电磁场chap0.ppt

第 零 章,矢 量 分 析,标量场和矢量场,标量场的梯度,矢量场的通量与散度,矢量场的环量与旋度,亥姆霍兹定理,电磁场的特殊形式,第,0,章 矢量分析,下 页,返 回,Vector Analysis,正交坐标系,0.1,正交坐标系,下 页,上 页,返 回,直角坐标系,柱坐标系,球坐标系,三个坐标单位矢量相互垂直，互为右手螺旋关系,空间任何一点都可用过这点的三个坐标面确定,下 页,上 页,返 回,矢量积（,叉积,）,任意两个矢量,A,与,B,的矢量积,(,Vector Product),是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量,A,与,B,组成的平面，记为,C,=,A,B,=,a,C,AB,si,n,，,a,C,=,a,A,a,B,（右手螺旋）,在直角坐标系中，矢量的,叉积,还可以表示为,=,a,x,(,A,y,B,z,-,A,z,B,y,)+,a,y,(,A,z,B,x,-,A,x,B,z,)+,a,z,(,A,x,B,y,-,A,y,B,x,),下 页,上 页,返 回,直角坐标系,(,x,y,z,),z,x,y,z,=,z,0,x,=,x,0,y,=,y,0,P,0,O,微分单元的表示,下 页,上 页,返 回,圆柱坐标系,(,z,),微分单元的表示,y,z,x,=,0,=,0,z,=,z,0,P,0,P,0,(,0,0,z,0,),P,0,(,x,0,y,0,z,0,),下 页,上 页,返 回,球坐标系,(,r,),=,0,x,z,y,r,=,r,0,=,0,微分单元的表示,P,0,(,r,0,0,0,),P,0,(,x,0,y,0,z,0,),0,r,0,P,0,0,下 页,上 页,返 回,矢量分量的转换,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量,。,例如，,在直角坐标下,：,0.2,标量场和矢量场,标量场,矢量场,如温度场、电位场、高度场等；,如流速场、电场、涡流场等。,Scalar Field and Vector Field,下 页,上 页,返 回,其方程为,:,图,0.2.1,等高线,(1),标量场,-,等值线,(,面,),形象描绘场分布的工具,场线,思考,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,下 页,上 页,返 回,三维场,二维场,图,0.2.2,矢量线,(2),矢,量场,-,矢量线,其方程为,：,在直角坐标下：,下 页,上 页,返 回,=,a,x,(,A,y,dz,-,A,z,dx,)+,a,y,(,A,z,dx,-,A,x,dz,)+,a,z,(,A,x,dy,-,A,y,dx,),0.3,标量场的梯度,Gradient of Scalar Field,设一个标量函数,(,x,，,y,，,z,),，若函数,在点,P,可微，则,在点,P,沿任意方向,的方向导数为,设,式中,分别是任一方向 与,x,y,z,轴的夹角,则有：,当 ，最大,下 页,上 页,返 回,梯度,(,gradient,),哈密顿算子,读作,“,纳普拉（,Nabla,）,”,或,“,代尔（,del,）,”,式中,梯度的方向为该点最大方向导数的方向。,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即,最大方向导数,。,标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。,梯度的意义,下 页,上 页,返 回,例,0.3.1,电位场的梯度,图,0.3.1,电位场的梯度,电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；,指向电位增加的方向。,下 页,上 页,返 回,0.4,矢量场的通量与散度,0.4.1,通量,(,Flux,),矢量,E,沿有向曲面,S,的面积分,若,S,为闭合曲面,根据通量的大小判断闭合面中源的性质：,Flux and Divergence of Vector,0,(,有正源,),0,(,有负源,),=,0,(,无源,),图,0.4.2,矢量场通量的性质,下 页,上 页,返 回,图,0.4.1,矢量场的通量,0.4.2,散度,(,Divergence,),如果包围点,P,的闭合面,S,所围区域,V,以任意方式缩小到点,P,时：,散度,(,divergence,),下 页,上 页,返 回,0.4.3,散度定理,(,Divergence Theorem,),通量元密度,高斯公式,矢量函数的面积分与体积分的相互转换。,下 页,上 页,返 回,S,V,1,2,1,2,e,n,2,e,n,1,散度的意义,在矢量场中，若,A,=,0,，,称之为有源场，,称为,(,通量,),源密度；若矢量场中处处,A,=,0,，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；,散度代表矢量场的通量源的分布特性。,(,无源,）,(,正源,),(,负,源,),图,0.4.3,通量的物理意义,下 页,上 页,返 回,0.5,矢量场的环量与旋度,0.5.1,环量,(Circulation),矢量,A,沿空间有向闭合曲线,L,的线积分,环量,环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。,Circulation and Rotation of Vector Field,下 页,上 页,返 回,图,0.5.1,环量的计算,下 页,上 页,返 回,水流沿平行于水管轴线方向流动，,=,0,，无涡旋运动。,例,：流速场,图,0.4.2,流速场,流体做涡旋运动，,0,，有产生涡旋的源。,0.5.2,旋度,(Rotation),1.,环量密度,过点,P,作一微小曲面,S,，它的边界曲线记为,L,，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当,S,点,P,时，存在极限,环量密度,环量密度是单位面积上的环量。,下 页,上 页,返 回,2,.,旋度,旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向,旋度,(curl),S,的法线方向,它与环量密度的关系为,在直角坐标下,:,下 页,上 页,返 回,3.,旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其,方向是最大环量密度的方向。,在矢量场中，若,A,=,J,0,称之为,旋度场（或涡旋场），,J,称为,旋度源（或涡旋源）。,若矢量场处处,A,=,0,，称之为无,旋场。,下 页,上 页,返 回,4.,斯托克斯定理,(,Stockes,Theorem,),矢量函数的线积分与面积分的相互转化。,斯托克斯,定理,下 页,上 页,在电磁场理论中，,高斯,定理,和,斯托克斯,定理,是,两个非常重要的公式。,返 回,0.6,亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理：,在有限区域内，矢量场由它的,散度、旋度,及,边界条件,惟一地确定。,已知：,矢量,A,的通量源密度,矢量,A,的旋度源密度,场域边界条件,（矢量,A,惟一地确定）,电荷密度,电流密度,J,场域边界条件,在电磁场中,Hymherze,Theorem,下 页,上 页,返 回,例,0.6.1,试判断下列各图中矢量场的性质。,0,0,0,0,0,0,下 页,上 页,返 回,0.7,特殊形式的电磁场,如果在经过某一轴线,(,设为,z,轴）,的一族平行平面上，场,F,的分布都相同，即,F,=,f,（,x,，,y,），,则称这个场为平行平面场。,1.,平行平面场,Special Forms of Electromagnetic Field,如无限长直导线产生的电场,。,下 页,上 页,返 回,0,如果在经过某一轴线,(,设为,z,轴,),的一族子午面上，场,F,的分布都相同，即,F,=,f,（,r,），则称这个场为轴对称场。,2.,轴对称场,如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。,下 页,上 页,返 回,3.,球面对称场,如果在一族同心球面上（设球心在原点），场,F,的分布都相同，即,F,=,f,（,r,），则称这个场为球面对称场。,如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。,上 页,0,返 回,作 业,上 页,返 回,z,x,y,r,O,P,(,x,y,z,),r,r,r,P,(,x,y,z,),计算 及 。,说明,表示对,x,y,z,运算,表示对 运算,