(x),的变化情况如下表：,f(x),的递增区间为,(-,-),和,(1,+),，递减区间为,(-,1).,x,(-,-),-,(-,1),1,(1,+),f(x),+,0,-,0,+,f(x),+c,-+c,当,x=1,时，,f(x),有极小值为,f(1)=-+c.,-+c=-,，即,c=1.,f(x)=x,3,-x,2,-2x+1.,f(-1)=-1-+2+1=.,【,归纳,】,解答题,1,的注意点及解答题,2,时的关键点,.,提示：,(1),解答题,1,时应紧扣函数极值的定义,.,解完方程组后，应把方程组的解代入原函数,根据函数极值的定义验证是否符合题意，进行灵活的取舍,.,(2),解答题,2,时把握住题目中的函数的极值点是导函数值等于零的方程的根这一实质进行合理的转化,.,【,变式训练,】,已知函数,f(x)=x,5,+ax,3,+bx+1,，仅当,x=1,时取得极值，且极大值比极小值大,4.,求,a,b,的值,.,【,解析,】,f(x)=x,5,+ax,3,+bx+1,的定义域为,R,，,f(x)=5x,4,+3ax,2,+b,，,x=,1,时有极值，,5+3a+b=0,，,b=-3a-5,代入,f(x),得,f(x)=5x,4,+3ax,2,-3a-5,=5(x,4,-1)+3a(x,2,-1),=(x,2,-1),5(x,2,+1)+3a,=(x+1)(x-1),5x,2,+(3a+5),.,y=f(x),仅当,x=,1,时有极值，,5x2+(3a+5)0,对任意,x,成立,.,3a+5,0,即,a,-.,当,x,变化时，,f(x),f(x),的变化情况如下表：,由此可知，当,x=-1,时取极大值，当,x=1,时，取极小值,.,f(-1)-f(1)=4,，,即得,a+b=-3,由解得,x,(-,-1),-1,(-1,1),1,(1,+),f(x),+,0,-,0,+,f(x),-a-b,2+a+b,函数极值的综合应用,【,技法点拨,】,极值问题的综合应用技巧,极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用,.,在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键,.,【,典例训练,】,1.,函数,f(x)=x,3,+x,2,-5x+2,的图象与直线,y=k,恰有三个不同的交点，则实数,k,的取值范围为,_.,2.,函数,f(x)=ax,3,-6ax,2,+3bx+b,，其图象在,x=2,处的切线方程为,3x+y-11=0.,(1),求函数,f(x),的解析式；,(2),若函数,y=f(x),的图象与,y=f(x)+5x+m,的图象有三个不同的交点，求实数,m,的取值范围,.,【,解析,】,1.f(x)=x,3,+x,2,-5x+2,f(x)=3x,2,+2x-5.,由,f(x)=0,得,x=-,或,x=1.,当,x,变化时，,f(x),，,f(x),的变化情况如下表：,x,(-,-),-,(-,1),1,(1,+),f(x),f(x),+,0,-,0,+,-1,根据上表，当,x=-,时函数取得极,大值且极大值为,f(-)=,，当,x=1,时函数取得极小值且极小值为,f(1)=-1.,根据题意结合下图可知,k,的取值范,围为,(,1,，,).,答案：,(,1,，,),2.(1),由题意得,f(x)=3ax,2,-12ax+3b,，,f(2)=-3,且,f(2)=5,，,即,解得,a=1,，,b=3,，,f(x)=x,3,-6x,2,+9x+3.,(2),由,f(x)=x,3,-6x,2,+9x+3,可得,f(x)=3x,2,-12x+9,，,f(x)+5x+m=(3x,2,-12x+9)+5x+m,=x,2,+x+3+m,则由题意可得,x,3,-6x,2,+9x+3=x,2,+x+3+m,有三个不相等的实根，,即,g(x)=x,3,-7x,2,+8x-m,的图象与,x,轴有三个不同的交点，,g(x)=3x,2,-14x+8=(3x-2)(x-4),令,g(x)=0,得,x=,或,x=4.,当,x,变化时，,g(x),，,g(x),的变化情况如表,:,x,(-,-),-,(-,4),4,(4,+),g(x),g(x),+,0,-,0,+,-m,-16-m,则函数,g(x),的极大值为,g()=-m,，极小值为,g(4)=-16-m.,由,y=f(x),的图象与,y=f(x)+5x+m,的图象有三个不同交点，,得 解得,-16,m,.,【,思考,】,解答题,1,时函数,f(x),的图象与,y=k,有三个不同的交点的实质是什么？