数学建模易拉罐最优设计演示文稿.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题,信息,1001,小海,摘要,利用数学分析的方法，建立在同样容积和材料的易拉罐哪种情况下具有最小的面积的数学模型。运用圆柱与正圆台最小面积的知识，结合图形得出一组解,通过进一步讨论、分析验证此解的合理性，最后利用,MATLAB,软件求得其最优解的几何图形，并通过,PHOTOSHOP,画出了产品的实物图，从而为生产易拉罐的公司设计出一个最佳生产方案,.,关键词,最优设计，,易拉罐，,材料，,形状，,尺寸，,模型,问题的重述,为生产易拉罐的公司设计出一个最佳生产方案,.,，所谓的最佳生产方案即生产经营单位利用有限的空间、物质资源及生产能力，在一定时间内，将配置实现最优化的利用、调度，获得合理范围内的最大收益。真对生产易拉罐的公司来说,将其材料的费用、易拉罐用的材料、易拉罐的形状和尺寸、易拉罐的新颖时尚程度、易拉罐的个性化、生产易拉罐的技术难度、易拉罐的环保、易拉罐对人体是否有有害影响等作为厂家综合考虑的因素，利用其间各种联系，可得出几种合理资源配置方案，再在这其中找出最佳方案，即能使生产经营单位得到收益最高的方案，即所谓的这家易拉罐公司得到收益最高的方案。下面我们就对易拉罐的形状和尺寸进行讨论易拉罐的最优设计问题。,表,1,、铝易拉罐和纸易拉罐比较表,模型的假设,1,假设易拉罐各个部分的厚度是均匀的。,2,假设易拉罐各个部分的材料是一样的。,3,易拉罐的上端卷口材料的影响很小,可不计。,4,易拉罐底端的曲面简化成为一个平面。,5,易拉罐拉环不加考虑。,符号说明,V,正圆台的体积,S,再圆台的表面积,R,易拉罐下底面的半径,r,易拉罐上底面的半径,H,易拉罐圆柱部分的高度,h,易拉罐圆台部分的高度易拉罐圆台部分的倾斜角,模型的建立与求解,问题一：取一个饮料容量为,355,毫升的易拉罐，例如,:355,毫升的可口可乐饮料罐，测量出我们验证模型所需要的数据（易拉罐各部分的直径、高度、厚度等），并把数据表加以说明。,问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸（半径和高度之比）。,问题三：设易拉罐的中心纵断面上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。,问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。,问题五：用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤以及难点,问题的求解过程,首先我们通过使用工具对市场上面常见的传统型易拉罐测量得出我们需要验证模型所需要的数据（易拉罐的直径，高度，厚度，梯形台高，上面直径，下直径，坡度）。,其次，我们假设易拉罐是一个正圆柱体，我们通过利用数学的方法计算求出它的最优设计方案结果，并验证说明我们所测得的易拉罐的形状和尺寸我们 并在此建立目标函数来说明问题的最优化,再次：我们设易拉罐上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，通过建立数学模型、求解模型来说明什么是易拉罐的最优设计以及最优设计的结果，运用我们测量得到的数据来验证这个模型的正确性,最后，通过对易拉罐的了解和洞察力，合理的设计出我们自己心目中易拉罐的最优形状和尺寸,利用绘图工具绘制出我们设计的实物图和集合图形,.,并且对我们设计的模形与传统的易拉罐作对比分析,合理的预测出我们设计的模型的优势,同时我们也可以分析我们设计的模型的潜在入侵者的威胁、替代品的威胁、买方的还价能力、供方的讨价能力、现有企业的竞争等各种条件分析来预测我们模型的市场长期和短期的影响力度。,问题的求解,问题一的求解,:,我们通过用角尺,直尺,软尺,卡尺,铸模尺,测瓶尺等一系列工具测得的易拉罐各部分结果分别为：厚度,0.32,，下直径为,67.7,，高,124.7,，梯形台高,11.2,，上直径,64.5,，坡度,0.68,；,问题二的求解,:,在问题二中整个易拉罐都被看作为正圆柱体，根据制造过程中消耗铁皮的多少来判别优劣，即最优易拉罐应该具有的最小表面,S,使易拉罐为最优化应做到同样容积的易拉罐用最少的材料。我们为此在这里建立数学函数用来说明易拉罐的最优化，我们从以下三方面来着手，首先是写出易拉罐的面积的表达式，其次是易拉罐在半径外多少时有最小值，最后是求出底半径与高之比。,问题三的求解,:,当我们在分析问题三时，我们需要求出的是易拉罐形状和尺寸的最优设计是什么，我们知道它的最优设计就是在容量不变的情况下，怎么样设计才能使使用的材料最少，同时还能够保证易拉罐形状和性能的不变。