Poisson process.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、,Poisson,过程,计数过程,称,实,随机过程,N(t),t,0,是计数过程，如果,N(t,),表示直到,t,时刻为止发生的某随机事件数,性质,N,(,t,),是非负整数,表示时间间隔,t-s,内发生的随机事件数,实例,1.,电话交换台的呼叫次数,2.,放射性裂变的质点数,3.,发生故障而不能工作的机器数,4.,通过交通路口的车辆数,5.,来到某服务窗口的顾客数,.,以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也,统一叫做,随机点,Poisson,过程,定义,若计数过程,N,(,t,),t,0,满足,是平稳的独立增量过程,服从参数是,t,的,Poisson,分布,即,则称计数过程,N,(,t,),t,0,是参数,(,强度,比率,),为,的,Poisson,过程,.,定理,设,N,(,t,),t,0,是参数为,的,Poisson,过程，则,证明,1),由定义,显然有,又对,s,0,t,0,不妨设,st,则有,是独立增量,平稳性,由定义,Poisson,过程的等价定义,称计数过程,N,(,t,),t,0,是参数为,的,Poisson,过程，如果：,等价性证明见教材,page55-56,Poisson,过程的到达时间与到达时间间隔分布,设,N,(,t,),t,0,是参数为,的,Poisson,过程，,则,N,(,t,),表示时间区间,(0,t,内到达的随机点数,.,到达时间,(,序列,),表示第,i,个随机点的到达时刻,则称,为,Poisson,过程的,到达时间序列,.,到达时间间隔,(,序列,),它表示第,n,-,1,个随机点与第,n,个,随机点的到达时间间隔,则称,为,Poisson,过程的,到达时间间隔,(,序列,),显然有,关于,Poisson,过程中的这两个序列的概率分布,有以下结论,定理,(,到达时间间隔分布,),设,N,(,t,),t,0,是参数为,的,Poisson,过程，,是其到达时间间隔序列，则,是相互独立同服从参数为,的指数分布,证明,独立性,由于,poisson,过程是平稳的独立增量过程,所以,相互独立,.,下证同分布,T,1,T,2,的独立性,平稳性,T,1,T,2,T,n,的独立性,平稳性,得证,定理,(,到达时间序列分布,),设,N,(,t,),t,0,是,参数为,的,Poisson,过程,则,其到达时间,服从,分布,密度为,证明,的分布函数,第,n,个随机点的到达时刻,再求导数,所以到达时间序列的密度函数为,本题目还可以用特征函数证明,见教材,Poisson,过程中到达时间的条件分布,问题,:,设,N,(,t,),t,0,是参数为,的,Poisson,过程，,如果在,0,，,t),内仅有一个随机点到达,是其到达时间,则该随机点的到达时间,服从怎样的概率分布,?,如果在,0,，,t),内仅有一个随机点到达，则该随机点的到达时间,服从,0,t,上的均匀分布,.,即,事实上,st,时,有,更一般有以下问题,设,N,(,t,),t,0,是参数为,的,Poisson,过程,如果,在,0,t),内有,n,个随机点到达，则,n,个到达时间,服从怎样的概率分布,?,定理,设,N,(,t,),t,0,是参数为,的,Poisson,过程,如果在,0,t),内有,n,个随机点到达，则,n,个到达时间,和,n,个相互独立同服从,0,t,上的均匀分布的随机变量,U,1,U,2,U,n,的顺序统计量,即,证明,例,假设乘客按照参数为,的,Poisson,过程来到一个火车站乘坐某次火车，若火车在时刻,t,启动，试求在,0,t,内到达火车站的乘客等待时间总和的数学期望,例,1,设移民到某地区定居的户数是一,Poisson,过程，平均每周有,2,户定居，即,=2,.,如果每户的人口数是随机变量,一户,4,人的概率为,1/6,，一户,3,人的概率为,1/3,，一户,2,人的概率为,1/3,，一户,1,人的概率为,1/6,，且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区的人口数的数学期望和方差,和,中出现第次事件,例,2,设,是两个相互独立,的,Poisson,过程，它们在单位时间内发生事件的平均数分别为,1,和,.,设,代表第一过程,中出现第次事件所需的时间，,代表第二过程,所需的时间试求：,(1),第一过程中出现第一次事件先于第二过程出现第一次事件的概率，即,(2),解题思路,:,考虑两个随机变量的联合密度函数,再计算有关的概率,例,3,某中子计数器对到达计数器的粒子只是每隔一个记录一次，假设粒子是按照比率,4,个每分钟的,Poisson,过程到达，令,T,是两个相继被记录粒子之间的时间间隔（单位：分钟）,试求,：,1,）,T,的概率密度；,2,）,解题思路,:,由,poisson,过程是平稳的独立增量过程,.,可知相继被记录的时间间隔是独立同分布的,.,例,4,设有两个相互独立的、强度分别为 和 的,Poisson,过程 和 ，试证在过程 中两个相邻事件间，过程,出现,k,个,事件的概率为,证明思路,:,