第三节 连续型随机变量及其概率密度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,连续型随机变量及其概率密度,2.3.1,连续型随机变量及其概率密度函数,2.3.,常见的连续型随机变量,连续型随机变量,X,所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“,概率密度函数,”的方式,.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法,.,2.3.1,连续型随机变量及其概率密度函数,定义：,设,X,是一随机变量，若存在一个非负,可积函数,f,(x,),使得,其中,F(x,),是它的分布函数,则称,X,是,连续型随机变量,，,f,(,x,),是它的,概率,密度函数,(p.d.f.),，,简称为,密度函数,或,概率密,度,x,f,(,x,),x,F,(,x,),分布函数,F(x,),与密度函数,f,(x,),的几何意义,概率密度函数,f,(x,),的性质,3、,在,f(x,),的连续点处，,f(x,),描述了,X,在,x,附近单位长度的区间内取值的概率,.,1,2,这两条性质是判定一个,函数,f(x),是否为某,r.v,X,的,概率密度函数的充要条件,.,f,(,x,),x,o,面积为,1,注意,:,对于连续型随机变量,X,P,(,X=a,)=0,这里,a,可以是随机变量,X,的一个可能的,取值,.,命题,:,连续型随机变量取任一常数的概率为零,.,事实上,对于连续型随机变量,X,b,x,f,(,x,),a,x,f,(,x,),a,例,2.3.1,设随机变量 具有概率密度函数,试确定常数,A,，,以及 的分布函数,.,解,:,由,知,A,=3,，,即,而 的分布函数为,解,Step1:,利用密度函数的性质求出,a,例：已知密度函数求概率,Step2:,密度函数在区间的积分得到此区间的概率,例：已知分布函数求密度函数,（,2)X,的密度函数,（,2,）,密度函数为,解,解,当,x,1,时,0,1 2 3 4 5,y,x,x,当,1,x,0,为常数,对于任意的,0 a b,应用场合,:,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种,“寿命”分布的近似,例,2.3.2,令：,B=,等待时间为,10-20,分钟,2.3.2.3,正态分布,若,X,的密度函数为,则称,X,服从,参数为,2,的正态分布,记作,X,N,(,2,),为,常数，,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布,.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布,.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面,.,正态分布的密度函数的性质与图形,关于,x=,对称,（,-,，）,升,，（，,+,）,降,单调性,对称性,拐点,中间高,两边低,y,-,+,x,2,，,对密度曲线的影响,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线。特点是,“,两头小，中间大，左右对称,”,。,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度。,应用场合,:,若随机变量,X,受到众多相互独立的随机因素的,影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,则,X,服从正态分布,.,可用正态变量描述的实例非常之多：,各种测量的误差；人的生理特征；,工厂产品的尺寸；农作物的收获量；,海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度；学生们的考试成绩；,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许,多分布所不具备的,正态分布可以作为许多分布的近似分布,正态分布的重要性,:,正态分布的分布函数,F(x),1,x,标准正态分布,定义,X N,（,0,，,1,）,分布称为标准正态分布,密度函数,分布函数,Standard Normal distribution,偶函数,标准正态分布的概率计算,分布函数,X,-x,标准正态分布的概率计算,公式,查表,例,X N,（,0,，,1,）,一般正态分布的标准化,定理,查标准正态分布表,概率计算,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,.,一般正态分布的区间概率,。,。,。,设,XN,（,1,，,4,），求,P(0X1.6),解,例,正态分,布的实际应用,已知,90,分以上的,12,人，,60,分以下的,83,人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为,78,分，问此人能否被录取？,某单位招聘,155,人，按考试成绩录用，共有,526,人报名，假设报名者的考试成绩,分析,首先求出,和,然后根据录取率或者分数线确定能否录取,解,成绩,X,服从,录取率为,可得,得,查表得,解,查表得,.,解得,故,设录取的最低分为,则应有,某人,78,分，可,被录取。,3,准则,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，,X,的取值几乎全部集中在,-,3,3,区间,内，超出这个范围的可能性仅占不到,0.3%,.,当,X,N,(0,1),时，,P,(|,X,|1)=2,(,1,)-,1,=,0.6826,P,(|,X,|2)=2,(,2,)-,1,=,0.9544,P,(|,X,|3)=2,(,3,)-,1,=,0.9974,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,可以认为，,Y,的取值几乎全部集中在,区间内,.,这在统计学上称作“,3,准则,”,（三倍标准差原则）,.,例,公共汽车车门的高度是按男子与车门,顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的,.,设男子,身高,X,N,(,170,6,2,),问车门高度应如何确定,?,解,:,设车门高度为,h,cm,按设计要求,P(,X,h,)0.01,或,P(,X,h,)0.99,，,下面我们来求满足上式的最小的,h,.,再看一个应用正态分布的例子,:,因为,X,N,(,170,6,2,),故,P,(,X,0.99,所以,=,2.33,即,h,=170+13.98 184,设计车门高度为,184,厘米时，可使,男子与车门碰头,机会不超过,0.01,.,P(,X,h,)0.99,求满足,的最小的,h.,这一讲，我们介绍了正态分布，它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道,.,后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布,.,