概率论2-1下.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,我们将研究两类随机变量：,如“取到次品的个数”，,“收到的呼叫数”等,.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等,.,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点,.,离散型随机变量的概率分布,从中任取,3,个球,取到的白球数,X,是一个随机变量,.,看一个例子,:,(1),X,可能取的值是,0,1,2,;,(2),取每个值的概率为,:,其中,(,k,=1,2,),满足：,k,=1,2,（,1,）,（,2,）,定义,2,：设,x,k,(,k,=1,2,),是离散型随机变量,X,所取的一切可能值，称,为,离散型随机变量,X,的分布律,.,用这两条性质,判断一个函数,是否是分布律,定义,1,：某些随机变量,X,的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,则这种随机变量称为,离散型随机变量,.,离散型随机变量表示方法,（,1,）公式法,（,2,）列表法,X,例,某篮球运动员投中篮圈概率是,0.9,，求他两次独立投篮投中次数,X,的概率分布,.,解：,X,可取值为,0,1,2;,P,X,=0=(0.1)(0.1)=0.01,P,X,=1=2(0.9)(0.1)=0.18,P,X,=2=(0.9)(0.9)=0.81,常表示为：,这就是,X,的分布律,.,如前例：某射手每次命中目标的概率为,0.8,，若独立射出次，求次命中目标次数为,k,的概率，,k=0,1,2,3,。,令,X=,三次中命中目标的次数,，则题意要求,PX=k,k=0,1,2,3.,这是三重伯努利试验，因此,这就是,X,的分布律,.,常见分布,1,、（,0-1,）分布：（也称两点分布）,随机变量,X,只可能取0与1两个值，其分布律为：,看一个试验 将,一枚均匀骰子抛掷,3,次,.,X,的分布律是：,2.,二项分布,(,伯努利分布,),令,X,表示,3,次中出现,“,4,”,点的次数,掷骰子：,“,掷出,4,点,”,，,“,未掷出,4,点,”,抽验产品：,“,是正品,”,，,“,是次品,”,一般地，,设在一次试验,E,中我们只考虑两个互逆的,结果：,A,或,.,这样的试验,E,称为,伯努利试验,.,将伯努利试验,E,独立地重复地进行,n,次,则称这一串,重复的独立,试验为,n,重伯努利试验,.,“,重复,”是指这,n,次试验中,P(A)=p,保持不变,.,“,独立,”是指各,次试验的结果互不影响,.,用,X,表示,n,重伯努利试验中事件,A,发生的次数，在每次试验中事件发生的概率为,p(0p1),，则的可能取值为,0,1,2,n,，且,易证：,（,1,）,称,X,服从参数为,n,和,p,的二项分布,，亦称,伯努利分布,记作,X,B,(,n,p,),（,2,）,例,1,已知,100,个产品中有,5,个次品，现从中,无放回地,取,3,次，每次任取,1,个，求在所取的,3,个中恰有,2,个次品的概率,.,请注意：,本例中的“无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验,.,此时,只能用古典概型求解,.,例,2,按规定，某型号电子元件的使用寿命超过,1500,小时为一级品，已知某一大批产品的一级品率为,0.2,，现从中随机抽查,20,只，问,20,只元件中恰有,k(k,=0,1,2,20),只为一级品的概率为多少？,本题中，虽然,不放回,抽样，但是,由于样本庞大，抽出的,20,可忽略不计,，,虽有误差，但仍可看作独立事件,。检查一个元件看作一次试验，检查,20,只相当于,20,重伯努利试验。,伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（,1,）每次试验条件相同；,可以简单地说，,二项分布描述的是,n,重伯努利试验中事件,A,出现的次数,X,的分布律,.,（,2,）每次试验只考虑两个互逆结果,A,或 ，,（,3,）各次试验相互独立,.,且,P,(,A,)=,p,，,；,注：通常，对于,n,p,固定，,XB(n,p,),都会随着,X=k,的增加，图形先增加到最大值随后减小。,对于,p,固定，随着,n,的增加，,B(n,p,),的图形趋于对称。,考虑比值,当,k(n+1)p,时，,p,k-1,(n+1)p,时,p,k-1,p,k,。,记,k,0,=(n+1)p,，则当,kk,0,时，,p,k,单调减少,p,k,在,k,0,达到最大值。,当,(n+1)p,为整数时，,p,k,和,p,k-1,都取得最大值，,k,0,称为最可能成功次数。,3.,泊松分布,设随机变量,X,的概率分布为：,其中,0,是常数,则称,X,服从参数为,的泊松,分布,记作,X,(,).,此分布常见于,稠密性问题。,性质：,（,1,）,（,2,）,泊松定理,：设随机变量,服从二项分布，又设,0,是一常数，,是任意正整数，若,np,n,=,，则对任一固定的非负整数,k,，有,由于泊松定理中,0,为常数，因此当,很大时，,p,n,=,/n,必定很小，则当,n,很大，,很小时，二项分布有如下近似计算公式：,通常在,n20,p0.05,时，用泊松分布近似替换二项分布效果较好。,柏松分布的方便之处在于有现成的分布表，可免去复杂计算。,例,1,为保证设备正常运行，需配置适量的维修工人，现有同类设备,300,台，各台工作互相独立，发生故障概率为,0.01,，在通常情况下一台设备的故障可由一人处理，问至少需要配置多少工人，才能保障当设备发生故障时但不能及时维修的概率小于,0.01,。,解：设配置,N,人，记同一时刻发生故障的设备台数为,X,，,那么，,X,B(300,，,0.01).,所需解决的问题时确定最小的,N,，使得,PX,N,0.99,由泊松定理,(=,np,=3),于是式化为,即,查表得满足上式的最小的,N,是,8,，因此，至少配置,8,个工人。,例,2,一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数,=5,的泊松分布来描述，为了以,95%,以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进,某种商品多少件？,解：设,进这种商品,N,件，,每月的销售数,为,X,件，那么，,X,P(5).,所需解决的问题时确定最小的,N,，使得,PX,N,0.95,由泊松定理,(=5),于是式化为,即,查表得满足上式的最小的,N,即可。,.,超几何分布,设,件同类产品含,件次品，现从中任取,n,件，令表示“,件中所含次品数”，则为离散型随机变量，其概率分布为,这时，称,服从,超几何分布,。,当,很大时，超几何分布可用二项分布逼近，可令,