根据立体几何的性质可以得知，正圆柱体是在表面积不变的情况下，表面积最小（即耗材最少）的图形；所以我们要研究的最优设计只是这个易拉罐下部分和上部分的比例以及上部分的斜率问题，根据几何图形最优设计问题我们可以知道接口处的角度大小和上下部分高的比例大小直接关系到整个易拉罐的耗材优化设计,问题四的求解,由饮料的特性我们知道纸制易拉罐的主要技术问题是如何确保易拉罐罐体的物理性能、耐磨性、耐压强度、保鲜性能、密封性。我们如何来解决这个问题成为我们推广纸制易拉罐制作工程中的重中之重。下面我们就来讨论一下关于纸制易拉罐制作过程中的技术问题,:,(1),落料易拉伸复合工序。拉伸时，坯料边缘的材料沿着径向形成杯，因此在塑性流动区域的单元体为双向受压，单向受拉的三向应力状态，由于受凸模圆弧和拉伸凹模圆弧的作用，杯下部壁厚约减薄,10%,，而杯口增厚约,25%,。杯转角处的圆弧大小对后续工序,(,罐体成形,),有较大的影响，若控制不好，易产生断罐。因此落料拉伸工序必须考虑以下因素：杯的直径和拉伸比、凸模圆弧、拉伸凹模圆弧、凸、凹模间隙、铝材的机械性能、模具表面的摩擦性能、材料表面的润滑、拉伸速度、突耳率等。突耳的产生主要由,2,个因素确定：一是金属材料的性能，二是拉伸模具的设计。突耳出现在杯的最高点同时也是最薄点，将会对罐体成形带来影响，造成修边不全，废品率增高。,我们在考虑易拉罐的形状和尺寸比例设置的时候，不仅要考虑到外观美，还要重点考虑资源的最优利用。考虑到做上、下底面和侧面所用材料的厚度是不同。若设上、下底面单位面积的厚度为,p,，侧面的厚度为,q(,pq,),，则做一个易拉罐所需材料的为,s=p2r2+q2r*h,。要使具有最少的材料，则,s=(2pr2+qrh+qrh)(2pr2r4h2)1/3,，当且仅当,2pr2=q*r*h=q*r*h,，即,h=2pr/q,时材料最少。此时，易拉罐就不再是等边圆柱体。,市场上常见的易拉罐形状,饮料罐模型设计,模型的改进,缺点：,1,、对于模型中出现的实际的复杂问题作了很多简化，最终得到的数值与所测数值有偏差。,2,、测量易拉罐的数据有误差,易拉罐的设计主要考虑的方面有,1,、尺寸比例的经济性及科学性；,2,、人体工学；,3,、力学性质；,4,、易拉罐内部留有的空余部分；,、放置时运输时的稳定性。我们的模型中第,1,、,3,、,5,、方面已考虑到，与改进模型需进一步考虑,2,、,4,、方面。第三方面也可进一步考虑。根据参考文献，罐底球面的强度取决于以下几个因素：材料的弹性模量、底部直径、材料的强度、球面半径。材料愈薄，强度愈低，因此轻量化技术要求减少罐底直径及设计特殊的罐底形状。工艺试验表明，罐底沟外壁夹角若 大于,40,，将大大减小罐底耐压。凸模圆弧,R,不能小于,3,倍的料厚。但,R,太大，将会减小强度。球面和罐底沟内壁圆弧,R1,，至少为,3,倍料厚，减小罐底沟内壁夹角，将增加强度，生产中大多数采用,10,以下,体验数学建模,数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，而应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是必要的一步，也是最关键的一步，同时也是最困难的一步。,懂得好的数学建模不仅仅只依靠数学知识，而且也要与实际生活工作的经验紧密结合。,建立数学模型的过程,首先，要对实际问题观察、分析（抓住主要方面）；,其次，对实际问题进行必要的抽象、简化作出合理的假设；,第三，确立模型中的变量和参数且根据规律列出变量间的关系,第四，运用数学知识解析或近似的求解这个数学问题；,第五，以原型的数据检验数学模型并对数学解决作出解释和评价。,第六，验证数学结果是否能解释或预测实际问题出现的现象。,结论,在本题中着重以环保、减少企业的成本、保证消费者的健康、矿产资源的前景、多样性、新颖时尚、个性化和青少年追求注重感情和直觉冲动性购买色彩浓烈等方面来考虑。,从该设计的易拉罐的模型来讲，模型追求新颖时尚，追求个性化，注重感情和直觉，冲动性购买色彩浓烈。在当今的青少年中他们的自我意识加强了，有自己的性格、志向、兴趣等，在各类活动中都会有意无意地表现自己的特殊性。而该易拉罐模型刚好追随了大多数青少年的目光，加工的饮料也就会受到大家的关注。,参考文献：,1,叶其孝 姜启源等译数学建模。第三版。北京：机械工业出版社,2005.1,2,苏金明，王永利,MATLAB,实用指南，北京：北京电子工业出版社,2004.10,3,徐全智、杨晋浩 数学建模，北京：高等教育出版社,2004.2,4,袁振东 数学建模方法，江苏：华东师范大学出版社,2003.1,5,王兵团 数学建模基础，北京：清华大学出版社、北京交通大学出版社,2005.10,6,清源计算机工作室，,MATLAB6.0,高级应用,-,图形图象处理。北京：机械工业出版社，,2001.,7,袁震东、蒋鲁敏、束金龙，数学建模简明教程，江苏：华东师范大学出版社，,2002,8,洪毅 林健良，陶志穗 数学模型 北京：高等教育出版社,2004.5,9,邦迪，默蒂，图论极其应用，吴望名等译，北京：科学出版社，,1984,谢谢观赏,