,解答题,2,时的转化思想是什么？,提示：,(1),解答题,1,时函数,f(x),的图象与,y=k,有三个不同的交点的实质是,k,介于函数,f(x),的极大值与极小值之间,.,(2),解答题,2,时的转化思想是构造新函数，问题转化为新的函数图象与,x,轴有三个不同的交点,.,【,变式训练,】,已知,a,为实数，函数,f(x)=-x,3,+3x+a.,(1),求函数,f(x),的极值，并画出其图象,(,草图,),；,(2),当,a,为何值时，方程,f(x)=0,恰好有两个实数根？,【,解析,】,(1),由,f(x)=-x,3,+3x+a,，得,f(x)=-3x,2,+3,，,令,f(x)=0,，得,x=1,或,x=-1.,当,x,变化时，,f(x),f(x),的变化情况如下表：,由表可知函数,f(x),的极小值为,f(-1)=a-2,；极大值为,f(1)=a+2.,由单调性、极值可画出函数,f(x),的大致,图象，,如图所示，这里，极大值,a+2,大于极小值,a-2.,x,(-,-1),-1,(-1,1),1,(1,+),f(x),f(x),-,a+2,a-2,0,+,0,-,(2),结合图象，当极大值,a+2=0,时，有极小值小于,0,，此时曲线,f(x),与,x,轴恰有两个交点，即方程,f(x)=0,恰有两个实数根，所以,a=-2,满足条件；,当极小值,a-2=0,时，有极大值大于,0,，此时曲线,f(x),与,x,轴恰有两个交点，即方程,f(x)=0,恰好有两个实数根，所以,a=2,满足条件,.,综上，当,a=,2,时，方程恰有两个实数根,.,【,规范解答,】,含参函数的极值点问题,【,典例,】,(12,分,),已知函数,f(x)=x,3,-(m+3)x,2,+(m+6)x (x,R)(,其中,m,为常数,).,(1),当,m=4,时，求函数的极值点和极值；,(2),若函数,y=f(x),在区间,(0,+),上有两个极值点，求实数,m,的取值范围,.,【,解题指导,】,【,规范解答,】,函数的定义域为,R.,(1),当,m=4,时，,f(x)=x,3,-x,2,+10 x,，,f(x)=x,2,-7x+10,令,f(x)=0,，,解得,x=5,或,x=2,3,分,当,x,变化时，,f(x),f(x),的变化情况如下表：,x,(-,2),2,(2,5),5,(5,+),f(x),+,0,-,0,+,f(x),由表知，,函数的极大值点是,x=2,，极大值是 ；,函数的极小值点是,x=5,，极小值是,.,6,分,(2)f(x)=x,2,-(m+3)x+m+6,8,分,要使函数,y=f(x),在,(0,+),有两个极值点,则有方程,f(x)=0,在,(0,+),上有两个不同的实数根,.,即,10,分,解得,m,3.,m,.,12,分,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：,(,注：此处的见规范解答过程,),失,分,警,示,在解答过程中，处虽然很简单，但对整个解题过程起到关键作用，是顺利解答本题的前提,.,在实际考试中，如果处正确，即使后面的结果错误，至少给,3,分；如果没有处，即使后面的结果正确，但解析不完整，最多给,3,分,.,这是考试中的得分点,.,在解答过程中，处对解题结果的概述容易漏掉极值点而只说极值，或说成,“,函数在,x=2,时取极大值为,”,的形式，这在实际考试中都是答非所问的情,形，即使前面的结果正确，最多给,5,分,.,这是考试中最不该失分的地方,.,失,分,警,示,在解答过程中,因对,“,函数,y=f(x),在,(0,+),上有两个极值点,”,理解不够,不能正确的进行转化，或转化为,“,方程,f(x)=0,在,(0,+),上有两个不同的实数根,”,后而不能正确的得到处是考试中最常出现的错误所在，在实际考试中，如果能够得到