留数定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 留数,定理,1 留数定理,2 留数在定积分计算上的应用（一）,3 留数在定积分计算上的应用（,二）,如果函数,f,(,z,),在,z,0,的邻域内解析,根据柯西积分定理,如果,z,0,为,f,(,z,),的一个孤立奇点,则沿在,z,0,的某个去,心邻域0|,z,-,z,0,|,R,内，包含,z,0,的任意一条正向简单闭,曲线,C,的积分,一般就不等于零。,思考,：积分等于多少?,1 留数定理,结论：,从上面的讨论可知,积分的计算可转化为求被积函数的罗朗展开式中,z-z,0,的负一次幂项的系数,c,-,1,。,或,思路一,将,f,(,z,),在此邻域内展开为罗朗级数,f,(,z,)=,.+,c,-,n,(,z,-,z,0,),-,n,+.+,c,-1,(,z,-,z,0,),-1,+,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.+,c,n,(,z,-,z,0,),n,+.,后,两端沿,C,逐项积分,右端各项积分除留下,c,-1,(,z,-,z,0,),-1,的一项等于2,ic,-1,外，其余各项积分都等于零，所以,若令,n,=-1,得,思路二,由,罗朗级数系数,公式,为,函数,f,(z),在,z,0,的留数,(,Residue),，,记作,Res,f,(,z,),z,0,。,一、留数的定义,定义,若,f,(,z,),在去心邻域 内解析，,z,0,是,f,(z),的,孤立奇点，,C,是,内包围,z,0,的,任意一条正向简单闭曲线，定义,积分,即,留数定理,：,如果函数,f,(,z,),在一条正向简单闭曲线,C,上连续，在,C,的内部除有限个孤立奇点,z,1,z,2,.,z,n,外处处解析。则,二、留数定理,证,把在,C,内的孤立奇点,z,k,(,k,=1,2,.,n,),用互不包含的正向简单闭曲线,C,k,围绕起来,则根据多连通域的柯西积分定理有,根据,留数的定义，,有,讨论问题：,柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理的关系如何？,意义：,把计算沿路径积分的整体问题化为计算各孤立奇点留数的局部问题。,2、,求罗朗级数中,c,-,1,(,z,-,z,0,),-,1,项的系数,c,-,1,。,三、留数的计算,1、留数只对,孤立奇点而言才有意义。,2）如果,z,0,是,f,(z),本性奇点,将,f,(z),在其,z,0,的去心邻域中展开为罗朗级数，求,c,-,1,;,如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利,。,1）如,z,0,是,f,(z),的可去奇点,则,Res,f,(z),z,0,=0;,3）如果,z,0,是,f,(z),的极点,则可以利用以下的规则：,（极点留数的计算规则）,规则2,如果,z,0,为,f,(,z,),的,m,级极点，则,规则1,如果,z,0,为,f,(z),的一级极点,则,规则3,设 ,P,(,z,),及,Q,(,z,),在,z,0,都解析,如果,P,(,z,0,),0,Q,(,z,0,)=0,Q,(,z,0,),0,则,z,0,为,f,(,z,),的一级极点,且,注意规则,3的应用条件,例,2:计算,z=0,是本性奇点,例1:,由,规则1,得,我们也可以用,规则,III,来求留数,：,这比用规则1要简单些，但要注意应用的条件。,如果函数,f,(,z,),的极点,z,0,的级数不是,m,它的实际级数要比,m,低,这时表达式,的系数,c,-,m,，,c,-,m,+1,，,中可能有一个或几个等于零,显然,规则2的,公式仍然有效。,一般说来,在应用,规则2,时,为了计算方便不要将,m,取得比实际的级数高。,注意：,在应用,规则2,时，,为了计算方便，可以将,m,取得比实际的级数高。,方法一,、首先应定出极点,z=0,的级数。由于,因此,z=0,是,z,-,sin z,的三级零点，也就是,f,(z),的三级极点。,例6：,计算 在,z=0,处的留数.,应用公式得,由此可见,二阶导数的计算过程将十分繁杂。,方法三,用洛朗展开式求,c,-,1,就比较方便，因为,所以,考虑,：多值函数的,留数计算。,1.定义：,设函数,f,(,z,),在圆环域,R,|,z,|,内解析，,C,为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分,称其为,f,(,z,),在,点的留数,，记作,这里积分路径的方向是顺时针方向，,这个方向很自然地可以看作是,围,绕无穷远点的正向,。,四、,无穷远点的,留数及计算方法,将,f,(,z,),在,R,|z|+,内的罗朗展式为,则,即,f,(,z,),在点的留数,等于函数,f,(,z,),在,点,的罗朗级数中,z,-1,项的系数,c,-1,的变号。,注意：,有限可去奇点的留数为0，,z,=,既便是,f,(,z,),的可去奇点，,f,(,z,),在,z,=,的留数也未必是0，为什么？,另：,由于,f,(,z,),在,R,|,z,|+,内解析，所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,C,为,R,|,z,|+,内,绕原点任何一条简单正向闭曲线。