复变函数与积分变换21.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 解析函数,1,、复变函数的概念、极限与连续性,2,、解析函数的概念,3,、函数可导与解析的充要条件,4,、初等函数,1.,复变函数的概念,一、定义,定义,2.1,设,E,是一个复数,z,=,x,+,iy,的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合,E,中的每一个复数,z,就有一个或几个复数,w,=,u,+,iv,与之对应,则称复变数,w,是复变数,z,的函数,(,简称,复变函数,),。记作,w,=,f,(,z,),如果,z,的一个值对应着,w,的一个值,则函数,f,(,z,),是单值的,;,否则就是多值的,.,集合,E,称为,f,(,z,),的,定义集合,对应于,E,中所有,z,对应的一切,w,值所成的集合,G,或,f,(,E,),称为,函数值集合,.,设,z,=,x,+,iy,w,=,u,+,iv,其确定了自变量为,x,和,y,的两个二元实变函数,u,v,.,例如,考察函数,w,=,z,2,.,令,z,=,x,+,iy,w,=,u,+,iv,则,u,+,iv,=(,x,+,iy,),2,=,x,2,-,y,2,+,i,2,xy,因而函数,w,=,z,2,对应于两个二元函数,:,u,=,x,2,-,y,2,v,=2,xy,在以后的讨论中,E,常常是一个平面,区域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数,.,二、映射的概念,函数,w,=,f,(,z,),在几何上可以看做是把,z,平面上的一个点集,E,(,定义集合,),变到,w,平面上的一个点集,G,(,函数值集合,),的,映射,(,或,变换,).,如果,E,中的点,z,被映射,w,=,f,(,z,),映射成,G,中的点,w,则,w,称为,z,的,象,(,映象,),而,z,称为,w,的,原象,.,x,u,E,G,Z,z,w,W=f(z),v,y,W,设函数,w,=,z,=,x,i,y,;,u=x,v=-y,x,y,O,u,v,O,A,B,C,z,1,z,2,A,B,C,w,1,w,2,设函数,w,=,z,2,=,(,x,+,iy,),2,=,x,2,-,y,2,+,i,2,xy,有,u,=,x,2,-,y,2,v,=2,xy,x,y,O,u,v,O,z,1,z,2,w,2,z,3,w,3,w,1,假定函数,w,=,f,(,z,),的定义集合为,z,平面上的集合,E,函数值集合为,w,平面上的集合,G,则,G,中的每个点,w,必将对应着,E,中的一个,(,或几个,),点,.,按照函数的定义,在,G,上就确定了一个单值,(,或多值,),函数,z,=,j,(,w,),它称为函数,w,=,f,(,z,),的反函数,也称为映射,w,=,f,(,z,),的逆映射,.,函数,(,映射,),w,=,f,(,z,),与它的反函数,(,逆映射,),z,=,j,(,w,),都是单值的,则称函数,(,映射,),w,=,f,(,z,),是一一的,.,此时,我们也称集合,E,与集合,G,是一一对应的,.,2.,复变函数的极限,函数的极限定义,设函数,w,=,f,(,z,),定义在,z,0,的,去心邻域,0|,z,-,z,0,|0,相应地必有一正数,d,(,e,)(0,d,r,),使得当,0|,z,-,z,0,|,d,时有,|,f,(,z,),-,A,|0,相应地有一个,d,0,使得当,0|,D,z,|,d,时,有,由此得,f,(,z,0,+,D,z,),-,f,(,z,0,)=,f,(,z,0,),D,z,+,r,(,D,z,),D,z,可,导 连续。,例,3,讨论,的,可导性。,解：,所以,在,复平面上除原点外处处不可导。,2.,解析函数的概念,函数在一点解析,在,该点可导。,反之不一定成立。,在区域内：,例如,f,(,z,)=,z,2,在,整个复平面上解析；,仅在,原点可导，故在整个复平面上不解析；,f,(,z,)=,x,+2,yi,在,整个复平面上不解析。,定义,2.5,否则称为奇点,。,例,讨论函数,f,(,z,)=1/,z,的解析性,.,解：,故,f,(,z,)=1/,z,除,z,=,0,外,处处解析；,z,=,0,是,它的一个奇点。,解析函数的性质：,(1),两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；,(2),两个解析函数的复合函数仍为解析函数；,(3),一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；,所 有解析点的集合必为开集。,定理,2.6,1),在区域,D,内解析的两个函数,f,(,z,),与,g,(,z,),的和,差,积,商,(,除去分母为零的点,),在,D,内解析,.,2),设函数,h,=,g,(,z,),在,z,平面上的区域,D,内解析,函数,w,=,f,(,h,),在,h,平面上的区域,G,内解析,.,如果对,D,内的每一个点,z,函数,g,(,z,),的对应值,h,都属于,G,则复合函数,w,=,f,g,(,z,),在,D,内解析,.,所有多项式在复平面内是处处解析的,任何一个有理分式函数,P,(,z,)/,Q,(,z,),在不含分母为零的点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的奇点,.,问题,：,对函数,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),，,如何判别其解析（可导）性？