处的式子，即使结果错误，最多扣,2,分,.,解,题,启,示,(1),在解题的时候，学会得分,.,(2),对函数的求导、解方程,(,组,),、不等式,(,组,),的基本方法与技巧要熟练,.,(3),解题要规范、严谨，对于基本的题型要严格按步骤进行，切忌跨步解答,.,【,规范训练,】,(,12,分,)(2012,龙岩高二检测,),已知函数,f(x)=,x,3,-2ax,2,-3x(aR).,(1),当,|a|,时,求证：,f(x),在,(-1,1),内是减函数,;,(2),若,y=f(x),在,(-1,1),内有且只有一个极值点,求,a,的取值范围,.,【,解题设问,】,(1),解答本题需要讨论吗？,_,(2),若需要，讨论的标准是什么？,a,的取值对函数极值的影响，,即,时,f(x),在,(-1,1),内有且只有一个极值点,且是极大值,点；,时，,f(x),在,(-1,1),内有且只有一个极值点,且是极,小值点；,时,f(x),在,(-1,1),内无极值点,.,需要,【,规范答题,】,(1)f(x)=x,3,-2ax,2,-3x,f(x)=2x,2,-4ax-3,，,2,分,|a|,4,分,又二次函数,f(x),的图象开口向上,在,(-1,1),内,f(x),0,故,f(x),在,(-1,1),内是减函数,.,6,分,(2),设极值点为,x,0,(-1,，,1),则,f(x,0,)=0.,当,a,时,8,分,在,(-1,x,0,),内,f(x),0,在,(x,0,1),内,f(x),0,即,f(x),在,(-1,x,0,),内是增函数,f(x),在,(x,0,1),内是减函数,.,当,a,时,f(x),在,(-1,1),内有且只有一个极值点,且是极大值点,.,10,分,当,a,-,时,同理可知,f(x),在,(-1,1),内有且只有一个极值点,且是极小值点,.,当,-a,时,由,(1),知,f(x),在,(-1,1),内没有极值点,.,故所求,a,的取值范围为,(-,-)(,+).,12,分,1.,设,x,0,为可导函数,f(x),的极值点，则下列说法正确的是,(),(A),必有,f(x,0,)=0,(B)f(x,0,),不存在,(C)f(x,0,)=0,或,f(x,0,),不存在,(D)f(x,0,),存在但可能不为,0,【,解析,】,选,A.,由函数极值的定义可得,.,2.,函数,y=x,3,-3x,2,-9x(-2,x,2),有,(),(A),极大值,5,，极小值,-27,(B),极大值,5,，极小值,-11,(C),极大值,5,，无极小值,(D),极小值,-27,，无极大值,【,解析,】,选,C.y=3(x+1)(x-3),，,所以只有,x=-1,是函数的极值点，且是极大值点,.,此时,y=5.,3.,函数,f(x)=-x,3,+x,2,+2x,取极小值时，,x,的值是,(),(A)2 (B)2,-1 (C)-1 (D)-3,【,解析,】,选,C.f(x)=-x,2,+x+2=-(x-2)(x+1).,在,x=-1,的附近左侧,f(x),0,，右侧,f(x),0,，,x=-1,时取极小值,.,4.,函数,f(x)=x,3,-6x,2,-15x+2,的极大值是，极小值是,_.,【,解析,】,f(x)=3x,2,-12x-15=3(x-5)(x+1),解,f(x)=0,得,x=5,或,x=-1.,可知：,在,(-,-1),(5,+),上,f(x),0,，,在,(-1,5),上,f(x),0,，,f(x),极大值,=f(-1)=10,，,f(x),极小值,=f(5)=-98.,答案：,10,98,5.,设函数,f(x)=ax,3,+bx,2,+cx+d,的图象与,y,轴交点为,P,，且曲线在,P,点处的切线方程为,12x-y-4=0.,若函数在,x=2,处取得极值,0,，试确定函数的解析式,.,【,解析,】,f(x)=3ax,2,+2bx+c,P,点坐标为,(0,d),，,又曲线在点,P,处切线方程为,12x-y-4=0,，,当,x=0,时，,y=d,，即,d=-4,，,f(0)=c,，又切线斜率,k=12,，,c=12.,又函数在,x=2,处取得极值,0,，,解得,函数解析式为,f(x)=2x,3,-9x,2,+12x-4.,