,考虑,n,=-,1,的情况,因此,Res,f,(,z,),=-,c,-,1,方法1 如果,f,(z),在 的洛朗展开式为,则有,Res,f,(,z,),=-,C,-1,2、,无穷远点,留数,的,计算方法,方法2,z,=,是,f,(,z,),的可去奇点，并且,则,f,(,z,),在,z,=,的留数,方法3,此结论请同学们课,后,自行证明。,例,设,f,(,z,)=,z,5,/(1+,z,6,),求,z,=,的留数,解：（方法一）由于,f,(,z,),在,1|,z,|+,内解析，所以,z,=,是,可去奇点，,z=,的,留数为,Res,f,(,z,),=-,C,-1,=-1（,0）,（方法二）,z,=,是,可去奇点，并且,则,Res,f,(,z,),定理,：,如果函数,f,(,z,),在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末,f,(,z,),在所有各奇点,(,包括,点,),的留数总和必 等于零.,证,除点外,设,f,(,z,),的有限个奇点为,z,k,(,k,=1,2,.,n,)。,又设,C,为一条绕原点的并将,z,k,(,k,=1,2,.,n,),包含在它内部的正向简单闭曲线,，,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,，,有,留数定理提供了计算实变函数定积分的一种方法。,2 留数在计算实积分上的应用(一）,两个条件：1）将实变函数推广为复变函数。,2）将定积分变为回路积分中的一部分。,如图，对于实积分 ，变量,x,定义在闭区间,a,b,(,线段,),，此区间应是回路,的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须推广到复平面上包含回路的一个区域中，而实积分 成为回路积分的一部分：,1.形如 的积分,为,cos,与,sin,的有理函数，且在0，2,上连续。,从而，积分化为沿正向单位圆周的积分：,令,z,=,e,i,，,那么,dz,=,ie,i,d,d=,dz,/,iz,其中,z,k,(,k,=1,2,n,),为包含在单位圆周 内的,f,(,z,),的孤立奇点。,注意,：1）,f,(,z,),为,z,的有理函数；,2）,R(,cos,sin,),在0，2,则,f,(,z,),在单位圆周,上无奇点；,3）积分限可以为-,，,。,4）若,R(,cos,sin,),为,偶函数，则,例1,：计算,例2,计算 的值,.,解：令,例3,计算积分,解,则,例4,计算,解,令,极点为:,(在单位圆内),(在单位圆外),例5,计算 的值,.,解,由于,0,p,0，当,R,充分大时，,有 即可。,因为,分析：,可先讨论,最后令,即可.,2.积分区域的转化:,取一条辅助曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使,R,(,z,),在其内部除有限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为,“围道积分法”,),1.被积函数的转化:,(当,z,在实轴上的区间内变动时,R,(,z,)=,R,(,x,),可取,f,(,z,)=,R,(,z,).,如图所示：1）取辅助路径,C,R,，,C,R,与-,R,R,一起构成闭合路径,C,，,其中,C,R,是以原点为中心,R,为半径的上半平面的半圆周,.,2）取,R,适当大,使,R,(,z,),所有的在上半平面内的极点,z,k,都包在这积分路线内.,R,(,z,),在,C,及其内部(除去有限孤立奇点,z,k,）,处处解析.,z,1,z,2,z,3,y,C,R,-,R,R,O,x,例 1,例,2 计算积分,解,在上半平面有二级极点,一级极点,例 3,解：,3.形如 的积分,(1),Q,(,z,),比,P,(,z,),至少高一次 ；,(2),R,(,z,),在实轴上没有奇点;,(3),0;,其中,z,k,为,R,(,z,),在复平面上半平面的奇点。,则,设,z,1,z,2,z,3,y,C,R,-,R,R,O,x,引理2(,Jordan,引理,),设,f,(,z,),在,C,R,上,连续,，,C,R,：,如果在,C,R,上 ，则,证明：,设,f,(,z,),在,C,R,上,连续,，,且满足,也可写为,不等式,当 时,的图示,y,q,O,p,y,=,sin,q,1,例,计算 的值,.,解,这里,m,=2,n,=1,m,-,n,=1.,R,(,z,),在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的,.,在上半平面内有一级极点,ai,例,计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,2 留数在计算实积分上的应用(二）,当被积,函数在积分路径上存在奇点时，积分,如何？,例如,积分,小圆弧引理：,设,f,(,z,),在,C,r,上连续，,C,r,：，,且在,C,r,上有,则 。,证明,只需证明对,0，当,r,充分小时，,有 即可。,因为,(1),Q,(,z,),比,P,(,z,),至少高一次 ；,(2),R,(,z,),在实轴上有有限个单极点,x,1,x,2,，,x,m,(3),0;,其中,z,k,为,R,(,z,),在复平面上半平面的奇点。,则,被积函数在积分路径上存在奇点时的积分,例,计算积分 的值,.,解,因为 是偶函数,所以,C,r,C,R,y,x,O,-,r,r,R,-,R,为了使积分路线不通过原点,取如下图所示的路径.,C,:,由柯西积分定理,有,令,x,=-,t,则有,因此,要算出所求积分的值,只需求出极限,由大圆弧引理：,由小圆弧引理：,