特征多项式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,5.2,方阵的特征值与特征向量,上页,下页,铃,结束,返回,首页,工程技术中的一些问题,如振动问题和稳定性问题,常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题,数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题,也都要用到特征值的理论,提示,特征值与特征向量,设,A,是,n,阶矩阵,如果数,和,n,维非零向量,x,使关系式,A,x,x,成立,那么,这样的数,称为方阵,A,的特征值,非零向量,x,称为,A,的对应于特征值,的特征向量,A,x,x,(,A,E,),x,0,齐次方程,(,A,E,),x,0,有非零解,|,A,E,|,0,特征多项式,与,特征方程,设,A,为,n,阶方阵,则称,的,n,次多项式,f,(,),|,A,E,|,为,方阵,A,的特征多项式,称,|,A,E,|,0,为方阵,A,的特征方程,下页,提示,特征值与特征向量,设,A,是,n,阶矩阵,如果数,和,n,维非零向量,x,使关系式,A,x,x,成立,那么,这样的数,称为方阵,A,的特征值,非零向量,x,称为,A,的对应于特征值,的特征向量,特征方程,|,A,E,|,0,的根,就是矩阵,A,的特征值,齐次方程,(,A,E,),x,0,的非零解,x,就是,A,的对应于特征值,的特征向量,特征多项式,与,特征方程,设,A,为,n,阶方阵,则称,的,n,次多项式,f,(,),|,A,E,|,为,方阵,A,的特征多项式,称,|,A,E,|,0,为方阵,A,的特征方程,下页,特征值与特征向量,设,A,是,n,阶矩阵,如果数,和,n,维非零向量,x,使关系式,A,x,x,成立,那么,这样的数,称为方阵,A,的特征值,非零向量,x,称为,A,的对应于特征值,的特征向量,特征多项式,与,特征方程,设,A,为,n,阶方阵,则称,的,n,次多项式,f,(,),|,A,E,|,为,方阵,A,的特征多项式,称,|,A,E,|,0,为方阵,A,的特征方程,特征值的性质,设,n,阶矩阵,A,(,a,ij,),的特征值为,1,2,n,则,(1),1,2,n,a,11,a,22,a,nn,(2),1,2,n,|,A,|,下页,得基础解系,(,1,1),T,得基础解系,(1,1),T,方程,|,A,E,|,0,的根就是矩阵,A,的特征值,方程,(,A,E,),x,0,的非零解就是,A,的对应于特征值,的特征向量,例,1,求矩阵 的特征值和特征向量,解,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为,1,2,2,4,对于特征值,1,2,解方程,(,A,2,E,),x,0,p,1,(1,1),T,是矩阵,A,的,对应于特征值,1,2,的特征向量,对于特征值,2,4,解方程,(,A,4,E,),x,0,p,2,(,1,1),T,是矩阵,A,的,对应于特征值,2,4,的特征向量,下页,例,2,求矩阵 的特征值和特征向量,解,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为,1,2,2,3,1,得基础解系,p,2,(,1,2,1),T,得基础解系,p,1,(0,0,1),T,对于,1,2,解方程,(,A,2,E,),x,0,所以,k,p,1,(,k,0),是对应于,1,2,的全部特征向量,对于,2,3,1,解方程,(,A,E,),x,0,所以,k,p,2,(,k,0),是对应于,2,3,1,的全部特征向量,下页,例,3,求矩阵 的特征值和特征向量,解,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为,1,1,2,3,2,得基础解系,得基础解系,p,1,(1,0,1),T,对于,1,1,解方程,(,A,E,),x,0,所以对应于,1,1,的全部特征向量为,k,p,1,(,k,0),对于,2,3,2,解方程,(,A,2,E,),x,0,所以对应于,2,3,2,的全部特征向量为,k,2,p,2,k,3,p,3,(,k,2,k,3,0),p,2,(0,1,1),T,p,3,(1,0,4),T,下页,