,换句话说：,例,:,设二元函数,f,(,x,y,)=,x,2,sin2,y,则,iv),微分的概念,设函数,w,=,f,(,z,),在,z,0,可导,则有,D,w,=,f,(,z,0,+,D,z,),-,f,(,z,0,)=,f,(,z,0,),D,z,+,r,(,D,z,),D,z,因此,|,r,(,D,z,),D,z,|,是,|,D,z,|,的高阶无穷小量,而,f,(,z,0,),D,z,是函数,w,=,f,(,z,),的改变量,D,w,的线性部分,称为函数,w,=,f,(,z,),在点,z,0,的微分,记作,d,w,=,f,(,z,0,),D,z,(*),如果函数在,z,0,的微分存在,则称,函数,f,(,z,),在,z,0,可微,.,d,w,=,f,(,z,0,),D,z,(*),特别,当,f,(,z,)=,z,时,由,(*),得,d,z,=,D,z,.,于是,d,w,=,f,(,z,)d,z,即,由此可见,函数,w,=,f,(,z,),在,z,0,可导与在,z,0,可微是等价的,.,如果,f,(,z,),在区域,D,内处处可微,则称,f,(,z,),在,D,内可微,.,2.3,函数可导与解析的充要条件,在工程中,往往是要用复变函数来解决实际问题,.,而实际问题中遇到的复变函数,通常都是某个实变函数延拓而来的,.,即,如果原来有一个实变函数,f,(,x,),自变量是实数,函数值也是实数,则将,x,用一个复数代替,就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数,.,事实上我们只关心这样的复变函数,.,比如说：实变函数,f,(,x,)=,x,2,-,x,+1,则相应的延拓的复变函数就是,f,(,z,)=,z,2,-,z,+1.,经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数,.,假设,f,(,z,)=,f,(,x,+,iy,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),是解析函数,我们也可以将它看作是变量,x,y,的二元函数,则对,x,求偏导和对,y,求偏导,得两个公式,u,(,x,y,),与,v,(,x,y,),在该点可微,并且满足,柯西,-,黎曼,(Cauchy-Riemann),方程。,定理,3.8,函数,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),在其定义域,D,内解析的充要条件是：,（,1,）,u,(,x,y,),与,v,(,x,y,),在,D,内可微,（,2,）,u,(,x,y,),与,v,(,x,y,),在,D,内,满足,Cauchy-Riemann,方程,.,定理,3.7,函数,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),定义在区域,D,内一点,z,=,x,+i,y,可,导的充分必要条件是,:,（,1,）,u,(,x,y,),与,v,(,x,y,),在点,(,x,y,),可微,（,2,）,u,(,x,y,),与,v,(,x,y,),在点,(,x,y,),满足,Cauchy-Riemann,方程,。,推论,：,例题,1,解：,例题,2,判断下列函数在何处可导,在何处解析,:,解：,得,u,=,x,v,=-,y,所以,在复平面内处处不可导,处处不解析；,2),由,w,=,z,Re(,z,)=,x,2,+,ixy,得,u,=,x,2,v,=,xy,所以,当且仅当,x,=,y,=0,时,因而函数仅在,z,=0,可导,但在复平面内任何地方都不解析,.,例,1,判断下列函数在何处可导,在何处解析,:,解,1),因为,u,=,x,v,=,-,y,可知柯西,-,黎曼方程不满足,所以,w=z,在复平面内处处不可导,处处不解析,2),因为,u,=,e,x,cos,y,v,=,e,x,sin,y,柯西,-,黎曼方程成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以,f,(,z,),在复平面内处处可导,处处解析,且根据,(2.2.2),式有,f,(,z,)=,e,x,(cos,y,+,i,sin,y,)=,f,(,z,),今后将知道这个函数就是指数函数,e,z,.,3),由,w,=,z,Re(,z,)=,x,2,+,ixy,得,u,=,x,2,v,=,xy,所以,容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当,x,=,y,=0,时,它们才满足柯西,-,黎曼方程,因而函数仅在,z,=0,可导,但在复平面内任何地方都不解析,.,例,2,设函数,f,(,z,)=,x,2,+,axy,+,by,2,+,i,(,cx,2,+,dxy,+,y,2,).,问常数,a,b,c,d,取何值时,f,(,z,),在复平面内处处解析,?,解,由于,u,x,=2,x,+,ay,u,y,=,ax,+2,by,v,x,=2,cx,+,dy,v,y,=,dx,+2,y,从而要使,u,x,=,v,y,u,y,=-,v,x,只需,2,x,+,ay,=,dx,+2,y,2,cx,+,dy,=-,ax,-,2,by,.,因此,当,a,=2,b,=-,1,c,=-,1,d,=2,时,此函数在复平面内处处解析,这时,f,(,z,)=,x,2,+2,xy,-,y,2,+,i,(,-,x,2,+2,xy,+,y,2,)=(1,-,i,)(,x,+,iy,),2,=(1,-,i,),z,2,2.4,初等函数,3.1,指数函数,定义：,性质：,3.2,三角函数,定义：,性质：,(1)Euler,公式仍然成立：,(2),全平面解析函数，,(3),各种三角恒等式仍然成立,(,半角公式除外,),(4)sin,z,为奇函数，,cos,z,为偶函数,例如,(7),定义其他的三角函数：,3.3,双曲函数,定义：,（,1,）,全平面解析函数：,（,2,）以,2,p,i,为基本周期的周期函数：,（,3,）,ch,z,为偶函数,sh,z,为奇函数。,（,4,）与三角函数的关系：,例题,1,解,方程,解：,3.4,对数函数,定义：,记：,多值性,-,主值支,例如：,性质：,(2),Ln,z,为无穷多值函数，每两个值相差,2,i,的整数倍,，,(4),除去原点与负实轴,ln,z,在,复平面内处处解析：,今后我们应用对数函数,Ln,z,时,指的都是它在除去,原点及负实轴的平面内的某一单值分支,.,问题：,3.5,幂函数,定义：,-,单值,函数,-,n,值函数,-,n,值函数,-,无穷多值函数,在除,原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且,例3,解,下列方程：,解,