A1-8函数的连续性与间断点.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1-8,函数的连续性与间断点,函数的连续性,函数的间断点,1.,概念,一、函数的连续性,曲线不断,曲线断开,函数,f(x),随,x,的改变而,逐渐改变,有突变现象,2.,连续的定义,注：,1),函数,f,(,x,),在,x,0,连续的等价写法,(,满足定义,1,的条件,):,2),若,y=f,(,x,),在,x,0,处不连续，则称,y,=,f,(,x,),在,x,0,处间断。,3),极限与连续的关系,:,极限,连续,连续函数必有极限,有极限不一定是连续函数,.,例如,例1,证,3.,单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,4.,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的,连续函数,或者说函数在该区间上连续,.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,.,例如,基本初等函数在其定义域上连续,初等函数在其定义区间上连续,.,例3,证,例,4.,设,在,x=0,处连续，求常数,a,与,b,应,满足的关系。,二、函数的间断点,1.,跳跃间断点,例4,解,2.,可去间断点,例5,解,如例,5,中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,.,特点,注意,可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点,.,3.,第二类间断点,例6,解,例7,解,注意,不要以为函数的间断点只是个别的几个点,.,狄利克雷函数,在定义域,R,内每一点处都间断,且都是第二类间断点,.,仅在,x,=0,处连续,在定义域,R,内其余各点处处间断,.,但其绝对值处处连续,.,例,8,研究下列函数在,x=0,的连续性，若是间断的，指出间断点类型。,（,a,为任意实数）,解：,1),x=0,为第一类间断点。,不存在，,x=0,为第二类间断点。,4,）,当,a=0,时,f,4,(x),在,x=0,处连续。,a0,时,x=0,为,f(x),的可去间断点。,2),3,）,因此,x=k,+/2(,k,=0,1,2,),是可去间断点,.,例讨论函数,y=,x/tanx,的间断点,解,:(1),函数在,x=0,没有定义,因此，,x=0,是可去间断点,(k,=1,2,),因此，,x=k,(k,=1,2,),是无穷间断点,;,(,k,=0,1,2,),(3),函数在,x=k+/2,没定义,例,确定函数,间断点的类型,.,解,:,间断点,为,无穷间断点,;,故,为,跳跃间断点,.,小结,1.,函数在一点连续必须满足的三个条件,;,3.,间断点的分类与判别,;,2.,区间上的连续函数,;,第一类间断点,:,可去型,跳跃型,.,第二类间断点,:,无穷型,振荡型,.,间断点,(,见下图,),可去型,第一类间断点,o,y,x,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,o,y,x,o,y,x,o,y,x,思考题,思考题解答,且,1,、一类；一类；二类。,2,、,但反之不成立,.,例,但,